单招分类考试数学必备知识点总结 1.docx

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单招分类考试数学必备知识点总结1

单招（分类考试）重点知识回顾第一章-集合

（一）、集合：

集合元素的特征：

确定性、互异性、无序性.

1、集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为A⊆A；

②空集是任何集合的子集，记为φ⊆A；

③空集是任何非空集合的真子集；

①n个元素的子集有2n个.n个元素的真子集有2n－1个.n个元素的非空真子集有2n－2个.

[注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题⇔逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题⇔逆否命题.

2、集合运算：

交、并、补.

交：

AB⇔{x|x∈A,且x∈B}

并：

AB⇔{x|x∈A或x∈B}

补：

CUA⇔{x∈U,且x∉A}

（三）简易逻辑

构成复合命题的形式：

p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p

∧q”）；非p（记作“┑q”）。

1、“或”、“且”、“非”的真假判断

4、四种命题的形式及相互关系：

原命题：

若P则q；逆命题：

若q则p；

否命题：

若┑P则┑q；逆否命题：

若┑q则┑p。

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p⇒q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若p⇒q且q⇒p,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

第二章-函数

一、函数的性质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）奇偶性：

（在整个定义域内考虑）

①定义：

①偶函数：

f（-x）=

f（x），②奇函数：

f（-x）=-f（x）

②判断方法步骤：

a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点

对称；c.求

f（-x）；d.比较

f（-x）与f（x）或

f（-x）与-

f（x）的关系。

（4）函数的单调性

定义：

对于函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

⑴若当x1

⑵若当x1f（x2）,则说f（x）在这个区间上是减函数.

二、指数函数与对数函数

指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图象和性质

a>1

0

图

象

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

y=1

1

0.5

-4-3-2-11234

-0.5

-1

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

y=1

1

0.5

-4-3-2-11234

-0.5

-1

（1）定义域：

R

性质

（2）值域：

（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

（4）x>0时，y>1;x<0时

0

，（4）x>0时，01.

（5）在R上是增函数

（5）在R上是减函数

对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象和性质:

图象

yy=logaxa>1

Ox

x=1a<1

性质

（1）定义域：

（0，+∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0

（4）x∈（0,1）时y<0

x∈（1,+∞）时y>0

x∈（0,1）时y>0

x∈（1,+∞）时y<0

（5）在（0，+∞）上是增

函数

在（0，+∞）上是减函数

⑴对数、指数运算：

aras=

ar+s

loga（M⋅N）=logaM+logaNM

（ar）s=ars

logaN=logaM-logaN

logMn=nlogM

（ab）r=arbr

aa

a

⑵y=ax（a0,a≠1）与y=logx（a0,a≠1）互为反函数.

第三章数列

1.⑴等差、等比数列：

等差数列

等比数列

定义

an+1-an=d

an+1=q（q≠0）

an

递推

公式

an=an-1+d；

an=am-n+md

an=an-1q；

an=amqn-m

通项

公式

an=a1+（n-1）d

an=a1qn-1（a,q≠0

1）

中项

公式

A=a+b

2

G2=ab

前n

项和

S=n（a+a）

n21n

S=na+n（n-1）d

n12

⎧na1（q=1）

S=⎪a（1-qn）a-aq

n⎨1=1n（q≥2）

⎪1-q1-q

⎩

重要性质

n+m=p+q则

an+am=ap+aq

am⋅an=ap⋅aq（m,n,p,q∈N*,m+n=p+q）

（2）数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：

an

第四章-三角函数

=⎧s1=a1（n=1）

⎨

⎩sn-sn-1（n≥2）

一.三角函数

1、角度与弧度的互换关系：

360°=2；180°=；

180

1rad＝π°≈57.30°=57°18ˊ；1°＝

π≈0.01745（rad）

180

注意：

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

2、弧长公式：

l

=|α|⋅r.扇形面积公式：

s扇形

=1lr=1|α|⋅r2

22

3、三角函数：

sinα=y；

r

cosα=x；

r

tanα=y；

x

4、三角函数在各象限的符号：

（一全二正弦，三切四余弦）

正弦、余割

余弦、正割

正切、余切

α

5、同角三角函数的基本关系式：

sinα=tanα

cos

sin2α+cos2α=1

6、诱导公式：

sin（2kπ+x）=sinxcos（2kπ+x）=cosxtan（2kπ+x）=tanxcot（2kπ+x）=cotx

sin（-x）=-sinxcos（-x）=cosxtan（-x）=-tanxcot（-x）=-cotx

sin（π+x）=-sinxcos（π+x）=-cosxtan（π+x）=tanxcot（π+x）=cotx

sin（2π-x）=-sinxcos（2π-x）=cosxtan（2π-x）=-tanxcot（2π-x）=-cotx

sin（π-x）=sinxcos（π-x）=-cosxtan（π-x）=-tanxcot（π-x）=-cotx

7、两角和与差公式

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tan（α+β）=

tan（α-β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

8、二倍角公式是：

sin2α=2sinα⋅cosα

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α

tan2α=2tanα。

1tan

辅助角公式asinθ+bcosθ=

sin（θ+ϕ），这里辅助角

ϕ所在象限由a、b的符号确定，ϕ角的值由tanϕ=b确定。

a

9、特殊角的三角函数值：

α

0

π

6

π

4

π

3

π

2

π

3π

2

sinα

0

1

2

22

32

1

0

-1

cosα

1

32

22

1

2

0

-1

0

tanα

0

33

1

3

不存

在

0

不存

在

cotα

不存

在

3

1

33

0

不存

在

0

10、正弦定理

a=

sinA

b

sinB

=c

sinC

=2R（R为外接圆半径）．

余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，

b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA．

面积公式：

S=1ah

=1bh=1ch=1absinC=1acsinB=1bcsinA

∆2a

2b2c222

y=sin（ωx+ϕ）

y=cos（ωx+ϕ）ω≠

T=2π

11.或

（0）的周期ω.

12.y=sin（ωx+ϕ）的对称轴方程是x=kπ+π（k∈Z

2

），对称中心

（kπ,0）；y=cos（ωx+ϕ）的对称轴方程是x=kπ（k∈Z），对称中

心（kπ+1π,0）；y

2

=tan（ωx+ϕ）的对称中心（kπ,0）.

2

第五章-平面向量

（1）向量的基本要素：

大小和方向.

（2）向量的长度：

即向量的大小，记作｜a｜.

（3）特殊的向量：

零向量a＝O⇔｜a｜＝O.单位向量a为单位向量⇔｜a｜＝1.

（4）相等的向量：

大小相等，方向相同（ｘ1，ｙ1）＝（ｘ2，ｙ2）

⎧x1

⇔⎨y

=x2

=y

⎩12

（5）相反向量：

a=-b⇔b=-a⇔a+b=0

（6）平行向量（共线向量）：

方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

（7）.向量的运算

运算类

型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的加法

1.平行四边形法则

2.三角形法则

a+b=（x1+x2,y1+y2）

a+b=b+a

（a+b）+c=a+（b+c）

AB+BC=AC

向量的减法

三角形法则

a-b=（x1-x2,y1-y2）

a-b=a+（-b）

AB=-BA,

OB-OA=AB

数乘向量

1.λa是一个向量,满足:

|λa|=|λ||a|2.λ>0时,λa与a同向;

λ<0时,λa与a

异向;

λ=0时,λa=0.

λa=（λx,λy）

λ（μa）=（λμ）a

（λ+μ）a=λa+μa

λ（a+b）=λa+λba//b⇔a=λb

向量的数量

积

a∙b是一个数

1.a=0或b=0时，

a∙b=0.2.

a≠0且b≠0时，

ab=|a||b|cos（a,b）

a∙b=x1x2+y1y2

a·b=

︱a︱·︱b︱cosθ．

a∙b=b∙a

（λa）∙b=a∙（λb）=λ（a∙b）

（a+b）∙c=a∙c+b∙c

2

a=|a|2即|a|=x2+y2

|a∙b|≤|a||b|

（8）两个向量平行的充要条件

⇔

a=λb

或x1y2

（9）两个向量垂直的充要条件

-x2y1=0

x1x2

+

y1y2

0≤θ≤180°,

附：

三角形的五个“心”；重心：

三角形三条中线交点.

|b|=

2+y2∙

2+y2

外心：

三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：

三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：

三角形三边上的高相交于一点.

旁心：

三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

（11）△ABC的判定：

c2=a2+b2⇔△ABC为直角△⇔∠A+∠B=π

2

2

c2＜a2+b2⇔△ABC为钝角△⇔∠A+∠B＜π

⇔

c2＞a2+b2⇔△ABC为锐角△∠A+∠B＞π

2

（11）平行四边形对角线定理：

对角线的平方和等于四边的平方和.

1.几个重要不等式

第六章-不等式

（1）a∈R,a2

∈R）

≥0,a≥0

当且仅当a=0,取“=”，（a－b）2≥0（a、b

（2）a,b∈R,则a2

+b2

≥2ab

x

（3）a,b∈R+，则a+b≥2；

a2

（4）

+

b2

2

≥（a+b）2；

2

⑸若a、b∈R+，，则a2

+

b2

≥（a+b）2（a,b∈R）2

2ab≤

a+b

≤a+b≤

2

（a,b∈R+）；

2、解不等式

（1）一元一次不等式

ax>b（a

≠0）

a>⎧b⎫

⎧b⎫

①0,⎨xx>a⎬②a<0,⎨xx

⎩⎭⎩⎭

（2）一元二次不等式

ax2

+bx+c>0,（a>0）

第七章-直线和圆的方程

一、解析几何中的基本公式

1.两点间距离：

若A（x1

y1

）,B（x2

y2

），则AB=

2.平行线间距离：

若l1:

Ax+By+C1

=0,

l2:

Ax+By+C2=0

则：

d=

注意：

x，y对应项系数应相等。

3.点到直线的距离：

P（x,y）,l:

则P到l的距离为：

d=

Ax+By+C=0

⎩

⎧y=kx+b

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

⎨F（x,y）=0

消y：

ax2

+

bx+c=0，务必注意∆>0.若l与曲线交于A（x1

y1

）,B（x2

y2）

则：

AB=

（x,y

=

）,B（x,y）

⎧x=

x1+x2

2

5.若A11

22，P（x，y）,P为AB中点，则⎨

y+y

⎪y=12

⎩⎪2

6.直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:

k

=tanα

7.过两点P（x,y

）,P（x,y

）的直线的斜率公式：

k=

y2-y1.

（x≠x）

111

222

x2-x112

8.直线l1与直线l2的的平行与垂直

（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：

①l1//l2⇔k1=k2②l1⊥l2⇔

k1k2=－1

（2）若l1:

A1x+B1y+C1

=0,

l2:

A2x+B2y+C2=0

若A1、A2、B1、B2都不为零

①l//l⇔

A1=B1

≠C1

；②l⊥l⇔AA+BB=0；

12

222

121212

9.直线方程的五种形式

名称方程

斜截式：

y=kx+b

点斜式：

y-y

=k（x-x）

两点式：

y-y1

=x-x1

（x≠x

y2-y1

x2-x1

12）

截距式：

x+y=1

ab

一般式：

10.圆的方程

Ax+By+C=0

（其中A、B不同时为零）

（1）标准方程：

（x-a）2

+（y-b）2

=r2，

（a,b）--圆心，r--半径。

（2）一般方程：

x2

+

y2+Dx+Ey+F

DE

=0，（D2+E2

-

4F

>0）

（-,-2

）--圆心,

2

半径r=

2

特例：

圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：

x2+y2=r2.

⎧x=a+rcosθ

⎩

注：

圆的参数方程：

⎨y=b+rsinθ（θ为参数）.

特别地，以（0，0）为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

x2+y2

=r2

⇔⎧x=rcosθθ为参数）

⎨y=rsin（

（3）点和圆的位置关系：

给定点M（x0,y0）及圆C:

（x-a）2+（y-b）2=r2.

①M在圆C内⇔（x0-a）2+（y0-b）2r2

②M在圆C上⇔（x0-a）2+（y0-b）2=r2

③M在圆C外⇔（x0-a）2+（y0-b）2r2

（4）直线和圆的位置关系：

设圆圆C：

（x-a）2+（y-b）2=r2（r0）；直线l：

Ax+By+C=0（A2+B2≠0）；

圆心C（a,b）到直线l的距离d=.

①d=r时，l与C相切；

②dr时，l与C相交；

③dr时，l与C相离.

一、椭圆

第八章-圆锥曲线方程

1.定义Ⅰ：

若F1，F2是两定点，P为动点，且PF1

（a为常数）则P点的轨迹是椭圆。

+

PF2

=2a>

F1F2

x2

2.标准方程：

a2

+y2=

b2

（a>b>0）

y2+x2

a2b2

=1（ab0）

2

长轴长=2a，短轴长=2b焦距：

2c准线方程：

x=±a，

c

离心率：

e=

二、双曲线

c（0e1）

a

焦点：

（-c,0）（c,0）或（0,-c）（0,c）.

1、定义：

若F1，F2是两定点，则动点P的轨迹是双曲线。

2.性质

PF1

-

PF2

=2a<

F1F2

（a为常数），

x2

（1）方程：

a2

-y2=

b2

（a>0,b>0）

y2-x2=

a2b2

（a>0,b>0）

a2

实轴长=2a，虚轴长=2b焦距：

2c准线方程：

x=±c

e=c

2a2

2b2

离心率a

.准线距c

（两准线的距离）；通径a.

参数关系c2=a2+b2,e=c.

x2y2b

（2）若双曲线方程为a2-b2=1⇒渐近线方程：

y=±ax

⑶等轴双曲线：

双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方

程为y=±x，离心率e=.

三、抛物线

1.定义：

到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数（e=1）。

2.图形：

3.性质：

方程：

y2

=2px,（p>0）,p--焦参数（焦点到准线的距离）；

焦点：

p

（,0）

2

，通径AB

=2p；

准线：

x=-

p；离心率e=1

2