0基础系列数量关系.docx

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0基础系列数量关系

0基础系列-数量关系

【方法技巧】数量0基础——你真的会代入吗？

（1）题干特征：

①多位数问题（题干描述一个多位数，各个数字满足的要求，问题求这个多位数）

②年龄问题（题干描述N个人年龄之前的关系，问题求某个或某几个人的年龄）

③余数类问题（题干涉及到分配物品有余数或恰好平均分配，问题求物品总数或被分配的人数）

④不定方程问题（题干涉及到两个未知数，只能列出一个方程，或涉及到三个未知数，列出两个方程，问题求某一个未知数的值或某几个未知数的值）

⑤操作类问题（题干涉及到多步操作，较为复杂，问题求初始情况）

①简单入手原则：

如果选项里面有整十整百，先代这些整十整百的数值算，为什么？

——好算！

补充一句：

整十整百作为正确答案的概率也更高一些；

②最值代入原则：

如果可以代入，但是问题中出现最多/最少，按照从大到小/从小到大的顺序依次代入验证！

切记！

（否则存在出错的可能）

③排除原则：

当某个选项不满足题干中的某个条件时，无需继续验证该选项是否满足题干的其他条件。

【小作业】（建议时间：

7分钟，把所有可以代入的题目找到并解决）

1.某班有56名学生，每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。

已知有27人参加a兴趣班，参加b兴趣班的人数第二多，参加c、d兴趣班的人数相同，e兴趣班的参加人数最少，只有6人，问参加b兴趣班的学生有多少个？

（   ）

A．7个B．8个C．9个D．10个

2.某单位共有四个科室，第一科室20人，第二科室21人，第三科室25人，第四科室34人，随机抽取一人到外地考察学习，抽到第一科室的概率是多少？

A．0.3B．0.24C．0.2D．0.15

3.将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生。

在9个班中，其中1个班有学生32人，其余8个班人数相同且在40到50人之间。

如每名学生分到的书本数相同，问每人分到了多少本书？

A．40B．50C．60D．80

4.某单位志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶，到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒；如果每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒，问该敬老院至少有多少名老人：

A．39B．40C．41D．43

5.以一个矩形任意两条边为直径画圆，将该矩形分成的区域数有几种不同的可能性：

A．1B．2C．3D．4

6.一艘船在河水流速为每小时15公里的河中央抛锚，停在码头下游60公里处。

一艘时速为40公里的救援船从码头出发前去拖船，已知救援船拖上另一艘船后，船速将下降1/4。

救援船从码头出发，一共需要大约多少小时才能将抛锚的船拖回码头：

A．3B．3.5C．4D．5.1

7.有一堆围棋子。

白子数是黑子的3倍。

每次拿出5颗白子、3颗黑子，经过若干次后，剩下的白子数是黑子数的9倍。

问原来白子最少有几颗：

A．22B．27C．33D．66

8.A、B、C、D四个工程队修建一条马路，A、B合作可用8天完成，A、C或B、D合作可用7天完成，问C、D合作能比A、B合作提前多少天完成：

A．16/9B．15/8C．7/4D．2

9.某科室共有8人，现在需要抽出两个2人的小组到不同的下级单位检查工作，问共有多少种不同的安排方案：

A．210B．260C．420D．840

10.小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。

1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。

问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？

（   ）

A．25、32B．27、30C．30、27D．32、25

【方法技巧】数量0基础——枚举、凑也是方法

①题干较简单，满足题干要求的情况数较少（常见题型：

简单排列组合）

【例1】餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的，3桶2升装的，8桶1升装的。

问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油？

A．4B．5C．6D．7

【小齐分析】由于9升食用油只能由若干5、2、1凑成，且满足要求的情况一定不多（看选项），故直接按顺序枚举出所有情况即可：

5升、2升、1升依次使用（1、2、0）（1、1、2）（1、0、4）（0、3、3）（0、2、5）（0、1、7）共6种方式。

（由于只有3桶2升，故不存在0、4、1）

【例2】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。

问一共有多少种不同的发放方法？

（   ）

A.12B.10C.9D.7

【小齐分析】排列组合问题，选项数值较小（很多排列组合问题，都可以直接枚举，不用管A、C）。

由于每个部门至少9份，故30份材料只能分为（9、9、12）（9、10、11）（10、10、10）三种情况，再把材料对应到3个部分，（9、9、12）有三种对应方式：

（9、9、12）（9,、12、9）（12、9、9）；（9、10、11）有6种对应方式（9、10、11）（9、11、10）（10、9、11）（10、11、9）（11、9、10）（11、10、9）其实也就是A33；（10、10、10）只有一种对应方式（10、10、10）。

故一共有3+6+1=10种分配方式。

（本题其实是插板法的典型题目，见今天最后一条推送，但是如果你没有学会插板法，直接分类枚举同样可以凑出答案）

②不定方式求正整数解时（详见不定方程的推送）

③题目涉及到一般情况比较复杂，直接用简单的特殊情况计算答案

【例3】三个工程队完成一项工程，每天两队工作、一队轮休，最后耗时13天整完成了这项工程。

问如果不轮休，三个工程队一起工作，将在第几天内完成这项工程？

A．6天B．7天C．8天D．9天

【小齐分析】工程问题。

只描述了工作方式，但是不知道3个人的效率，那么：

3人的效率分别是多少一定不影响最后的答案，直接找到最简单的情况，三人的效率均赋值为1，计算工作总量为（1+1）×13=26，26÷（1+1+1）=8.几，故9天内完成。

④题目涉及到较大的N（遥远的以后的情况），先计算N取1、2、3、4时的简单情况

【例4】n为100以内的自然数（0也是自然数喔~），那么能令被7整除的n有多少个？

（   ）

A.32B.33C.34D.35

【小齐分析】2的100次方等于几，计算器都不知道，以后碰到此类题目（涉及到比较大的N，一定先计算简单情况：

n取0、1、2、3……找到规律。

本题中n=0时，2的0次方-1=0，能被7整除，尝试后发现，n取3、6的时候原式均能被7整除，发现当n取3的倍数时满足要求，1到100共33个3的倍数，再加上0，一共34个数满足要求。

）

⑤题目给出的数据计算较为麻烦，先强行赋值（较好算的数据），然后按比例推出答案

【例5】老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。

问老王买进该艺术品花了多少万元？

（  ）

【小齐分析】由于已知了具体数值，一般不能直接赋值，但是如果我们假定进价是100万，则市价为150万，售价为150×0.8=120万，扣除交易费用120×5%=6万，最终盈利14万，而实际盈利为7万，即假设量的一半，所以进价也应该是假设量100万的一半，即50元。

即最后一步按照“赋值”与“实际值”的比例关系，扩大或缩小即可得到正确答案。

【方法技巧】数量0基础——快速查找等量关系

【方法技巧】数量0基础——快速查找等量关系

方程法步骤：

①找等量关系②设未知数（等量关系中缺谁设谁）③列方程，解方程

等量关系常见形式

①已知总和

②已知A与B中间的关系：

A比B……，A是B……，A与B……

③隐藏在多个条件中的不变量

注释：

第②条通常用来减少未知数的个数，用一个未知数x来表示多个量

【例1】某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4％，农村人口增加5.4％，则全市人口将增加4.8％，那么这个市现有城镇人口（    ）。

 本题其实也可以十字交叉（更简单一些），但是今天不用考虑~

【例2】有甲、乙两个项目组。

乙组任务临时加重时，从甲组抽调了四分之一的组员。

此后甲组任务也有所加重，于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。

此时甲组与乙组人数相等。

由此可以得出结论（   ）。

  本题也可以设甲为4x，图片中的方程其实很好化简哒~

【例3】甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。

则两个工厂每天共能生产多少个零件？

【例4】某工厂的两个车间共有120名工人，每名工人每天生产15件设备。

如果将乙车间工人的1/3调到甲车间，则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。

问原来乙车间比甲车间多多少人？

（   ）

【例5】一群人坐车去旅游，如果每辆车坐22人，还剩5人没有坐车，如果每辆车坐26人，则空出15个座位。

问每辆车坐25人，空出多少个座位？

【例6】甲乙两个乡村阅览室，甲阅览室科技类书籍数量的1/5相当于乙阅览室该类书籍的1/4，甲阅览室文化类书籍数量的2/3相当于乙阅览室该类书籍的1/6，甲阅览室科技类和文化类书籍的总量比乙阅览室两类书籍的总量多1000本，甲阅览室科技类书籍和文化类书籍的比例为20：

1，问甲阅览室有多少本科技类书籍？

本题麻烦一些，但是理清条件，找到核心等量关系就很简单啦（图片中有个错误喔，看看能看出来不）

【例7】某单位今年一月份购买5包A4纸、6包B5纸，购买A4纸的钱比B5纸少5元；第一季度该单位共购买A4纸15包、B5纸12包，共花费510元。

那么每包B5纸的价格比A4纸便宜（   ）。

【方法技巧】数量0基础——不定方程解法汇总

常用解法：

①直接代入选项验证（小齐说：

能代入优先代入！

）；

②枚举试算；

③利用奇偶、尾数、倍数等数字特性分析；

④特定题型可以采用赋“0”法。

【例1】办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。

每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。

要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为多少个？

（  ）

A．1，6B．2，4C．3，2D．4，1

【例2】某班有56名学生，每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。

已知有27人参加a兴趣班，参加b兴趣班的人数第二多，参加c、d兴趣班的人数相同，e兴趣班的参加人数最少，只有6人，问参加b兴趣班的学生有多少个？

（  ）

A．7个B．8个C．9个D．10个

【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。

问两种包装盒相差多少个？

（  ）

A．3B．4C．7D．13

【练习】一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是（  ）。

A．8B．9C．7D．6

【例4】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。

钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是？

（  ）

A．12B．13C．16D．18

【例5】小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。

已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。

问小王捐赠了多少个书包？

（  ）

A．9B．10C．11D．12

【例6】某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金，一、二、三等奖每人奖金分别为800、700和500元。

11名获一、二、三等奖的职工共获奖金6700元，问有多少人获得三等奖？

（  ）

A．3B．4C．5D．6

【例7】现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍，此时箱子里共有22个球。

最终甲箱中的球比乙箱（  ）。

A．多1个B．少1个C．多2个D．少2个

【例8】射箭运动员进行训练，10支箭共打了93环，且每支箭的环数都不低于8环。

问命中10环的箭数最多能比命中9环的多几支？

（  ）

A．2B．3C．4D．5

【例9】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。

如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱？

（   ）

A．21元B．11元C．10元D．17元

【例10】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。

问如果他要加工桌子、凳子和椅子各10张，共需多少个小时？

（  ）

A．50B．47.5C．52.5D．55

【例11】小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（    ）元。

A．9B．12C．15D．18

【方法技巧】数量0基础——工程问题

核心公式：

工作总量=工作效率×工作时间

赋值法：

①已知若干个工作时间，赋值总量为工作时间的公倍数；

②已知效率之间的比例关系，按比例赋值效率。

③N个相同的人/机器，赋值每人的效率为1；总量和效率均不好赋值时，设总量为单位1，把效率设为未知数，列方程求解

【例1】一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天，丙、丁合作12天完成。

如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是：

A．16B．18C．24D．26

【例2】某项工程，甲工程队单独施工需要30天完成，乙施工队单独施工需要25天完成，甲队单独施工了4天后改由两队一起施工，期间甲队休息了若干天，最后整个工程共耗时19天完成，问甲队中途休息了几天？

A．1B．3C．5D．7

【例3】甲、乙、丙3个施工队，乙的工效与甲、丙两队合作的工效相等，丙的工效是甲、乙两队合作工效的四分之一。

现有一项工程，据测算，三队合作30个工作日可完成。

如果由甲队单独来做，需要多少个工作日？

A．60B．96C．100D．150

【例4】某浇水装置可根据天气阴晴调节浇水量，晴天浇水量为阴雨天的2.5倍。

灌满该装置的水箱后，在连续晴天的情况下可为植物自动浇水18天。

小李6月1日0：

00灌满水箱后，7月1日0：

00正好用完。

问6月有多少个阴雨天？

A．10B．16C．18D．20

【例5】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时16天同时结束。

问丙队在A工程中参与施工多少天？

（   ）A．6B．7C．8D．9

【练习1】有A和B两个公司想承包某项工程。

A公司需要300天才能完工，费用为1.5万元/天。

B公司需要200天就能完工，费用为3万元/天。

综合考虑时间和费用等问题，在A公司开工50天后，B公司才加入工程。

按以上方案，该项工程的费用为多少？

A．475万元B．500万元C．615万元D．525万元

【练习2】蓄水池有两个进水口，正常情况下，单独开甲进水口，5小时可以将蓄水池注满；单独开乙进水口，3小时可以注满。

现由于出水口出现渗水，同时开甲、乙两个进水口，2小时才能注满。

假定渗水速度恒定，如果单独开甲进水口，需要多少分钟才能将蓄水池注满?

A．300B．360C．400D．480

【练习3】小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。

某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。

再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？

（    ）

A．1B．1.5C．2D．3

【练习4】一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天，甲队与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。

三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲、乙两队留下继续工作。

那么，开工22天以后，这项工程：

（   ）A．已经完工B．余下的量需甲乙两队共同工作1天

C．余下的量需乙丙两队共同工作1天D．余下的量需甲乙丙三队共同工作1天

【练习5】A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路900米，李庄要修路1250米。

已知A、B、C队每天分别能修24米、30米、32米，A、C队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。

问B队在王庄工作了几天？

A．9B．10C．11D．12

【练习6】某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。

现收割了7天后增加4台收割机，并通过技术改造使每台机器的效率提升5%。

问收割完所有的麦子还需要几天？

（   ）

A．3B．4C．5D．6

【练习7】某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。

甲队单独完成A工程需要25天，丙队单独完成B工程需要9天。

现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。

如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多少天？

（   ）

A．6B．7C．8D．9

【方法技巧】数量0基础——工效统筹（选学）

题型特征：

两个人、两项工作，每个人分别完成这两项工作的效率不相等（简单来说：

各自有效率）。

如何求解呢？

先看看下面的例1，听听视频中的解法：

【例】小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，小王每天可以制作150个甲部件，或者制作75个乙部件；小刘每天可以制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。

现两人一起制作工艺品，10天时间最多可以制作该工艺品（  ）件。

A.660B.675C.700D.900【答案】C

甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。

已知甲队单独完成A项目需13天，单独完成B项目需7天；乙队单独完成A项目需11天，单独完成B项目需9天。

如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务？

（   ）

A.1/12天B.1/9天C.1/7天D.1/6天【答案】D

【例】小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，小王每天可以制作150个甲部件，或者制作75个乙部件；小刘每天可以制作60个甲部件，或者制作24个乙部件。

现两人一起制作工艺品，10天时间最多可以制作该工艺品（  ）件。

A.660B.675C.700D.900

如下图所示：

①把两个人的上衣、裤子横着抄成两行，交叉相乘计算乘积，找到乘积更大的那一组，标为（A、B），大数为A，小数为B，在本题中为75是A，60是B；

②将A旁边的数，标记为C，在本题中为150；

③每天能够生产的最大套数=A×（B+C）÷（A+C），记忆方法为ABCAC。

【方法技巧】数量0基础——约数倍数

①最大公约数和最小公倍数的计算方法：

短除法：

（3个数怎么求先不用问我，真题中会遇到，到时后再说吧~）

计算30和48的最大公约数和最小公倍数，如下图所示：

②判断某个数约数的个数：

方法1，两两一组因式分解

如判断30有多少个约数。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，故30一共有（1、2、3、5、6、10、15、30）8个约数。

换一个数，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，故48共有（1、2、3、4、6、8、12、16、24、48）0个约数。

方法2，分解质因数（0基础最好不要看这个方法）

将所求数字分解为若干个质数的乘积形式，如下所示：

③常用结论：

只有平方数（1、4、9、16、25、36……）的约数个数为奇数个！

看这个：

25=1×25=5×5，共（1、5、25）3个约数；

36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，共（1、2、3、4、6、9、12、18、36）9个约数。

【方法技巧】数量0基础——溶液问题（送分题）

基本公式：

溶液（盐水）＝溶质（盐）+溶剂（水）；浓度＝溶质÷溶液；

常考题型及入手点：

①蒸发稀释类：

溶质不变、②溶液混合类：

混合前后总溶质相等、③反复操作类：

总溶液不变，计算剩余溶质

【例1】将40千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，化为20%的溶液。

应去水多少千克？

A．8千克B．9千克C．10千克D．11千克

【例2】已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？

A．3%B．2.5%C．2%D．1.8%

【例3】瓶中装有浓度为20%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入200克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的溶液浓度变为15%。

已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。

那么A种酒精溶液的浓度是多少？

（ ）

A． 5%B． 6%C． 8%D． 10%

【例4】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？

（假设烧杯中盐水不会溢出）

A．6B．5C．4D．3

【例5】从一瓶浓度为20%的消毒液中倒出2/5后，加满清水，再倒出2/5，又加满清水，此时消毒液的浓度为（   ）。

A． 7.2%B． 3.2%C． 5.0%D． 4.8%

【例6】有A、B、C三种浓度不同的溶液，按A与B的质量比为5:

3混合，得到的溶液浓度为13.75%；按A与B的质量比为3:

5混合，得到的溶液浓度为16.25%；按A、B、C的质量比为1:

2:

5混合，得到的溶液浓度为31.25%。

问溶液C的浓度为多少：

A．35%B．40%C．45%D．50%

【方法技巧】数量0基础——经济利润

经济利润问题常用公式：

售价-成本=利润、利润率=利润÷成本、定价=成本×（1+利润率）

折扣：

打几折，就在定价（原价）的基础上乘以0.几、特殊题型：

部分打折类

破题点：

总售价=两部分售价之和；总利润=两部分利润之和

【例1】某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少?

（   ）

A．6%B．8%C．10%D．12%

【例2】某产品售价为67.1元，在采用最新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。

问该产品最初的成本为多少元?

 （   ）

A．51.2B．54.9C．61D．62.5

【例3】商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）比以前下降了10个百分点。

问原来的毛利率是多少？

A．10%B．20%C．30%D．40%

【练习】一商品的进价比上月低了5%，但超市仍按上月售价销售，其利润率提高了6个百分点，则超市上月销售该商品的利润率为：

A．12%B．13%C．14%D．15%

【例4】某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出后2/3，以定价的8折将余下的T恤全部售出，该网店预计盈利为成本的：

A．3.2%B．不赚也不亏C．1.6%D．2.7%

【例5】商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价。

结果只销售了商品总量的30%。

为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元。

问商店是按定价打几折销售的?

（   ）

A．九折B．七五折C．六折D．四八折

【练习】某家具店购进100套桌椅，每套进价200元，按期望获利50%定价出售，卖掉60套