概率论与数理统计公式集合.docx
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概率论与数理统计公式集合
概率论与数理统计必考知识点
一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称
表达式
交换律
A+B=B+AAB=BA
结合律
（A+B）+C=A+（B+C）=A+B+C（AB）C=A（BC）=ABC
分配律
A（B土C）=AB土ACA+（BC）=（A+B）（A+C）
德摩根律
A+B=ABAB=A+B
2、概率的定义及其计算
公式名称
公式表达式
求逆公式
P（A）=1—P（A）
加法公式
P（A+B）=P（A）+P（B）_P（AB）
条件概率公式
p（b|a）=P（AB）'P（A）
乘法公式
P（AB）=P（A）P（BA）P（AB）=P（B）P（AB）
全概率公式
n
P（B）=EP（Aj）P（BAj）
贝叶斯公式
（逆概率公式）
P（Aj）P（BAj）
P（Aj|B）—盟
SP（Aj）P（BAi）
\=1
伯努利概型公式
Pn（k）=C；；pk（1—p）n^,k=0,1,…n
两件事件相互独立相
应公式
P（AB）=P（A）P（B）；P（B|A）=P（B）；P（Ba）=P（BA）；P（BA）+P（BA）=1；
p（b|a）+p（b|A）=1
、随机变量及其分布
1、分布函数性质
P（X空b）二F（b）P（a:
X乞b）二F（b）—F（a）
2、离散型随机变量
分布名称
分布律
0-1分布B（1,p）
P（X=k）=pk（l—p严，k=0,1
二项分布B（n,p）
P（X=k）=ckpk（1—p）n」，k=0,1，…,n
泊松分布P⑴
-k
P（X=k）=e』—，k=0,1,2，…k!
几何分布G（p）
P（X=k）=（1—p）k'p,k=0,1,2，…
超几何分布H（N,M,n）
Ckcn~k
P（X=k）_-M-N』,k=丨，丨+1,…,min（n,M）cN
3、连续型随机变量
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布U（a,b）
f（x）
'1
acxcbb—a
0,其他
F（x）=
0,xcax—a,aWx£bb—a
1,xKb
指数分布E仏）
byx》of（x）
、0,其他
F（x）=丿
0,xcO
]-e*x,x^O
正态分布N（巴/）
（x_q2
1~2~2~
f（x）=—e口P2兀（t-內2
1x—
F（x）=—fedt
V2naq
标准正态分布N（0,1）
x2
1—
申（x）=〒^^e2
兀
（MJ）2
1/2y
F（x）=.——[edt
v2hctq
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
Pi.=P（X=xjP（X=Xi,Y=yj）Pij
jj
pj=P（Y=yj）二"P（x=Xi,Y=yj）二"pij
i
2、
离散型二维随机变量条件分布
Pij
二P（X=XjY二yj）=史■兰■出二巴，i=1,2■■jP（丫Fj）Pj.
P（X=Xj,Y=yj）Ph
Pji
.p—yjxg.p（xsj喈，日2
3、
连续型二维随机变量（X，丫）的联合分布函数F（x,y）
xy
二f（u,v）dvdu
JJO2-^0
4、
连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数：
Fx（x）二
X
-be
f（u,v）dvdu
边缘密度函数：
fx（X）二f（x,v）dv
^0
a
y
■be
■ho
f（u,v）dudv
fY（y）f（u,y）du
^0
Fv（y）二
5、
二维随机变量的条件分布
fYx（yx）」（x，y）
y.；-亠fx（x）'y
fxY（Xy）二［（X，y）厂:
:
:
:
x:
:
:
fy（y）
四、
随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量：
HoD
E（X）八XkPk
k丄
连续型随机变量：
E（X）二xf（x）dx
2、数学期望的性质
（1）E（C）=C,C为常数
E[E（X）]二E（X）
E（CX）=CE（X）
（2）E（X_Y）=E（X）_E（Y）E（aX_b）=aE（X）_bE（GXiCnXn）=CiE（Xi）CnE（Xn）
⑶若XY相互独立则：
E（XY）=E（X）E（Y）
（4）[E（XY）]2_E2（X）E2（Y）
3、方差:
D（X）二E（x2）—E2（X）
4、方差的性质
（1）D（C）=0D[D（X）]=0D（aX_b）=a2D（X）D（X）:
:
:
E（X-C）2
（2）D（X_Y）=D（X）D（Y）_2Cov（X,Y）若XY相互独立贝"：
D（X_Y）=D（X）D（Y）
5、协方差：
Cov（X,Y）二E（X,Y）—E（X）E（Y）若XY相互独立则：
Cov（X,Y）=0
6、相关系数：
怙二彳x,Y）=—Cov（X,Y）若XY相互独立则：
浊=0即XY不相关
Jd（x）Jd（¥）
7、协方差和相关系数的性质
（1）Cov（X,X）二D（X）Cov（X,Y）=Cov（Y,X）
（2）Cov（X1X2,Y）=Cov（X1,Y）Cov（X2,Y）Cov（aXc,bYd）=abCov（X,Y）
&常见数学分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布B（1,p）
P
p（1-p）
二行分布B（n,p）
np
nP（1—P）
泊松分布PQJ
扎
人
几何分布G（p）
1p
1—P
2p
超几何分布H（N,M,n）
Mn—
N
MMN_m
n（1—）
NNN1
均匀分布U（a,b）
a+b
2
（b-a）2
12
正态分布N（HP
2
指数分布E⑺
1
1
扎
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
鼻n鼻n
2、大数定律：
若Xi…Xn相互独立且n》：
：
时，_、、•Xi—D_.—VE（Xi）nyny
n
（2）若X—Xn相互独立同分布，且E（Xi）-叫则当n_—时：
―、Xi—P」
ny
3、中心极限定理
大时有:
n
7Xk-nJ
YnJN（0,1）
.n；「
⑵拉普拉斯定理：
随机变量n（n=1,2…）~B（n,p）则对任意X有:
n
nXXk—nP-
⑶近似计算：
P（a匹Xk9）=P（弟兰一兰与竺）g（竺叱）虫（耳兰）
k仝JnbJnbinbp'nb+‘ncr
六、数理统计
1、总体和样本
总体X的分布函数F（x）样本（Xi，X2Xn）的联合分布为F（X1,X2Xn）：
|丨F（Xk）
2统计量
（1）样本平均值：
XXi
（2）样本方差：
S2-（Xi_X）2-（Xi2_nX）
nyn-—n-怕
-nn
⑶样本标准差：
s二17（Xi一刃2（4）样本k阶原点距：
AkXik,k=1,2…
Yn-ny
1n_
（5）样本k阶中心距：
Bk二Mk二―7（Xi-X）k,k=2,3…
ny
（6）次序统计量：
设样本（X1，X2…Xn）的观察值（X1,X2…Xn），将X1,X^Xn按照由小到大的次序重新排列,得到X⑴沙
（2）「*X（n），记取值为X（q的样本分量为X（q，则称X
（1）乞X
（2）「乞Xg为样本（X1,X2…Xn）的次序统计量。
X
（1）=minq,X2…Xn）为最小次序统计量；X（n）=maX<（,X2…Xn）为最大次序统计量。
3、三大抽样分布
（1）2分布：
设随机变量X1,X量2=X12X2x2所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为2~2（n）
性质：
①E[2（n）]=n,D[2（n）]=2n②设X~2（m）,丫〜2（n）且相互独立，则XY~2（m-n）
所服从
⑵t分布：
设随机变量X~N（0,1）,Y~2（n），且X与丫独立，则随机变量:
的分布称为自由度的n的t分布，记为T~t（n）
（X-M）2
性质：
①E[t（n）]=0,D[t（n）]—,（n2）②limt（n）=N（0,1）=1e疋
n—2V2n
⑶F分布：
设随机变量U〜2（n）V〜2免），且U与V独立，则随机变量Fg,n?
）=U°所
Vn2
服从的分布称为自由度（mri2）的F分布，记为F〜Fg,匕）
性质：
设X~F（m,n），贝卩丄〜F（n,m）X
七、参数估计
1、参数估计
（1）定义：
用吋Xl，X2,…Xn）估计总体参数二，称h（Xl,X2,Xn）为的估计量，相应的吋Xi,X2,…Xn）为总体二的估计值。
（2）当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值二未知参数的最大似然估计值
2、点估计中的矩估计法：
（总体矩二样本矩）
n斗
离散型样本均值：
X二E（X）=-^Xi连续型样本均值：
X二E（X）二［xf（x,r）dx
ni£二
dn
离散型参数：
E（X2）Xi2
nX
3、点估计中的最大似然估计
最大似然估计法：
Xi,X2,Xn取自X的样本，设X~f（X,d）［或P（X=Xi）=P㈢］则可得到概率、nnn
密度：
f（Xi,X2，…XnC）：
|］f（Xi,初或P（X=Xi,X2，…Xn=Xn）P（X=Xi）=：
R&）］
i1i47
基本步骤：
nn
1似然函数：
L（r）八f（Xi,v）［或［［RU）］
i=1i=1
n
2取对数：
InLInf（XiJ）
i壬
3解方程：
=0,…，」^=0最后得：
才-V1（X1,X2，…Xn）,…，Tk-Vk（Xi,X2，…Xn）
k
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