云南省昭通市学年高三下学期适应性月考数学理试题Word版含答案.docx
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云南省昭通市学年高三下学期适应性月考数学理试题Word版含答案
云南省昭通市2016-2017学年高三下学期适应性月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，集合，则（）
A．B．
C．D．
2.若复数是纯虚数，则复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.设椭圆的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在（）
A．圆上B．圆内
C．圆外D．以上三种情况都有可能
5.观察下列各式：
，，，，……，则的末四位数字为（）
A．3125B．5625C．0625D．8125
6.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，分别为1848，936，则输出的等于（）
A．168B．72C．36D．24
7.某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
8.在如图3所标的矩形中，，，为线段上的点，则的最小值为（）
A．2B．C．D．4
9.在直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的左支上，则（）
A．B．C．D．
10.棱长为2的正方体的所有顶点均在球的球面上，，，分别为，，的中点，则平面截球所得圆的半径为（）
A．B．C．D．
11.已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
12.已知函数，，，则的最小值等于（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.关于的一元二次方程，若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则上述方程有实根的概率为_____.
14.的展开式按升幂排列，若前三项的系数成等差数列，则_____.
15.是数列的前项和，且，，则_____.
16.若是定义在上的函数，对任意的实数都有：
和，且，则_____.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，解，，的对边分别为，，，且
（Ⅰ）求解的值；
（Ⅱ）若角，边上的中线，求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图4，在三棱柱中，已知侧面，，，.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）当二面角为时，求三棱柱的体积.
19.（本小题满分12分）
某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教.
（Ⅰ）设所选3人中女教师的人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，点为动点，，分别为椭圆：
的左、右焦点，为椭圆的左顶点，已知为等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过的直线：
与椭圆交于点（点在第一象限），平行于的直线与椭圆交于，两点，判断直线，是否关于直线对称，并说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当时，求证：
函数在上单调递减；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；
（Ⅲ）对于任意，，都有，试求的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。
22.（本小题满分10分）【选修4-1：
几何证明选讲】
如图5，已知在中，，分别为其角平分线和中线，的外接圆为，与，分别交于，，求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
23.（本小题满分10分）【选修4-4：
坐标与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线：
交于，两点.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.
24.（本小题满分10分）【选修4-5：
不等式选讲】
设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）存在，使得，求实数的取值范围.
云南省昭通市2016-2017学年高三下学期适应性月考
数学（理）试题参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
C
D
D
D
B
A
B
A
A
【解析】
1．，，，故选C．
2．，由题意得，所以，在复平面内对应的点是，在第二象限，故选B．
4．由题意，，，，故选C．
5．由题意，，，，，，得规律，故选D．
6．由程序框图知这是用辗转相除法求两个数的最大公约数，1848与936的
最大公约数是24，故选D．
7．由题意知该几何体为如图1放置的正四面体，其棱长为，故其表面积为，故选D．
8．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，则，，，可得，因为E为线段BC上的点，所以，则当时，取得最小值，故选B．
9．由条件可知，且，又在中有（R为△ABC外接圆的半径），从而，故选A．
10．如图2，正方体的外接球球心O为对角线的中点，球半径，球心O到平面的距离为，所以小圆半径，故选B．
11．当时，为减函数，；当时，，
，则时，，时，，即在上递增，在上递减，．其大致图象如图3所示，若关于x的方程恰好
有3个不相等的实数根，则，即，故选A．
12．因为，所以，即，又，所以，所以，当且仅当且时取等号，所以的最小值是，故选A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
8
1991
2013
13．在直角坐标平面中，设区域，则区域A表示的矩形面积=6．方程有实根，，得．设区域，区域B表示的直角梯形面积=4，方程有实根的概率为．
14．前三项的系数为1，，，由它们成等差数列得，整理得，解得（舍去），或，即．
15．由得，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，．
16．，又，，，．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由，
得．……………………………………（3分）
又，所以．
又，所以．………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由，，知．
在中，由余弦定理得，
求得，………………………………………………………………………（10分）
所以的面积．……………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
，，，
则，．
侧面，．
，
平面．………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：
方法一：
如图4，作，垂足为E，连接AE，．
侧面，
，，
即为二面角的平面角，．
由，，得，
．
由（Ⅰ）知平面ABC，即为三棱柱的高，
所以三棱柱的体积．……………………（12分）
方法二：
如图5，建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，．
设平面的法向量为，
得
则平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
所以由得，解得，即．
由（Ⅰ）知平面ABC，即为三棱柱的高，
所以三棱柱的体积．………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
故．………………………………（6分）
（Ⅱ）设事件A为“甲地是男教师”，事件B为“乙地是女教师”，
则，，
所以．……………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设，由题意得：
，即，
所以（舍）或，
所以椭圆G的离心率．………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）过椭圆G右焦点的直线m：
与椭圆G交于点M，
，
由（Ⅰ）知，
，，
∴椭圆G的方程为，………………………………………………（6分）
，，
．
设直线l：
，点，，
由得，
，
且，，，
，
∴直线MB，MC关于直线m对称．…………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：
，
由于，故当时，
，，所以，
故函数在上单调递减．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）解：
当，时，
因为，且在R上单调递增，故有唯一的解，
所以x，，的变化情况如下表所示．
x
0
−
0
+
单调递减
极小值
单调递增
又函数有三个零点，
所以方程有三个根，
而，所以，解得．…………………（8分）
（Ⅲ）解：
因为对于任意，，都有，
所以当时，，
由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，
所以当时，，，
而，
记，
因为，
所以在上单调递增，而，
所以当时，；
当时，．
也就是当时，；当时，．
当时，由；
当时，由．
综上所述，所求a的取值范围为．………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：
几何证明选讲】
证明：
（Ⅰ）如图6，过C作，
CF与AE的延长线交于F，
．
为的角平分线，
，，．
，
，．……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由割线定理可得，，
，
，
由（Ⅰ）知，
，
，即．……………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：
坐标系与参数方程】
解：
（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），
代入曲线C的方程得．
设点A，B对应的参数分别为，则，，
所以．………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为，
所以点P在直线l上，中点M对应参数为，
由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离．………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：
不等式选讲】
解：
（Ⅰ）当时，
，
，即，解得，
又，；
当时，，
，即，解得，又，
；
当时，，
，即，解得，又，
．
综上，不等式的解集为．……………………（5分）
（Ⅱ）
．
，使得，
，
整理得，
解得．
因此实数m的取值范围是．………………………………………………（10分）
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