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1、09第九章力矩分配法第九章 力矩分配法？本章的问题：A. 力矩分配法的适用条件是什么？B. 什么叫固端弯矩？约束力矩如何计算？C. 什么是转动刚度、分配系数和传递系数？D. 什么是不平衡力矩？如何分配？E. 力矩分配法的计算步骤如何？F. 对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？力矩分配法是位移法的渐近法。适用于连续梁和无结点线位移的刚架。 91力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。适用范围：是连续梁和无结点线位移的刚架。针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。1、名词解释（1） 转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。杆端的转动刚

2、度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。图91给出了等截面杆件在A端的转动刚度SAB的数值。关于SAB应当注意以下几点：（1） 在SAB中A点是施力端，B点称为远端。（2） SAB是指施力端A在没有线位移的条件下的转动刚度。在图91中，A端画成铰支座。目的是强调A端只能转动，不能移动。由图91得：各种情况下杆件的转动刚度分别为:远端固定： S4i 远端简支： S3i 远端滑动： S i 远端自由： S0 i：是线刚度，其值 图91各种结构的转动刚度（2）分配系数 图92所示三杆AB、AD、AC在刚结点A连接在一起。远端B、C、D端分别为固定端，滑动支座，铰支座。假设有外荷

3、载M作用在A端，使结点A产生转角A，然后达到平衡。试求杆端弯矩 MAB 、 MAC 、 MAD。由转动刚度的定义可知：MAB = SABA = 4iABAMAC = SACA = iACAMAD = SADA = 3iAD取结点A作隔离体，由平衡方程M=0 得：M = SABA+ SACA+ SADA式中表示各杆端转动刚度之和。将值代入上式，得 图92刚结点作用外力偶由上式可以得出：各杆A端的弯矩与各杆的转动刚度成正比。即：MAj = Aj MAj称为分配系数。其中j可以是远端B、C、D。AB称为杆AB在A端的分配系数。即等于杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。注意：同一结点

4、各杆分配系数之和应等于零。即=AB+AC+AD=1总之：作用于结点A的力偶荷载M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A端。（3） 传递系数在图92中，力偶荷载M作用于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：MAB = 4iABA M B A = 2iABAMAC = iACA MCA = iACAMAD = 3iADA MDA = 0由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用CAB表示。称为传递系数。传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆件来说：传递系数C随远端的支承情况而定。具体为：远端固定： C 0

5、.5 远端简支： C0 远端滑动： C -1 一旦已知传递系数、和近端弯矩，远端弯矩自然可求出： MBA = CAB MAB 就图92所示的问题的计算方法归纳如下：结点A作用的力偶荷载M，按各杆的分配系数给各杆的近端，远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。2、基本运算（单结点的力矩分配）先从只有一个节点角位移的连续梁入手。如图93a所示。一个两跨连续梁。图93单结点的力矩分配过程 在力矩分配法中，我们不需列方程计算，就直接计算各杆的杆端弯矩。注意：杆端弯矩以顺时针为正。计算步骤表述如下：（1） 假想我们先在结点B加一个阻止转动的刚臂，（即限制其转动）见图93b，然后再加砝码，此时，只有AB跨有变形

6、；在此步骤中，由于约束的存在，使连续梁变成两个单跨梁。在被锁住的结点B上，通过AB跨的固端弯矩MBAF，再从图93a中的BC跨 ，得BC的固端弯矩为MBCF=0，由MB=0即MBMBAFMBCF ，得到到了结点B的约束力矩MB ； 约束力矩等于固端弯矩之和，以顺时针为正。（2） 连续梁的结点B原来无约束，当然也不存在约束力矩MB，要与原结构相吻合，须去掉约束和不平衡力矩如图9-3c。所以应放松结点和反方向加不平衡力矩（MB）。这时在结点B上就有一外力偶作用，根据前面的结论进行分配以及传递。（3） 把以上两步的情况进行叠加，就得到与原图 （93a）相同的情况。因此，把图93b、9-3c中的杆端弯

7、矩相叠加，就得到实际的杆端弯矩（图93a）。所以：力矩分配法的物理概念简述如下：先在刚结点B加上阻止转动的约束，把连续梁分为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。去掉约束（即相当于在结点B新加MB）,求出各杆B端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩就得到实际杆端弯矩。下面通过例题来说明方法的应用。 例9.1 用力矩分配法计算图示连续梁，绘其弯矩图。EI常数解：（1） 先在节点B加上阻止转动的约束，计算由荷载产生的固端弯矩，计算结果如下：在节点B处，各杆端弯矩总和为约束力矩MB, MB=60-36=24kN.m(2) 放松节点B，这相当于

8、在节点B施加一个外力偶荷载24kN.m.节点B上作用的力偶荷载，按分配系数分配于两杆的B端。并使远端（A端）产生传递力矩，具体演算如下：杆AB和BC的线刚度相等，都为i 转动刚度（远端固定为4i, 远端铰结为3i）. 分配系数： 校核 计算过程可列表进行。杆 端AB BABC CB分配系数0.5710.429固端弯矩60 6036 0分配传递6.85 13.710.3 0最终弯矩66.85 46.3046.30 0计 算 过 程根据杆端弯矩绘弯矩图如下： 92 多结点的力矩分配上节我们分析了单结点的力矩分配，对于多结点的连续梁和刚架，只要逐个对每一个结点应用上节的基本运算，就可求出杆端弯矩。图

9、94a表示一个三跨连续梁，结构的外荷载是在BC跨上加一砝码，变形如图94a，下面我们说明分析过程。用力矩分配法计算多跨连续梁原理和单节点相似，逐个放松节点进行分配、传递。循环进行，直到最后分配的弯矩很小，满足精度要求，便可停止计算，然后把杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加便得到杆端的最后弯矩。具体计算步骤如下： 图9-4三跨连续梁的力矩分配过程 第一步，先在结点BC上加约束，阻止结点转动，然后再加砝码（94b），这时由于约束的存在使得连续梁被分成三个单跨梁，仅BC一跨有变形，如图94b中虚线所示。第二步，去掉结点B的约束（即放松B结点）（图94c注意：此时结点C仍有约束），这时结点B将有转

10、角，累加的总变形如图94c中虚线所示。第三步，重新将B点锁住，然后去掉结点C的约束。累加的总变形如图94d中虚线所示。此时的变形已比较接近实际情况的变形了。依次类推，再重复第二步和第三步，即轮流去掉结点B和结点C的约束，则连续梁的变形和内力很快就达到实际的状态。最后，将各项步骤所得的杆端弯矩进行叠加，即得到所求的杆端弯矩。注意：不平衡力矩的大小和方向，正确计算分配系数和传递系数。特别要注意符号问题。下面通过例题来说明该方法的应用。例9.2 用力矩分配法计算图示连续梁，并绘弯矩图。解：现按演算格式进行计算（1） 计算各节点的分配系数；因在计算中只有B、 C两个节点有角位移，在这两个节点施加约束并

11、进行放松，所以只需计算节点B、 C的分配系数，为简单起见，不妨设 EI=1。计算分配系数如下。节点B 所以分配系数： 验算 同理节点C 验算 （2）求固端弯矩，锁住节点B、 C。按单跨的超静定梁确定固端弯矩。计算如下： （3）分配过程。结合表格进行；放松节点B，（此时节点C仍被锁住）按单节点问题进行分配和传递。节点B的约束力矩为60kN.m，放松节点B，等于在节点B上施加一与约束力矩反向的力偶荷载，60kN.m BA和BC杆端的分配弯矩为0.46024kN.m, 0.660=36kN.m杆端CB的传递弯矩为： 杆端AB的传递弯矩为 将以上分配和传递弯矩分别写在各杆端的相应位置，经过分配和传递，

12、节点B已经平衡，可在分配弯矩的数字下面画一横线，以示区别，同时用箭头表示将分配弯矩传递到远端节点上，并写明各杆的远端弯矩。（4） 重新锁住节点B并放松节点C，节点C的约束力矩为：60901812kN.m放松节点C，等于在节点C上施加一与约束力矩反向的力偶荷载12kN.m. CB、 CD两杆端的分配弯矩都是：0.5126kN.m 杆端BC的传递弯矩为0.563kN.m .将分配弯矩和传递弯矩按同样的方法表示于各杆端。此时，节点C已经平衡，但节点B又有新的约束力矩，以上完成了力矩分配法的第一个循环，按此原理再进行弯矩分配，详细见表。（5）将各杆的固端弯矩、历次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。计 算 过程杆 端AB BABC CBCD DC分 配系 数0.40.6 0.500.5固 端弯 矩0 060 6090 0弯 矩分 配与传 递12 240.6 1.20.05 0.0936 183 61.8 0.90.23 0.450.14 0.07 0.0460.450.04最 终弯 矩11.35 22.7122.71 83.52-83.52 0