离散数学屈婉玲版第四章部分答案.docx
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离散数学屈婉玲版第四章部分答案
4.1
（1）设S={1，2}，R是S上的二元关系，且xRy。
如果R=Is，则（A）；如果R是数的小于等于关系，则（B），如果R=Es，则（C）。
（2）设有序对与有序对<5,2x+y>相等，则x=（D）,y=（E）.
供选择的答案
A、B、C：
①x,y可任意选择1或2；②x=1,y=1；③x=1,y=1或2；x=y=2；④x=2,y=2；⑤x=y=1或x=y=2；⑥x=1,y=2；⑦x=2,y=1。
D、E：
⑧3；⑨2；⑩-2。
答案：
A:
⑤
B:
③
C:
①
D:
⑧
E:
⑩
4.2设S=<1,2,3,4>,R为S上的关系，其关系矩阵是
则
（1）R的关系表达式是（A）。
（2）domR=（B）,ranR=（C）.
（3）R︒R中有（D）个有序对。
（4）Rˉ1的关系图中有（E）个环。
供选择的答案
A:
①{<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>}；
②{<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>}；
B、C：
③{1，2，3，4}；④{1，2，4}；⑤{1，4}⑥{1，3，4}。
D、E⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。
答案：
A:
②
B:
③
C:
⑤
D:
⑩
E:
⑦
4.3设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即
{＜x,y＞︳x,y∈Z+∧x+3y=12},
则
（1）R中有A个有序对。
（2）dom=B。
（3）R↑{2,3,4,6}=D。
（4）{3}在R下的像是D。
（5）R。
R的集合表达式是E。
供选择的答案
A:
①2;②3;③4.
B、C、D、E:
④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
答案：
A：
②。
分别是：
＜3，3＞＜6，2＞＜9，1＞
B：
⑦。
C：
⑤。
D：
⑧。
E:
④。
4.4设S={1,2,3},图4-13给出了S上的5个关系，则它们]只具有以下性质：
R1是A,R2是B,R3是C,R4是D,R5是E。
供选择的答案
A,B,C,D,E:
①自反的，对称的，传递的；②反自反的，反对称的；
③反自反的，反对称的，传递的；④自反的；⑤反对称的，传递的；
⑥什么性质也没有；⑦对称的；⑧反对称的；⑨反自反的，对称的；
⑩自反的，对称的，反对称的，传递的
A:
④
B:
⑧
C：
⑨
D:
⑤
E:
⑩
4．5设Z+={x|x∈Z∧x>0},∏1,∏2,∏3是Z﹢的3个划分。
∏1={{x}|x∈Z﹢},
∏2={S1,S2},S为素数集，S2=Z-S1,
∏3={Z+},
则
（1）3个划分中分块最多的是A,最少的是B.
（2）划分∏1对应的是Z+上的C,∏2对应的是Z+上的D,∏3对应的是Z+上的E
供选择的答案
A,B:
①∏1;②∏2;③∏3.
C,D,E:
④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。
答案
A①
B③
C⑧
D⑨
E⑤
4.6设S={1，2，…,10},≤是S上的整除关系,则的哈斯图是（A）,其中最大元是（B）,最小元是（C）,最小上界是（D）,最大下界是（E）.
供选择的答案
A:
①一棵树;②一条链;③以上都不对.
B、C、D、E:
④∅；⑤1；⑥10；⑦6，7，8，9，10；⑧6；⑨0；⑩不存在。
答案：
A:
③（树中无环,所以答案不是①）
B:
⑩
C:
⑤
D:
⑩
E:
⑤
4.7设
:
N→N,N为自然数集，且
则
（0）=
，
.
供选择的答案
A、B、C、D、E：
①无意义；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥
；∴⑦N；
⑧{1，3，5，…}；⑨{
，1}；⑩{2，4，6，…}.
解：
（0）=
=0，∴A=④；
={0}，∴B=⑤；
={1}，∴C=③；
①无意义；
=N，∴E=⑦.
4.8设R、Z、N分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1、f2、f3、f4。
试确定它们的性质。
f1:
R→R，f（x）=2x,
f2:
Z→N，f（x）=|x|.
f3:
N→N，f（x）=（x）mod3,x除以3的余数，
f4:
N→N×N，f（n）=。
则f1是A，f2是B，f3是C，f4是D，f4（{5}）=E。
供选择的答案
A、B、C、D：
①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不满射；⑤、以上性质都不对。
E：
⑥、6；⑦、5；⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不对。
解：
f1是②、单射不满射；f2是①、满射不单射；f3是④、不单射也不满射；f4是②、单射不满射；f4（{5}）=⑨、{<5,6>}。
4.9设f:
R→R，f（x）=x²，x≥3,
-2,x<3;
g:
R→R，g（x）=x+2,
则f〇g（x）=A,g〇f（x）=B,g〇f:
R→R是C,f-1是D,g-1是E.
供选答案:
:
A\B:
（x+2）²,x≥3,②x²+2，x≥3,
-2,x<3;-2,x<3;
（x+2）²,x≥1,x²+2，x≥3,
③④
-2,x<1;0,x<3;
C:
⑤单射不满射；⑥满射不单射；⑦不单射也不满射；⑧双射。
D、E：
⑨不是反函数;⑩是反函数。
解：
A=③B=④C=⑦D=⑨E=⑩
4.10
（1）设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是（A），属于§（S上S）的函数是（B）。
（2）在S上定义等价关系R=Is∪{,},那么该等价关系对应的划分中有（C）个划分.作自然映射g:
S→S/R,那么g的表达式是（D）.g（b）=（E）.
供选择的答案
A、B、D：
①{,,};②{};③{,,};
④{,,};⑤{,,}.
C:
⑥1;⑦2;⑧3.
E:
⑨{a,b};⑩{b}.
答案：
A:
③
B:
①
C:
⑦
D:
⑤
E:
⑨
4.11设S={1，2，……，6}，下面各式定义的R都是在S上的关系，分别列出
R的元素。
R={|x,y∈s∧x|y}.
解：
由题意可知R是整除关系，
所以答案如下：
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<5,5>,<6,6>}.
（2）R={|x,y∈S∧x是y的倍数}.
解:
由题意可知：
R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.
（3）R={|x,y∈S∧（x-y）²=∈S}.
解:
由题意可知：
R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}.
（4）R={|x,y∈S∧x/y是素数}
解：
由题意可知：
R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,
<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.
4.13S={a，b，c，d}，R1、R2为S上的关系，
R1={，，}
R2={，，，}
求R1。
R2、R2。
R1、R12和R23.
解:
设R1的关系矩阵为M1，R2的关系矩阵为M2，
则
此题答案正确，只是写法不对，应改为：
4．14R的关系图如图4-14所示，试给出r（R）、s（R）、t（R）的关系图。
ABCDE图4-14
解：
r（R）：
abcde
s（R）：
abcde
t（R）：
abcde
4.16画出下列集合关于整除关系的哈斯图。
（1）{1，2，3，4，6，8，12，24}。
（2）{1，2，……，9}
并指出它的极小元、最小元、极大元、最大元。
解：
（1）
24
8
12
4
6
2
3
1
极小元、最小元：
1
极大元、最大元：
24
（2）
8
4
6
2
59
73
1
极小元、最小元：
1
极大元：
5，6，7，8，9
最大元：
无
4.19设f,g,h∈N,且有
0n为偶数
f（n）=n+1，g（n）=2n，h（n）=
1n为奇数
求fof,gof,fog,hog,goh,和fogoh。
解
由题意可知所求的复合函数都是从N到N的函数，且满足
fof（n）=f（f（n））=f（n+1）=（n+1）+1=n+2
gof（n）=g（f（n））=g（n+1）=2（n+1）=2n+2
fog（n）=f（g（n））=f（2n）=2n+1
hog（n）=h（g（n））=h（2n）=0
goh（n）=g（h（n））=
0n为偶数
2n为奇数
1n为偶数
fogoh=f（g（h（n）））=
3n为奇数
4.20设f：
R×R→R×R,f（）=,求f的反函数。
解：
设:
则
而
所以
解得
所以
4.21设f,g∈NN,,N为自然数集，且
x+1,x=0,1,2,3x/2,x为偶数，
f（x）=0,x=4,g（x）=
x,x≥5,3，x为奇数.
求g︒f并讨论它的性质（是否为单射或满射）。
设A={0，1，2}，求g︒f（A）。
解：
（1）
（x+1）/2,x=1,3,
g︒f（x）=0,x=4,
x/2,x为偶数且x≥6,
3,x=0,2及大于等于5的奇数。
g︒f不是单射，因为g︒f（6）=g︒f（5）=3.
g︒f是满射，因为g︒f能取到自然数集的任何数。
（2）g︒f（0）=g
（1）=3.
g︒f
（1）=g
（2）=1.
g︒f
（2）=g（3）=3.
所以g︒f（A）={3,1}
4.22设A={0，1，2}，B={0，1}，
求P（A）和BA
构造一个从P（A）到BA的双射函数。
解：
（1）P（A）={Φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}}
BA={f1,f2,……f8}
其中f1={<0,0>,<1,0>,<2,0>}
f2={<0,0>,<1,0>,<2,1>}
f3={<0,0>,<1,1><2,0>}
f4={<0,0>,<1,1>,<2,1>}
f5={<0.1>,<1,0>,<2,0>}
f6={<0,1>,<1,0>,<2,1>}
f7={<0,1>,<1,1>,<2,0>}
f8={<0,1>,<1,1>,<2,1>}
（2）设该双射函数为F
F={<Φ,f1>,<{0},f2>,<{1},f3>,<{2},f4>,<{0，1},f5>,<{0，2},f6>,<{1，2}，f7>,<{0，1，2},f8>}
做的不错，只是题目抄错了。
正确答案是
4.22设A={a，b}，B={0，1}，
求P（A）和BA
构造一个从P（A）到BA的双射函数。
解：
（1）P（A）={Φ，{a}，{b}，{a，b}}
BA={f1,f2,……f4}
其中f1={,}
f2={,}
f3={,}
f4={,}
（2）设该双射函数为F
F={<Φ,f1>,<{a},f2>,<{b},f3>,<{a,b},f4>}
N/R1={{x}|x∈N},N/R2={{所有的奇数},{所有的偶数}},N/R3={[0],[1],[2]}
（[0]={x|x=3k∧k∈N},[1]={x|x=3k+1∧k∈N},[2]={x|x=3k+2∧k∈N},）
4.25对下列函数f、g及集合A、B，计算f◦g、f◦g（A）和f◦g（B），并说明f◦g是否为单射或满射
（1）f:
R→R，f（x）=
-
g:
N→N,g（x）=
A={2,4,6,8,10},B={0,1}.
（2）f:
Z→R，f（x）=
g:
Z→Z,g（x）=
A=N,B={2K|k∈N}.
解：
（1）
f◦g（x）＝f（g（x））=f（
）=
=
-xdom（f◦g）=N
由于f（g（0））=0,f（g
（1））=0,所以f◦g不是单射.
显然对实数2.5,不存在自然数x,使得f（g（x））=2.5,所以f◦g也不是满射。
f◦g（A）={2,12,30,56,90}
f◦g（B）={0}
（2）
f◦g（x）=f（g（x））=
=
dom（f◦g）=Z
由于f（g（-1））=0,f（g
（1））=e,所以f◦g不是单射.
显然对实数
不存在自然数x,使得f（g（x））=
所以f◦g也不是满射。
f◦g（A）={
|
}
f◦g（B）={
|
}
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