购房中的数学问题汇编.docx
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购房中的数学问题汇编
《购房中的数学问题》研究性学习报告
作者班级：
靖远县第一中学高二一班
研究小组成员：
王昊魏宏乾张玉媛焦永强范香瑞
指导教师：
包至宏
一研究背景
在参加了数学研究性学习这个活动后，我们领悟到了数学在生活中的广泛应用，这使我们对生活中的数学问题很感兴趣，希望从熟悉的事物中理解，体会数学。
于是，数学老师的鼓励下，我们小组对“购房中的数学问题”进行研究。
二研究目的意义
通过联系实际，从生活中出发进行研究，充分拓展数列的学习内容，以促进学生的对数列的理解，培养学生对学习数列的兴趣。
提高学生运用数列知识来分析、运用多方面的数学方法来进行全方位考虑和解决生活实际问题的能力。
通过本课题的研究，探索提高学生的应用能力、理解能力和实践能力的新方法，全面提高学生的综合素质，培养创新型人材。
三研究方法
资料调查法、文献资料收集法、例题分析法、联系实际
四研究内容
在探究数列性质的同时，我们要善于将数列与生活联系在一起，这样不但容易了解数列的性质，也懂得了许多生活上的知识，将数列生活化，既加深了我们对数列的了解，又为生活提供了方便。
很多生活上的问题也和数学息息相关，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识。
数列在实际生活中有很多应用，例如人们在贷款、储蓄、购房、购物等经济生活中就大量用到数列的知识。
问题：
某地一位居民为了改善家庭的住房条件，决定在2003年重新购房。
某日，他来到了一个房屋交易市场，面对着房地产商各种各样的宣传广告，是应该买商品房呢还是应该买二手房呢？
他一时拿不定主意。
以下是他的家庭状况以及可供选择的方案
家庭经济状况
家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。
现有存款6万元，但是必须留2万元-3万元以备急用。
预选方案
1.买商品房：
一套面积为80m2的住宅，每平方米售价为1500元
2.买二手房：
一套面积为110m2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。
购房还需要贷款。
这位居民选择了一家银行申请购房贷款。
该银行的贷款评估员根据表格中的信息，向他提供了下列信息和建议：
申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%。
购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。
还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，其计算公式分别为
本金部分=贷款部分÷贷款期季数，
利息部分=（贷款本金-已归还贷款本金累计额）×季利率
准备工作：
调查购房贷款的要求，建立数学模型。
提出问题：
利用数列知识，根据以上购房贷款方式，预选方案1、2到底哪个是他的最佳选择？
实验步骤：
方案1:
如果首付3.6万（约为住房总价值的30%），贷款8.4万，季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例.
每季等额归还本金:
84000÷（15×4）=1400（元）
第一个季度利息:
84000×1.26%=1058.4（元）
则第一个季度还款额为
1400+1058.4=2458.4（元）
第二个季度利息:
（84000-1400×1）×1.26%=1040.76（元）
则第二个季度还款额为
1400+1040.76=2440.76（元）
……
第60个季度利息:
（84000-14000×59）×1.26%=17.64（元）
则第60个季度（最后一期）的还款额为
1400+17.64=1417.64（元）
可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为17.64元,其和为:
15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为17.64元，其和为：
方案2：
因为首付4万，所以需要贷款10.2万，季利率为5.04%÷4=1.26%.以贷款期为15年为例。
每季等额归还本金：
102000÷（15×4）=1700（元）
第一个季度利息：
102000×1.26%=1285.2（元）
则第一个季度还款额为：
1700+1285.2=2985.2（元）
第二个季度利息：
（102000-1700
1）
1.26%=1263.78（元）
则第二个季度还款额为：
1700+1263.78=2963.78（元）
……
第60个季度利息：
（102000-1700
59）
1.26%=21.42（元）
则第60个季度（最后一期）的还款额为
1700+21.42=1721.42（元）
可见,15年中的每个季度支付的利息成等差数列,公差为21.42元,其和为:
15年中每个季度的还款额也成等差数列，公差为21.42元，其和为：
实验结果：
建议这个居民采用方案1，理由如下：
（1）因为这个居民每月的家庭总收入为3000元，那么每个月用于偿还购房贷款的金额为600~900元较为合适，每个季度为1800~2700元。
如果采用方案1，满足上述条件。
如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为a1=2985.2，公差为d=21.42的等差数列。
若
an=2985.2+21.42（n-1）>2700，
则n<15.也就是说，当n<15（个季度）时，每个季度的还款额大于2700元，即在大于11年的时间内，偿还银行的钱占这个家庭收入的30%以上，显然给这个家庭生活造成了较大的负担。
（2）以贷款15年为例，方案2比方案1需要多支付利息
39198.6-32281.2=6917.4（元）
（3）方案2中的住房是旧房，使用年限较短。
实验反思：
把实际问题转化为数列的模型，再通过解不等式求得。
首先我们要弄清楚题意，了解数列的建立、数列的分析和解法，以及贷款的知识和不等式的解法。
为了巩固和熟悉这方面知识，我们应该把问题结合到实际生活中，把抽象转为形象，对其做探究。
五研究过程
1.准备阶段（2011年9月20日-2011年9月26日）
学生分组，明确研究课题，拟定计划，多途径收集文献资料，选取和编制报告结构等。
2.实施阶段（2011年9月30日-2011年10月6日）
小组成员分配工作，首先了解购房中的数学，把收集的资料总结归纳。
再根据各成员所收集的资料，进行研究讨论，对购房中的数学有更深的了解，并加强对其学以致用。
3.总结阶段（2011年10月10日-2011年10月13日）
将所有数据用word文档进行总结归纳。
分析内容和记录，开展交流探讨活动，撰写研究报告。
六研究结果
使我们对数列的内容进行深入了解，加强了对学习数学的趣味。
加强对数列应用，推及到日常的生活中。
提高我们运用数学知识来分析和解决生活实际问题的能力。
七学生体会与收获
通过这次研究性学习活动,我们有了很多收获。
首先,这次活动让我们深刻体会到“数学知识源于实际生活,又为实际生活服务。
”数学的运用很广,生活中处处有数学，日常生活中蕴含的许多熟悉,有趣的，新奇的数学问题,都可以用我们课本的知识解决。
第二,研究性活动让我们学会更好的领悟运用数学,知道数学不仅限于课堂,要懂得用数学眼光,数字思维,数学方法观察生活,认识世界。
在生活中多思考运用。
第三,活动提高了我们发现问题的能力,应用数学的意识。
我们通过活动明确了为什么学习数学,学数学的意义，这更激发了我们不断探索发现数学规律。
第四,研究活动让学生选择感兴趣的项目，合作探究，利用信息，借助工具，深入调查，多方面研究，最后得出研究结果。
这个活动加强了我们的合作精神，也使得我们变得更有耐心！
看吧，生活中处处都有数学的踪影，让我们学好数学，去发掘更多生活中的美吧！
八教师反思
在数列这一章节学习时，布置学生对生活中购房的问题进行研究和探讨，学生通过搜集统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究数列的性质，提出优化方案，使问题得到解决。
在这次活动中，同学们不仅了解到利用数列知识可以解决生活中的实际问题，也在研究的过程中学会了小组合作和资料收集、筛选等多种方法，体会到了研究的钻研精神和信心重要性。
研究性学习课题：
数列在分期付款中的应用
──分期付款中还款方式的选择
一．教案（例）描述
问题提出：
当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。
为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。
我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。
今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。
例题：
随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。
日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？
实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？
二、研究成果展示
学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：
1、每期还款额的研究：
现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：
（1）等额本息法：
每期还款额（本金和利息）相同。
将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。
推导公式：
设每月还款额均为元，
每月还款在180月后的总值：
贷款200000元在180月后的总值：
当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以
整理得：
元
即每月需还款1586元。
等额本息法的数学模型为：
设每月归还本息为元,
每月归还本息，
其中为贷款本金；为贷款月利率；为按月计算贷款期限。
（2）等额本金还款法原则：
每期还款分两部分，既本金和利息，每期还款的本金都相等，利息随所还本金逐次递减。
因此，每期还款额每期还款本金+每期还款利息
计算公式：
每月应归还本金元
第1个月还款额
元
第2个月还款额
元
第3个月还款额
元
……直至所有贷款结清。
每期还款额的数学模型为：
第n个月归还额
其中为贷款本金；为贷款月利率；为按月计算贷款期限。
2、分期付款总额的研究
等额本息法的还款总额：
元，共需支付利息总和元
等额本金法的还款总额为：
元，共需支付利息总和元
两种不同的还款差额竟多达元。
3、两种分期付款方式进行比较、权衡。
同学们给我的参考意见是：
等额本息法虽然比等额本金法多花付了元的利息，但前者的每月只需1586元，对于工薪阶层的我，这样一方面可以用明天的钱圆今天的梦，改善自己的住房环境，另一方面，以当前的物价水平，留一点钱，平时的生活也不会捉襟见肘；何况随着生活水平的提高，以后的个人工资一定会增加，那时还可以提前还款。
但如果选择后者，眼前的家庭生活就会受到很大影响。
所以应该采用等额本息法还款为好。
三、课后的余味：
（这部分可作为课后的继续研究）
一般我们当前的房贷都是利用上述两个分期付款的方式，并且按月还贷，因此计算每月付款和付款总额公式，可按上述公式计算。
现在银行为了客户的方便，一般都有详细的按月还款额的清单。
如果哪一位同学家中有分期付款的或将来可能会去贷款的，我们可以用今天学的知识对它进行校对或参考，同时体会到学以致用的喜悦。
另外分期付款除了按月还款外，还有按约定期数还款，如假设有以下几种付款方案：
方案1：
分45期付款（购房后每4个月付款一次），15年付清（180个月）。
方案2：
分30期付款（购房后每6个月付款一次），15年付清（180个月）。
方案3：
分15期付款（购房后每12个月付款一次），15年付清（180个月）。
对于这种情况，我们只要对公式稍加改进：
等额本息法：
设每期归还本息为元,
每月归还本息，
其中为贷款本金；为贷款月利率；为按月计算贷款期限，为约定的还款期数，是的正约数。
计算得：
分30期的每期付款额为9615.1元。
计算15年（180月）还款总额为288450.3元。
（其它付款方案结果均可以由该程序计算得到；等额本金计算法也可用类似的方法）经计算我们会发现对同样的贷款额及年限，分期次数越多，个人所支付的贷款利息就越少。
四、总结与反思
分期付款问题的研究分两个过程。
1、让学生深入银行去了解，一方面作为一种社会实践的活动，另一方面同时也让学生懂得数学来源于社会实践，也为社会服务，激发学生学习数学的兴趣。
2、每期付款额和各期付款总额数学模型建立，体现数学的一种建模思想。
（上述两个模型严格说要用数学归纳法证明，这里证略）。
用数列的知识进行各种方案进行计算，体现数学的一种计算方法。
最后得到计算公式。
两者的统一是用数学知识研究实际问题的完整过程。
在计算出结果后，消费者从上面选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，付款总额为多少，这样才便于比较、权衡，会对自己如何购买住房（或汽车）作出正确的决择。
我觉得我们学生也应掌握这个金融知识，适应未来社会的发展的需要。
五、教案分析
（一）、问题的背景：
当前，随着经济发展和改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。
高一数学新教材上册第三章数列的研究性学习内容中介绍了分期付款的一个数学模型，既“等额本息还款法”，它是一个等比数列的问题；了解到分期付款还有另一种方法，即“等额本金付款法”，是一个等差数列的数学模型。
这两种分期付款方法，在国内外商品交易的分期付款中被广泛的使用，它说明了数列知识在金融领域有着广泛的应用。
同时这两种不同的分期付款方式，在贷款所付总利息上存在着较大的差额。
以前客户在办理贷款时，银行一般都默认采用等额本息法。
而现在的人们的金融意识越来越强，懂得如何保护自己的合法利益。
因此一段时间就客户是否有知情权和选择权，曾在各种媒体上引起争论，对银行的做法表示质疑。
现在各大银行都会给客户解释清这两种不同的还款方式，并且由客户自己选择采用哪一种分期付款方式。
这大大激发了笔者对这个问题深入研究的热情和兴趣。
通过对这个问题的研究，明白这两种不同付款方式的利弊，对自己，对别人都有很大帮助。
（二）、活动设计的目的：
通过对房款中分期付款法的研究过程：
1.使学生清楚的看到课本中数学知识（数列）在金融和社会生各个领域中应用的鲜明的背景。
学生通过自主参与类似于科学研究的学习活动，获得亲身体验、体会学习数学的一个重要功能，适应社会发展的需要，激发他们对学习数学的兴趣和动力，产生积极情感，激发他们探索、创新的欲望。
同时也让学生懂得数学来源于社会实践，也为社会服务。
2.提高学生归纳、总结问题能力；掌握数学建模的思想方法。
学生通常围绕一个需要解决的实际问题展开。
在学习的过程中，通过引导和鼓励学生自主地发现和提出问题，设计解决问题的方案，收集和分析资料，调查研究，得出结论并进行成果交流活动，引导学生应用已有的知识与经验，学习和掌握一些科学的研究方法。
3.突破中学数学教学中的难点──应用问题、复杂和烦琐的计算。
培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生研究能力和数学交流能力。
学生要认真、踏实的探究，实事求是地获得结论，尊重他人想法和成果，养成严谨、求实的科学态度和不断追求的进取精神，磨练不怕吃苦、勇于克服困难的意志品质。
4.合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质。
研究性学习的开展将努力创设有利于人际沟通与合作的教育环境，使学生学会交流和分享研究的信息、创意及成果，发展乐于合作的团队精神和合作意识，使学生在合作中体会到合作的重要性、有效性，进一步发展学生的数学实践能力。
（三）、活动的过程：
研究性学习课题主要是学生在教师指导下,从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究,以所学的数学知识为基础，从数学角度对日常生活是和其他学科是出现的问题进行研究，并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动，充分地体现学生的自主活动和合作活动。
研究性学习是指对某些数学问题的深入探讨。
包括教师的教学设计活动和学生的研究活动两个方面。
（1）教师的设计包括如下几个方面：
1、确定主题。
确定主题的目的是为了使学生明确学习什么和开展这项学习活动的目的意义，同时考虑到学生的学习基础和学习需要。
2、设计任务。
任务设计是主题的进一步具体化，是学习的一个必要步骤，同时也是组织和安排学生活动。
3、向学生提供或建议研究方向、路径。
具体的、可操作的研究建议可能会减少学生的研究困难，从而使研究更合理，同时给以学生必要的帮助。
4、评估和结论。
教师应对研究性学习活动进行评估和测评来考察实际效果，以及对整个活动进行反思的总结，以研究报告或小论文等形式记载研究成果，对活动的成果进行拓展和推广，与各同仁进行交流。
（2）学生的活动内容包括如下几个方面：
1、根据主题和任务，进行分工协作，明确各自的任务，通过讨论、互相交流、共同对问题进行研究。
2、对老师提供的资源和自己收集掌握的资料、信息进行分析、处理和重组，创造新的思想，得出新的结论。
发表自己的研究结论和成果。
课题名称：
研究性学习课题：
数列在分期付款中的应用
课题来源：
分期付款中还款方式的选择
（高一数学新教材上册第三章数列的研究性学习内容）
活动过程：
1）在上星期天给学生布置了一份作业（见例题），叫学生利用休息时间，去进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我进行房贷，符合我的承受能力，选择好一种分期付款的方式。
2）同学们分组完成研究任务。
在研究过程中，鼓励学生相互交流与合作。
3）用20分种时间请各组组长在班上介绍自己的研究结果和成果，供大家分享。
（四）、活动结果分析及收获体会
实施以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育，关键是改变教师的教学方式和学生的学习方式。
设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，促进他们形成积极的学习态度和良好的学习策略，培养创新精神和实践能力。
通过课堂实践,自己感觉到这种学习方式有以下一些突出的优点：
1、从教师的活动方面来说。
研究性学习模式，从课题的选择、研究的设计、参考文献的查找等都由学生自主地完成，所以，是一种由教师“控制”程度相对较高的研究，适合于目标较为明确的课堂教学。
首先，研究式学习需要教师课前精密的设计，学习目标是具体的、明确的。
只有这样，才能使我们的最有效地利用课堂教学时间，“让教师做最好的导演，让学生做最好的演员”，这就是研究式学习方式的要领。
其次，在课堂教学中开展研究式学习,带着主题和任务的分析问题，有利于知识的积累和能力的提高，拓宽了学生的视野及知识面。
再次，以社会内容为课题来源的活动，使学生明确知识来源于社会,又服务于社会。
但由于对研究性学习还在探索中，本次活动的课题还是笔者给学生定下的，这样做有针对性和目的性，学生们互相之间也好有一个成就的可比性，也不会占有学生更多的学习时间。
随着这项研究性学习活动的深入开展，在以后的活动中就可以做得更好。
2、从学生的活动方面来说。
开展研究式学习，目的是为了锻炼学生的实践能力和解决问题的能力。
学生利用所学课本知识和自己了解到的及教师提供的资料和信息自主地去完成，学生们进行了交流与合作，对这些信息进行了归纳总结，并以小组为单位提交了书面结果。
因此，开展的研究式学习与我们当前开展的培养学生创新性能力的宗旨上是一致的。
其目的是为了“一举两得”，既有利于学生课本知识的掌握，又有利于学生实践能力和研究能力的提高，激发了学习兴趣。
学习方式上既要发挥学生的主动性，由学生自主地完成研究过程，又要发挥教师的创造性，这一点特别重要。
3、教学评价旨在反思，目的在于了解学生的学习进程和学习能力，而不是流于外在的形式。
在传统教学评价中没有发挥学生主动性的过程中，研究式学习的评价内容与方式必须充分关注学习态度，重视学习的过程与方法，重视交流与合作，重视动手实践。
不仅考察学生结论和结果的创造性和正确性，还要对学习的内容和过程进行反思。
我认为，最重要的在于学生在学习过程中真正的发挥了自主性，进行了创造性的思考，鼓励他们点滴进步。
参考文献：
1、现行高中数学新教材课本高一（上册）。
2、中国人民银行、工商银行、中国建设银行个人商业贷款资料。
研
究
实
施
步
骤
时间
主要任务
目标
一
阶段
选择课题
完成全部报告内容
二
2009年10月
开题报告
同上
三
标题：
上海发出通知为大学生就业—鼓励自主创业，灵活就业2004年3月17日2009年10月至2009年12月
查找资料
访问调查
实验操作
实地考察
完成相关实验，理论和实践相互论证
（2）文化优势四
3、消费“多样化”2009年12月
分析研究
得出相关原理
服饰□学习用品□食品□休闲娱乐□小饰品□五
2009年12月
汇总整理
做好整理归纳
（4）信息技术优势六
2010年1月
结题报告（论文）
标题：
大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日完成结题报告
七
创业首先要有“风险意识”，要能承受住风险和失败。
还要有责任感，要对公司、员工、投资者负责。
务实精神也必不可少，必须踏实做事；2010年1月
交流
心得体会交流
3．www。
oh/ov。
com/teach/student/shougong/八
大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。
除食品外，很大一部分开支都用于。
服饰，娱乐，小饰品等。
女生都比较偏爱小饰品之类的消费。
女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。
据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。
因此也为饰品业创造了无限的商机。
据调查统计，有50%的同学曾经购买过DIY饰品，有90%的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。
我们认为：
我校区的女生就占了80%。
相信开饰品店也是个不错的创业方针。
（1）专业知识限制
所需条件
图书资料实验用品公交车少量资金照相机
预期成果
实验过程视频心得体会调查结果实验报告
导师意见
有实际意义是知识与实践的结合，同意开展
数学研究性学习报告
——关于数学美
高一级数学研究性学习小组2003年5月
“实践检验真理”。
这是伟大的改革开放总设计师邓小平的名言。
生活中的数学，便体现了数学这一基本学科的实用性。
有道是源于生活，生活中的数学无处不在。
从市场交易，买卖双方之间。
到建起一座摩天大楼、旷世奇观。
艺术大师的一幅幅著名作品中，无不运用到数学。
同样，数学与各个学科之间有着莫大的联系。
物理，化学，甚至语文。
文学创作中，运用一些数学的东西，会使作品更富有哲理性。
何谓数学美？
这听起来好像属于主观臆断的问题。
其实，数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维，就是数学的美。
一个正确的数学理论，反映客观事物的本质和规律，这是数学的真；数学理论不管离现实有多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服
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