09第九章力矩分配法.docx
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09第九章力矩分配法
第九章力矩分配法
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本章的问题：
A.力矩分配法的适用条件是什么？
B.什么叫固端弯矩？
约束力矩如何计算？
C.什么是转动刚度、分配系数和传递系数？
D.什么是不平衡力矩？
如何分配？
E.力矩分配法的计算步骤如何？
F.对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？
力矩分配法是位移法的渐近法。
适用于连续梁和无结点线位移的刚架。
§9－1力矩分配法的基本概念
力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。
适用范围：
是连续梁和无结点线位移的刚架。
针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。
1、名词解释
（1）转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
杆端的转动刚度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
图9－1给出了等截面杆件在A端的转动刚度SAB的数值。
关于SAB应当注意以下几点：
（1）在SAB中A点是施力端，B点称为远端。
（2）SAB是指施力端A在没有线位移的条件下的转动刚度。
在图9－1中，A端画成铰支座。
目的是强调A端只能转动，不能移动。
由图9－1得：
各种情况下杆件的转动刚度分别为:
远端固定：
S＝4i
远端简支：
S＝3i
远端滑动：
S＝i
远端自由：
S＝0
i：
是线刚度，其值
图9－1各种结构的转动刚度
（2）分配系数
图9－2所示三杆AB、AD、AC在刚结点A连接在一起。
远端B、C、D端分别为固定端，滑动支座，铰支座。
假设有外荷载M作用在A端，使结点A产生转角θA，然后达到平衡。
试求杆端弯矩
MAB、MAC、MAD。
由转动刚度的定义可知：
MAB=SABθA=4iABθA
MAC=SACθA=iACθA
MAD=SADθA=3iAD
取结点A作隔离体，由平衡方程ΣM=0得：
M=SABθA+SACθA+SADθA
式中
表示各杆
端转动刚度之和。
将
值代入上式，得
图9－2刚结点作用外力偶
由上式可以得出：
各杆A端的弯矩与各杆的转动刚度成正比。
即：
MAj=μAjM
μAj称为分配系数。
其中j可以是远端B、C、D。
μAB称为杆AB在A端的分配系数。
即等于杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。
注意：
同一结点各杆分配系数之和应等于零。
即
Σμ=μAB+μAC+μAD=1
总之：
作用于结点A的力偶荷载M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A端。
（3）传递系数
在图9－2中，力偶荷载M作用于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：
MAB=4iABθAMBA=2iABθA
MAC=iACθAMCA=－iACθA
MAD=3iADθAMDA=0
由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数
用CAB表示。
称为传递系数。
传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
对等截面杆件来说：
传递系数C随远端的支承情况而定。
具体为：
远端固定：
C＝0.5
远端简支：
C＝0
远端滑动：
C＝-1
一旦已知传递系数、和近端弯矩，远端弯矩自然可求出：
MBA=CABMAB
就图9－2所示的问题的计算方法归纳如下：
结点A作用的力偶荷载M，按各杆的分配系数给各杆的近端，远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数
。
2、基本运算（单结点的力矩分配）
先从只有一个节点角位移的连续梁入手。
如图9－3a所示。
一个两跨连续梁。
图9－3单结点的力矩分配过程
在力矩分配法中，我们不需列方程计算，就直接计算各杆的杆端弯矩。
注意：
杆端弯矩以顺时针为正。
计算步骤表述如下：
（1）假想我们先在结点B加一个阻止转动的刚臂，（即限制其转动）见图9－3b，然后再加砝码，此时，只有AB跨有变形；在此步骤中，由于约束的存在，使连续梁变成两个单跨梁。
在被锁住的结点B上，通过AB跨的固端弯矩MBAF，再从图9－3a中的BC跨，得BC的固端弯矩为MBCF=0，由ΣMB=0即MB＝MBAF＋MBCF，得到到了结点B的约束力矩MB；约束力矩等于固端弯矩之和，以顺时针为正。
（2）连续梁的结点B原来无约束，当然也不存在约束力矩MB，要与原结构相吻合，须去掉约束和不平衡力矩如图9-3c。
所以应放松结点和反方向加不平衡力矩（－MB）。
这时在结点B上就有一外力偶作用，根据前面的结论进行分配以及传递。
（3）把以上两步的情况进行叠加，就得到与原图（9－3a）相同的情况。
因此，把图9－3b、9-3c中的杆端弯矩相叠加，就得到实际的杆端弯矩（图9－3a）。
所以：
力矩分配法的物理概念简述如下：
先在刚结点B加上阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩。
结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。
去掉约束（即相当于在结点B新加－MB）,求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩。
叠加各杆端记下的力矩就得到实际杆端弯矩。
下面通过例题来说明方法的应用。
例9.1用力矩分配法计算图示连续梁，绘其弯矩图。
EI＝常数
解：
（1）先在节点B加上阻止转动的约束，计算由荷载产生的固端弯矩，计算结果如下：
在节点B处，各杆端弯矩总和为约束力矩MB,MB=60-36=24kN.m
（2）放松节点B，这相当于在节点B施加一个外力偶荷载－24kN.m.节点B上作用的力偶荷载，按分配系数分配于两杆的B端。
并使远端（A端）产生传递力矩，具体演算如下：
杆AB和BC的线刚度相等，都为i
转动刚度（远端固定为4i,远端铰结为3i）
.分配系数：
校核
计算过程可列表进行。
杆端
ABBA
BCCB
分配系数
0.571
0.429
固端弯矩
－60＋60
－360
分配传递
－6.85－13.7
－10.30
最终弯矩
－66.8546.30
－46.300
计算过程
根据杆端弯矩绘弯矩图如下：
§9－2多结点的力矩分配
上节我们分析了单结点的力矩分配，对于多结点的连续梁和刚架，只要逐个对每一个结点应用上节的基本运算，就可求出杆端弯矩。
图9－4a表示一个三跨连续梁，结构的外荷载是在BC跨上加一砝码，变形如图9－4a，下面我们说明分析过程。
用力矩分配法计算多跨连续梁原理和单节点相似，逐个放松节点进行分配、传递。
循环进行，直到最后分配的弯矩很小，满足精度要求，便可停止计算，然后把杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加便得到杆端的最后弯矩。
具体计算步骤如下：
图9-4三跨连续梁的力矩分配过程
第一步，先在结点BC上加约束，阻止结点转动，然后再加砝码（9－4b），这时由于约束的存在使得连续梁被分成三个单跨梁，仅BC一跨有变形，如图9－4b中虚线所示。
第二步，去掉结点B的约束（即放松B结点）（图9－4c注意：
此时结点C仍有约束），这时结点B将有转角，累加的总变形如图9－4c中虚线所示。
第三步，重新将B点锁住，然后去掉结点C的约束。
累加的总变形如图9－4d中虚线所示。
此时的变形已比较接近实际情况的变形了。
依次类推，再重复第二步和第三步，即轮流去掉结点B和结点C的约束，则连续梁的变形和内力很快就达到实际的状态。
最后，将各项步骤所得的杆端弯矩进行叠加，即得到所求的杆端弯矩。
注意：
不平衡力矩的大小和方向，正确计算分配系数和传递系数。
特别要注意符号问题。
下面通过例题来说明该方法的应用。
例9.2用力矩分配法计算图示连续梁，并绘弯矩图。
解：
现按演算格式进行计算
（1）计算各节点的分配系数；因在计算中只有B、C两个节点有角位移，在这两个节点施加约束并进行放松，所以只需计算节点B、C的分配系数，为简单起见，不妨设EI=1。
计算分配系数如下。
节点B
所以分配系数：
验算
同理节点C
验算
（2）求固端弯矩，锁住节点B、C。
按单跨的超静定梁确定固端弯矩。
计算如下：
（3）分配过程。
结合表格进行；
放松节点B，（此时节点C仍被锁住）按单节点问题进行分配和传递。
节点B的约束力矩为－60kN.m，放松节点B，等于在节点B上施加一与约束力矩反向的力偶荷载，＋60kN.mBA和BC杆端的分配弯矩为
0.4×60＝24kN.m,0.6×60=36kN.m
杆端CB的传递弯矩为：
杆端AB的传递弯矩为
将以上分配和传递弯矩分别写在各杆端的相应位置，经过分配和传递，节点B已经平衡，可在分配弯矩的数字下面画一横线，以示区别，同时用箭头表示将分配弯矩传递到远端节点上，并写明各杆的远端弯矩。
（4）重新锁住节点B并放松节点C，
节点C的约束力矩为：
60－90＋18＝－12kN.m
放松节点C，等于在节点C上施加一与约束力矩反向的力偶荷载12kN.m.CB、CD两杆端的分配弯矩都是：
0.5×12＝6kN.m杆端BC的传递弯矩为0.5×6＝3kN.m.
将分配弯矩和传递弯矩按同样的方法表示于各杆端。
此时，节点C已经平衡，但节点B又有新的约束力矩，以上完成了力矩分配法的第一个循环，按此原理再进行弯矩分配，详细见表。
（5）将各杆的固端弯矩、历次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。
计算过程
杆端
ABBA
BCCB
CDDC
分配
系数
0.4
0.60.50
0.5
固端
弯矩
00
－6060
－900
弯矩
分配
与
传递
12
24
－0.6－1.2
－0.05－0.09
36
18
3
6
－1.8－0.9
0.230.45
－0.14－0.07
0.04
6
0.45
0.04
最终
弯矩
11.3522.71
－22.7183.52
-83.520
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