复变函数论作业及答案.docx
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复变函数论作业及答案
习题1
第一章复数与复变函数
j=T=2一李求|z|，
Argz
解:
Argz=arctan
-2
+2k二=—2k二，
-3
k二0,二1,_2,
2.已知Z1
Z2
试用指数形式表示Z1Z2及Z1
Z2
三
解:
=e4
z2=3-i=2e6
一I12
二i
Z1e4
.二2k二
e4|_a
3.解二项方程Z4+a4=0（a>0）
解由Z4+a4=0得z4=—a4
则二次方程的根为
（k=0,1,2,3）
（k=0,1,2,3）
w0=e4La=
a2（1+i）
i工:
w1=e4
37i
La=e4岛=a（-1i）
52a
w2=e4|_a=（-1-i）
2
7r
w3=e4|_a（1-i）
、2
4.设乙、Z2是两个复数，求证：
222
|Z1-Z2/=|Z1||Z2|2-2Re（ZiZ2）,
、—1I2./-,
证明：
Zi-Z2=亿1—Z2亿—Z2）
22——
=z1-z2_4z2_z2Zi
22-
=Z1+Z2-Z1Z2-Z1Z2
22,一V
=z1+z2-2Re（z1z2）
5.设Z1,Z2,Z3三点适合条件:
Z1+Z2+Z3=0及Z||=|Z2=Z3=1试证明Z1，Z2，Z3是一个内接于单位圆周Z=1的正三角形的顶点证明：
设4=x1十iy1，z2="+iy2,z3=x3+iy3
因为乙z2,z3=0
K+x2+x3=0,y〔+y2+y3=0;x二-x2-x3,vi=-y2-y3
又因为Z1|=Z2=|z3|=1
，三点Z1,Z2,Z3在单位圆周上，且有K2+必2=x22+y22=必2+y32
2222
而x1y〔二x2x3=y2y3
乙,Z2Z3是一个内接于单位圆周Z=1的正三角形的顶点得证。
6.下列关系表示的点z的轨迹是什么图形？
他是不是区域?
令z=x+iy,由Z—10,故以
虚轴为左界的右半平面；是区域
（2）0解：
由04
得：
0即为如图阴影所示（不包括上下边界）是区域。
7.证明：
z平面上的直线方程可以写成aZ+az=c（a是非零复常数，c是实
常数）
证明：
设直线方程的一般形式为：
ax+by+c=0（a,b,c均是实常数，a,b不全为零）
因为：
x==，y=小代入简化得：
22
11
a-bizabizc=0
22
人1
令（a—bi）=口00得"z+az=c
2
反之（逆推可得）设有方程ctz+c（Z=c（复数a=0,c是常数）
用2=*十1丫代入上式，且令a=：
（a+bi让简即得。
1
8.试证：
复平面上二点a+bi,0,-1一共直线。
-abi
-（abi）
证明：
因为=a^b二一^（实数）
0-（abi）a2b2
所以三点共直线。
9.求下面方程给出的曲线
z=acostisint
解：
令z=（x+iy）=（acost+isint居x=（acost）,y=bsint22
则有x2+y2=1,故曲线为一椭圆.
ab
iv
1一
10.函数w=-将z平面上曲线变成w平面上的什么曲线（z=x+iy,w=uz
（1）x2+y2=4解：
由于x2+y2=z2=4,又由于
11x-iy1
w=-==—__=x-iy
zxiyxy4
所以u=x,v=*
44
贝Uu2v2=1x2y2=
164
这表示在w平面上以原点为圆心，1为半径的一个圆周
2
（2）
1=1-iy
1iy1y2
x=1
解：
将x=1代入变换u+iv=—1—，得u+iv=xiy
于是u=~^1y,v二一yy,1y21y2
二u.
1y21
22-2
（1y2）21y2
1oo1
故u—u+v=0解彳#（u--）+v=—24
这表小w平面上的一■个以（工,0）为圆心，工为半径的圆周.22
（3）（x-1）2y,n
2222I一一一
斛：
因为（x—1）+y—1即x—2x+y—0即z.z—z—z—0
w.ww.w
因此w♦w=1
1一,„一
2（v可任意取值）
表示w平面上平行于虚轴的直线。
11.求证：
f（z）=argz（z¥0）在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实
轴上不连续.
证设4为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数以使角形区域argz0z-zo＜名时就有argz-argz0〈名.
域内，这就是说，只要取0<6wz0sin名.那么当因此argz在z0为连续.再由z0的任意性，知f（z）=argz在所述区域内为连续.
limarg
Imz0：
设X1是负实轴上任意一点，则
zima叫一二
Imz0
故argz在负实轴上为不连续.
（如下图）
xy
12.命函数f（z）=（x2+y2
z=0
试证：
f（z）在原点不连续。
证明：
fz=+2z=°
0z=0
当点z=x+yi沿y=kx趋于z=0时,
fz
当k取不同值时，f（z）趋于不同的数
，f（z）在原点处不连续。
13.已知流体在某点M的速度v=-1-i
求其大小和方向。
大小：
|v|=5+1=72；
1
方向：
argv=arctan7
-1
14.
JI
cos—isin—44
7i
e，
（jin）
ccos—sin—
22
1=1
'（cos0+isin0）=e;
-i
-2=2（cosn+isinn）=2$;
16.对于复数久.B,若aP=0,则a.P至少有一为零.试证之。
17.计算［8.
：
||：
|=0.
2g，）二1i'3；
证:
ZiZ2
2
二0・Z2Z1Z2
=Zi•Z2Z1•Z2
=Z1ZiZ2Z2-Z1Z2-Z1Z2
=Zl+Z2+422+422
19.连接zi及Z2两点的线段的参数方程为
Z=Z1tz2-Z|110MtM1过Z1及Z2两点的直线的参数方程为
z=ZitZ2-Zitj
由此可知，三点ZiZ2Z3共线的充要条件为叁_二4=t（t为一非零实数）
Z2-Zi
Im.亘=1=0
IlZ2—ZiJ
20.求证：
三个复数Zi,Z2,4成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式
222
Zi+Z2+Z3=Z2Z3+Z34+ZiZ2。
证：
△乙Z2Z3是等边三角形的充要条件为：
向量ZZ绕弓旋转"或-"即得向33
量Z|Z3,也就是
%—4=Z2-Zie3
匚=[di,Z2-'Zi22
^3_1=
Z2fzi22
两端平方化简，即得
z；+Z2+z2=z2z3+z3z1+z1z2。
21.试证：
点集E的边界若是闭集。
即证
（正忙方E。
证：
设z为的聚点。
取z的任意名邻域N/z）,则存在z0（手z）使彳导z0€NJz川
4三史。
在NJz）内能画出以4为心，充分小半径的圆。
这时由《WEE可见，
5-
在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在。
于是，在N式z）内属于E的点和不属于E的点都存在，故z€cEo因此3E是闭集。
22.设有函数co=z2,试问它把z平面上的下列曲线分别变成与平面上的何种曲线？
（1）以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧；
（2）倾角日=土的直线（可以看成两条射线argz=?
及argz=n+工）；
333
（3）双曲线x2-y2=4.
解Kz=x+iy=r（cosQ+isin0）,
=uiv=R（cos：
：
：
'+isin:
）,
一-2
则R=r,中=2日，
由此，
（1）当z的模为2,辐角由0变至；时，对应的切的模为4,辐角由0变至n.故在与平面上的对应图形为：
以原点为心，4为半径，在u轴上方的半圆周.
（2）倾角日=三的直线在0平面上对应的图形为射线邛=红.33
（3）因切=z2=x2—y2+2xyi,故u=x2—y2,所以z平面上的双曲线x2—y2=4
在0平面上的像为直线u=4.
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