高中数学 第1章 三角函数 111 任意角学案 苏教版必.docx

高中数学 第1章 三角函数 111 任意角学案 苏教版必.docx

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高中数学第1章三角函数111任意角学案苏教版必

1.1.1　任意角

1．了解任意角的概念．

2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．（重点）

3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　任意角的概念

阅读教材P5前五个自然段的有关内容，完成下列问题．

1．角的概念：

一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

2．角的分类：

按旋转方向可将角分为如下三类：

类型

定义

图示

正角

按逆时针方向旋转所形成的角

负角

按顺时针方向旋转所形成的角

零角

一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

如图111，则α＝________，β＝________.

图111

【解析】　α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.

【答案】　240°　－120°

教材整理2　象限角与轴线角

阅读教材P5最后一自然段的有关内容，完成下列问题．

1．象限角：

以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．

2．轴线角：

终边在坐标轴上的角．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）180°是第二象限角．（　　）

（2）－45°是第一象限角．（　　）

（3）第一象限内的角都小于第二象限内的角．（　　）

【解析】　

（1）×.180°是轴线角．

（2）×.－45°是第四象限角．

（3）×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）×

教材整理3　终边相同的角

阅读教材P6“思考”及“例1”的有关内容，完成下列问题．

与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

1．与30°角终边相同的角的集合可表示为________．

【解析】　由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}．

【答案】　{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}

2．将－885°化成k·360°＋α（0°≤α<360°，k∈Z）的形式是________．

【解析】　设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝（－3）×360°＋195°.

【答案】　（－3）×360°＋195°

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

角的概念辨析

（1）下列结论：

①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．

其中正确的结论是________（填序号）．

（2）如图112所示，射线OA绕端点O逆时针旋转45°到OB的位置，再顺时针旋转90°到OC的位置，则∠AOC＝________.

图112

【精彩点拨】　

（1）根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．

（2）

→

→

【自主解答】　

（1）①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．

（2）由角的定义可知∠AOC＝45°＋（－90°）＝－45°.

【答案】　

（1）②④　

（2）－45°

1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．

2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．

[再练一题]

1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．

【解析】　时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于3

小时，故时针转过的角度为－3

×30°＝－100°；分针转过的角度为－3

×360°＝－1200°.

【答案】　－100°　－1200°

终边相同的角与象限角

　已知α＝2016°.

（1）把α改写成k·360°＋β（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.

【精彩点拨】　

―→

―→

【自主解答】　

（1）用2016°除以360°商为5，余数为216°，∴k＝5，∴α＝5×360°＋216°（β＝216°），

∴α为第三象限角．

（2）∵θ＝k·360°＋216°，k∈Z，又－360°≤θ＜720°，∴k＝－1,0,1，∴θ＝－144°，216°，576°.

1．把任意角化为k·360°＋α（k∈Z且0°≤α＜360°）的形式，关键是确定k，可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．

2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

3．终边相同的角常用的三个结论：

（1）终边相同的角之间相差360°的整数倍．

（2）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．

（3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．

[再练一题]

2．在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．

（1）－736°；

（2）904°18′.【导学号：

06460000】

【解】　

（1）－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角，

∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．

（2）904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角，

∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．

[探究共研型]

区域角的表示

探究1　第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？

为什么？

【提示】　不能，第一象限内的角未必是（0°，90°）的角，其可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．

探究2　终边落在x轴上的角如何表示？

【提示】　{α|α＝k·180°，k∈Z}．

探究3　若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？

【提示】　角α，β的终边落在同一条直线上．

图113

　写出终边落在阴影部分的角的集合．

【精彩点拨】　法一：

先写出30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．

法二：

分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．

【自主解答】　法一：

设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：

①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．

②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}

＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α＜（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或（2k＋1）·180°＋30°≤α＜（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．

法二：

与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．

与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，

结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．

1．本题的求解注意实线边界与虚线边界的差异．

2．解答此类问题应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角（或终边在同一条直线上的角）写出符合条件的所有角的集合，最后借助图形表示出区域角的范围．

[再练一题]

3．如图114所示：

图114

（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．

【解】　

（1）终边在OA的最小正角为150°，故终边在OA的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．

同理，终边在OB上的最大负角为－45°，

故终边在OB的角的集合为{β|β＝k·360°＋－45°，k∈Z}．

（2）由题图知，阴影部分区域表示为

{x|k·360°＋－45°≤x≤k·360°＋150°，k∈Z}．

[构建·体系]

1．－210°为第________象限角．

【解析】　－210°＝（－1）×360°＋150°，150°是第二象限角．

【答案】　二

2．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．

【解析】　分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过

周．

【答案】　－120°　－1440°

3．下列四个角中与30°角终边相同的角是________．

①－30°；②210°；③390°；④－360°.

【解析】　∵390°＝360°＋30°，∴390°角与30°角的终边相同．

【答案】　③

4．在0°≤α＜360°中与－120°角终边相同的角为________．

【解析】　∵－120°＝－360°＋240°，

∴在0°～360°内与－120°终边相同的角为240°.

【答案】　240°

5．（2016·南通高一检测）已知角β的终边在直线

x－y＝0上．

（1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．

【导学号：

06460001】

【解】　

（1）如图，直线

x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：

S1＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}，S2＝{β|β＝k·360°＋240°，k∈Z}，

所以，角β的集合S＝S1∪S2

＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{β|β＝（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°＋60°，n∈Z}．

（2）由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n·180°＜720°，n∈Z，解得－

≤n＜

，n∈Z，

所以n＝－2，－1,0,1,2,3.

所以S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：

2×180°－60°＝－300°；

1×180°－60°＝－120°；

0×180°－60°＝60°；

1×180°＋60°＝240°；

2×180°＋60°＝420°；

3×180°＋60°＝600°.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）　

学业分层测评

（一）　任意角

（建议用时：

45分钟）

[学业达标]

一、填空题

1．与405°终边相同的角的集合为________．

【解析】　与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.

【答案】　{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}

2．（2016·如东高一检测）下面各组角中，终边相同的有________．（填序号）

①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；

④3000°，－840°.

【解析】　－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．

【答案】　②

3．在－390°，－885°，1351°，2016°这四个角中，其中第四象限内的角有________.【导学号：

06460002】

【解析】　－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；

－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；

1351°＝1080°＋271°，其角的终边落在第四象限；

2016°＝2160°－144°，其角的终边落在第三象限，

故满足题意的角有－390°，1351°.

【答案】　－390°，1351°

4．（2016·泰州高一检测）下列命题正确的是________（填序号）．

①三角形的内角必是第一、二象限角；

②始边相同而终边不同的角一定不相等；

③第四象限角一定是负角；

④钝角比第三象限角小．

【解析】　只有②正确．对于①，如A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．

【答案】　②

5．（2016·南京高一检测）已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小正角是________．

【解析】　与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k·360°－3000°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.

【答案】　240°

6．（2016·宿迁高一检测）若角α的终边与240°角的终边相同，则

的终边在第________象限．

【解析】　角α满足的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，故有

，

∴

终边落在第二象限或第四象限．

【答案】　二或四

7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．

【解析】　如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．

【答案】　三

8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.

【解析】　7α＝k·360°＋2α（k∈Z），∴α＝k·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k·360°＋144°（k∈Z）．

【答案】　α＝k·360°＋144°（k∈Z）

二、解答题

9．（2016·无锡高一检测）将下列各角表示为k·360°＋α（k∈Z,0°≤α＜360°）的形式，并指出是第几象限角．

（1）420°；

（2）－510°；（3）1020°.

【解】　

（1）420°＝360°＋60°，

而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．

（2）－510°＝－2×360°＋210°，

而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．

（3）1020°＝2×360°＋300°，

而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角．

10．写出终边在如图115所示阴影部分（包括边界）的角的集合．

图115

【解】　先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则

（1）{α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．

（2）{α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．

[能力提升]

1．下列说法中正确的是________．（填序号）

①120°角与420°角的终边相同；

②若α是锐角，则2α是第二象限的角；

③－240°角与480°角都是第三象限的角；

④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．

【解析】　对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．

【答案】　④

2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围（阴影部分）正确的是________．

图116

【解析】　令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，

令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.

故填③.

【答案】　③

3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________（填序号）．

①MP；②M∩P＝N；③N∪P⊆P.

【解析】　对于①：

390°是第一象限角，但390°>90°.

对于②：

－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．

对于③：

锐角一定小于90°，所以NP，

故N∪P⊆P.

【答案】　③

4．若α是第一象限角，问－α，2α，

是第几象限角？

【解】　∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°（k∈Z）．

（1）－k·360°－90°＜－α＜－k·360°（k∈Z），

∴－α所在区域与（－90°，0°）范围相同，故－α是第四象限角．

（2）2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°（k∈Z），

∴2α所在区域与（0°，180°）范围相同，故2α是第一、二

象限角或终边在y轴的非负半轴上．

（3）k·120°＜

＜k·120°＋30°（k∈Z）．

法一：

（分类讨论）当k＝3n（n∈Z）时，

n·360°＜

＜n·360°＋30°（n∈Z），

∴

是第一象限角；

当k＝3n＋1（n∈Z）时，n·360°＋120°＜

＜n·360°＋150°（n∈Z），∴

是第二象限角；

当k＝3n＋2（n∈Z）时，n·360°＋240°＜

＜n·360°＋270°（n∈Z），∴

是第三象限角．

综上可知：

是第一、二或第三象限角．

法二：

（几何法）如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为

终边所落在的区域，故

为第一、二或第三象限角.