故A′P⊥平面PBCD.
所以VA′-PBCD=
Sh
=
(2-x)(2+x)x=
(4x-x3).
令f(x)=
(4x-x3),[4分]
由f′(x)=
(4-3x2)=0,得x=
(负值舍去).[5分]
当x∈
时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈
时,f′(x)<0,f(x)单调递减.[7分]
所以当x=
时,f(x)取得最大值.
故当VA′-PBCD最大时,PA=
.[8分]
(2)证明 设F为A′B的中点,如图所示,连接PF,FE,
则有EF綊
BC,PD綊
BC.[10分]
所以EF綊PD.
所以四边形EFPD为平行四边形.所以DE∥PF.
又A′P=PB,所以PF⊥A′B,故DE⊥A′B.[12分]
评分细则
(1)从已知条件得到A′P⊥平面PBCD,得2分;
(2)f(x)的单调区间写成闭区间不扣分;少一个区间扣1分;(3)辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分.
阅卷老师提醒
(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变,哪些不变,抓住翻折前后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.
(2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.
1.关于直线a、b、c,以及平面M、N,给出下列命题:
①若a∥M,b∥M,则a∥b;
②若a∥M,b⊥M,则a⊥b;
③若a∥b,b∥M,则a∥M;
④若a⊥M,a∥N,则M⊥N.
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 ①中a与b可以相交或平行或异面,故①错.③中a可能在平面M内,故③错,故选C.
2.下列命题中,m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
答案 C
解析 ②平面α与β可能相交,③中m与n可以是相交直线或异面直线.故②③错,
选C.
3.(星课堂·四川)下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
答案 C
解析 A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交;
B错误,△ABC的三个顶点中,A、B在α的同侧,而点C在α的另一侧,且AB平行于α,此时可有A、B、C三点到平面α距离相等,但两平面相交;
D错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选C.
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD.在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD,AD∩DC=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC.
5.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1上的动点,则直线NO、AM的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面垂直 D.异面不垂直
答案 C
解析 易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直,进而可证得ON⊥AM.
6.若l为一条直线,α,β,γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:
①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.
其中正确的有________.
答案 ②③
解析 正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直,但这两个面不垂直,故命题①不正确;若α⊥γ,在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m,根据面面垂直的性质定理,m⊥γ,又β∥γ,故m⊥β,这样平面α过平面β的一条垂直,故α⊥β,命题②正确;过直线l作平面δ交平面α于直线n,根据线面平行的性质定理,l∥n,又l⊥β,故n⊥β,这样平面α就过平面β的一条垂线,故α⊥β,故命题③正确.
专题限时规范训练
一、选择题
1.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
答案 D
解析 由直线a与B确定的平面与β有唯一交线.故存在唯一与a平行的直线.
2.设m,n为两条直线,α,β为两个平面,则下列四个命题中,正确的命题是( )
A.若m⊂α,n⊂α,且m∥β,n∥β,则α∥β
B.若m∥α,m∥n,则n∥α
C.若m∥α,n∥α,则m∥n
D.若m,n为两条异面直线,且m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β
答案 D
解析 选项A中的直线m、n可能不相交;选项B中直线n可能在平面α内;选项C中直线m,n的位置可能是平行、相交或异面.故选D.
3.下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 D
解析 两个平面α,β垂直时,设交线为l,则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,那么由面面垂直的判定定理知α⊥β,故B正确;两个平面都与第三个平面垂直时,易证交线与第三个平面垂直,故C正确;两个平面α,β垂直时,平面α内与交线平行的直线与β平行,故D错误.
4.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱AB上的动点,则直线A1D与直线C1E所成的角等于
( )
A.60°B.90°
C.30°D.随点E的位置而变化
答案 B
解析 在正方体中,显然有A1D⊥AB,A1D⊥AD1,
所以A1D⊥面AD1C1B,又C1E⊂面AD1C1B,故A1D⊥C1E.故选B.
5.如图,若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F-HC1G所得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( )
A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形
C.Ω是棱柱D.Ω是棱台
答案 D
解析 A中,∵EH∥A1D1,∴EH∥BC,
∴EH∥平面BCC1B1.
又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG,
∴EH∥FG.故A成立.
B中,易得四边形EFGH为平行四边形,
∵BC⊥平面ABB1A1,
∴BC⊥EF,即FG⊥EF.
∴四边形EFGH为矩形.故B正确.
C中可将Ω看作以A1EFBA和D1DCGH为上下底面,以AD为高的棱柱.故C正确.
6.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AC∩EF=G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为P,则在四面体P-AEF中必有( )
A.AP⊥△PEF所在平面B.AG⊥△PEF所在平面
C.EP⊥△AEF所在平面D.PG⊥△AEF所在平面
答案 A
解析 在折叠过程中,AB⊥BE,AD⊥DF保持不变.
∴
⇒AP⊥面PEF.
7.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的
( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.
8.已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,有下列命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m⊥α,m⊥n,则n∥α;④若m⊥α,m⊥β,则α∥β.
其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案 A
解析 ①②③不成立,故选A.
二、填空题
9.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于______.
答案
解析 由于在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,
∴AC=2
.
又E为AD的中点,EF∥平面AB1C,EF⊂平面ADC,
平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,
∴F为DC的中点,∴EF=
AC=
.
10.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体PDEF(点A、B、C重合后记为P),则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为________.
答案
解析 折成的