一元一次方程《赏古诗列方程学数学》.docx
《一元一次方程《赏古诗列方程学数学》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元一次方程《赏古诗列方程学数学》.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
一元一次方程《赏古诗列方程学数学》
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
1、赏古诗，列方程，学数学；2、学好一元一次方程一、二、三
3、“墓碑与遗嘱”与一元一次方程；4、特殊一元一次方程的巧解
5、巧构一元一次方程来解题；6、列方程归类剖析
7、解这些方程就象“剥洋葱皮”简单！
；8、去括号和去分母常见错解剖析
9、“绝对值”一次方程解法点击；10、理解等式的性质四注意
11、用一元一次方程解方案决策性问题； 12、转变思路，学好列方程解应用题
1、赏古诗，列方程，学数学
用诗歌的形式来表达数学问题，使数学思维与诗情画意融为一体，学者喜闻乐见，闻者
愿作深思．不妨看：
我国唐朝“李白”沽酒的故事．《李白沽酒》
李白无事街上走，提着酒壶去买酒．
遇店加一倍，见花喝一斗．
三遇店和花，喝光壶中酒．
借问此壶中，原有多少酒？
分析：
这是历史上有名的一道用诗歌形式表述数学的问题，不但诗名优美，而且富有韵
味．如果我们设壶中原有酒 x 斗，那么，我们将文字与式子对比如下：
原文翻译式
遇店加一倍——→2 x
见花喝一斗——→2 x －1
三遇店和花——→2[2（2 x －1）－1]－1
喝光壶中酒——→2[2（2 x －1）－1]－1＝0
解：
设壶中原有酒 x 斗，依题意得
2[2（2 x －1）－1]－1＝0
解这个方程，得 x ＝ 7
8
．
答：
略．
点拔：
类似的古代数学问题，我们应边读诗，边揣摸题意，先把原文翻译成我们的现代文，
理解题意后设出未知数，再将题目中的语句转化为数学语言，找出等量关系，再依题意列方
程求解．
【自主练习】
1、《晚霞红》
太阳落山晚霞红，我把鸭子赶回笼．
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中．
剩下十五围着我，共有多少请算清．
2、《算法统宗》中“难题”之一：
百羊问题
甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？
甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群（小半群就是四分之一群）
得你一只来方凑．玄机奥妙谁猜透？
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
x
22
xx
24
解得 x ＝36（只）．
2、学好一元一次方程一、二、三
一元一次方程是初中数学的基础知识，是我们今后学习一次方程组，一元一次不等式
（组）及一元二次方程的基础。
因此学好一元一次方程的意义非常重大，怎才能学好一元一
次方程呢？
我们可从以下几方面来做。
一、正确理解一元一次方程的概念
定义：
只含有一个未知数（元）x ，且求和数 x 的指数都是 1（次）的等式叫一元一次
1
方程。
从定义上可以看出一元一次方程具有以下几个特点：
、必须是等式的形式；2、只含
一个未知数；3、未知数的次数是 1 次；4、分母中不含未知数。
因此只有同时满足以上四个
特点的等式叫一元一次方程。
二、掌握好方程的变形规则
因为方程是等式，根据等式的基本性质我们可以得出方程的两个变形规则：
① 方程两
边都加上或都减去同一个数或同一个式子，方程的解不变；② 方程的两边都乘以或都除以
同一个不为零的数，方程的解不变。
这两个分别是移项和去分母的依据。
三、掌握一元一次方程的解法
1、 解一元一次方程的一般步骤分为五步：
① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并；
⑤ 系数化 1。
2、 注意事项：
①去分母时：
不要漏乘不含分母的项；②去括号时要注意符号，括号前
面是带“－”号的因数时，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符
号相反；③ 移项是将方程中的某些项从方程的一边移到另一边时要变号，操作时
要注意以下两点：
所移的项是方程中的项，并且是从方程（等号）的一边移到另一
边，而不是在方程的一边交换两项的位置；进行移项变形时，被移动的项一定要注
意改变符号。
3、 在解具体的一元一次方程时，上述有些步骤可能用不到，当然也不一定非得按照这
五个步骤来进行，而是可以根据方程的特点灵活进行。
4、 最后要注意所求得的解是否为原方程的解。
即解完方程后，应将所求得的解分别代
入方程的左右两边，如果左边＝右边，说明所求的解是原方程的解；如果左边≠右
边，说明求解过程有错误，应认真检查看是哪一步计算出了错。
这一步可以不写在
书面上，但是不可疏漏。
3、“墓碑与遗嘱”与一元一次方程
在一些名人的“墓碑与遗嘱”中，常常会有一些数学问题，因其表述独特、构思巧妙、
趣味浓郁、惹人喜爱，给枯燥的数学带来新颖有趣之感．这些问题蕴含着丰富的数学内容与
思想，且许多问题可以通过列一元一次方程解答，其思路、方法和技巧，往往别具一格，令
人耳目一新．现列举几例，以开拓同学们的视野．
一、 墓志铭上的数学问题
丢番图是公元 3 世纪古希腊的著名数学家，只知道丢番图是从亚历山大来到希腊的，关
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
于他的生平事迹，人们所知道的一切几乎全部由他的墓志铭得来的．丢番图把他的生平经历
年岁以数学题形式出现在他的墓志铭上：
“过路人！
这座古墓安葬着丢番图．请你计算一下，便可知他一生经过多少寒暑．他一
生的六分之一是幸福的童年，生命的十二分之一是无忧无虑的青少年．又过了生命的七分之
一他才结婚．五年后儿子出生，不料儿子竟先于父四年而终，年龄不过父亲终年的一半．晚
年丧子，老人真可怜，但他在数学研究中寻找慰籍，请你算一算，丢番图活到多少岁，才能
和死神见面．”
【析解】根据丢番图墓志铭的记载，设丢番图活了 x 岁，则可列出下面的方程：
1111
61272
人们从这里才知道丢番图 84 岁去世．同时，还可以得到丢番图的一些资料：
他 21 岁结
婚，38 岁当了父亲，80 岁晚年丧子，84 岁撒手人寰．
二、遗产分配问题
瑞士大数学家列昂纳德·欧拉（1707 ～ 1783）在他的一生中，为人类作出了卓越的贡献，
留下了 886 篇论文和著作，几乎在数学的每个分支中都留下了他的足迹．在他的名著《代数
基础》一书中，载有他着意收集到的许多趣题，下面一例就是该书中的一个趣题：
一位父亲临终时立下遗嘱，要按下述方式分配遗产：
第一个儿子分得 100 克郎和剩下财
产的
1 1
；第二个儿子分得 200 克郎和剩下财产的 ；第三个儿子分得 300 克郎和剩下财产
10 10
11
的；第四个儿子分得 400 克郎和剩下财产的；„„ ；依次类推，最后发现这种分法
1010
好极了，因为所有的孩子分得的遗产相等．问：
这位父亲共有多少财产？
他一共有几个儿子？
每个儿子分得多少？
【析解】设遗产总数为 x 克郎，因为每个儿子分得的遗产相等，所以选取第一个儿子和
第二个儿子分得的遗产的代数式列出方程：
100＋
1 1 1
10 10 10
1
每人所得遗产：
100＋（8100－100）＝900（克郎）．
10
儿子数：
8100÷900＝9（人）．
答：
略．
4、特殊一元一次方程的巧解
1
解一元一次方程一般是按：
去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为 这五个基
本步骤来进行，但有些方程若能抓住它的基本特点，灵活应用恒等变形等方法不但可求得方
程的解，而且还可达事半功倍的效果。
一、逆用分数通分法则
2 x - 3
-= 1．
46
3
与 -的差刚好为 1，称项合并可使右边为 0，故
46
先不急于去分母，而逆用分数通分法则把分数打开，再移项合并同类项。
解：
原方程可化为
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
x1x1
+-+= 1
4232
，
11
移项合并，得 （- ） x = 0 ；
43
∴ x =0.
二、活用去括号
例 2．解方程：
3 ⎡ 4 ⎛ 1 1 ⎫ ⎤ 3
4 ⎢ 3 ç 2 4 ⎭ ⎦ 2
【分析】常规解法是先去小括号，再去中括号，移项，求出x 。
但是，按常规方法每次去括
34
号时都有分数，较繁琐。
观察中括号外的“”与中括号里的第一个数“”是互为倒数，
43
故而可先去中括号，再去小括号。
3
⨯çx - ⎪ -⨯ 8 =x + 1
43 ⎝ 24 ⎭42
113
x -- 6 =x + 1 ，
242
311
x -x =-- 6 - 1 ，
224
1
∴x = -7。
4
点精：
一般情况下，若括号内的项与括号外的项有倒数关系或者相乘得整数时，可不按
常规方法，按怎样计算简便就怎样算的原则计算。
三、巧去分母
例 3．解方程：
0.2 x - 2.7 1.6 + 2 x 1.5 x + 4
+ =
0.1 0.2 0.5
111
【分析】要注意此处：
0.1 =， 0.2 =， 0.5 =，只要将各项中的分子、分母分别乘
1052
以 10、5、2，即可去掉分母。
解：
将原方程中的三项分子、分母分别乘以 10、5、2
得：
2x - 27 + 8 + 10x = 3x + 8
9 x = 27
x = 3
四、剥“洋葱皮”法
1 ⎧ 1 ⎡ 1 ⎛ x + 2⎫⎤⎫
3 ⎩ 7 ⎣ 5 ⎝ 3⎭⎦⎭
【分析】常规方法是从内到外层层去掉括号，但是每次都有分数，较麻烦，但我们可采用从
外到内的方法，层层去掉分母，就像“剥洋葱皮”似的。
解：
去分母（从外到内），两边同乘 3：
1 ⎡1 ⎛ x + 2
ç
⎭
⎫ ⎤
1 ⎡1 ⎛ x + 2
ç
⎭
⎫ ⎤
方程两边同乘以 7：
ç+ 4⎪ + 6 = 7
5 ⎝3⎭
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
1 x + 2
（+ 4） = 1，
53
x + 2
3
+ 4 = 5 ，
x + 2
3
= 1 ，
x + 2 = 3 ，
x = 1 。
五、用整体思想
7
32
【分析】观察本题可以发现：
方程中（ x +1）和（ x －1）各出现两次，因此我们不先急于去括
号，而是把它们分别看作一个整体，移项，合并同类项，再求出 x 的值。
解：
移项，得
3（ x +1）+
7 1
2 3
1313
23
去分母，得3（ x +1）＝2（ x －1）
解得x ＝－5。
★ 解题小结：
在寻找普通的一元一次方程的解法的时候，要注意每次变形是否都是恒等变
形，而且要注意观察每个方程的特点，找到最好的解法。
但不是每个方程都有巧妙解法，因
而若找不到巧妙解法时，应采用一般方法求解。
5、巧构一元一次方程来解题
认识了一元一次方程后，其实许多问题可以通过构造，转化为一元一次方程来解决，不
信，请看！
一、根据方程的定义来构造
例 1、当 m = ______时，等式 7 x 7-3m －15＝0 是关于 x 的一元一次方程。
【分析】等式要是关于 x 的一元一次方程，则 x 的指数必须为 1，由此得到一个关于 m 的一
元一次方程．
解：
由一元一次方程定义，可知 7－3 m ＝1，解得 m ＝2．
二、根据方程解的定义来构造
例 2．已知关于 x 的方程 mx＋2＝2（m—x）的解满足|x－
1
2
|－1＝0，则 m 的值是（ ）
2222
A．10 或B．10 或－c.－10 或D．－10 或 -
5555
1
【分析】先求出方程|x－|－1＝0 的解，而由题意可知它的解又正好是前一方程的解，于
2
是可得关于 m 的一次方程，从而再求出 m 的解．
解：
解方程|x－
1 1 1
2 2 2
133
222
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
112
2225
三、根据有关概念来构造
例 3．若 2 x - 3 与 - 1 互为倒数，则 x ＝
3
。
【分析】利用互为倒数的两数之积等于 1 的关系来列方程．
1
3
例 4．如果 2（ x ＋3）的值与 3（1- x ）的值与为相反数，那么 x ＝（）
（A）-8（B）8（C）-9（D）9
【分析】根据互为相反数的两数之和等于 0，来构造方程．
解：
依题意，得 2（ x ＋3）＋3（1- x ）＝0，解得 x ＝9，故选（D）。
四、利用非负数的性质构造
例 5．已知实数 x ， y 满足| x ＋5|＋| y －4|＝0，求代数式 （x + y ）2009 的值。
【分析】依据几个非负数的和为 0，则这几个非负数都必为 0 即可求解．
解：
因为| x ＋5|＋| y －4|＝0 且| x ＋5|≥0，| y －4|≥0，
所以，| x ＋5|＝0，且| y －4|＝0；（0 的绝对值为 0）
所以 x ＋5＝0，且 y －4＝0， 所以 x ＝－5， y ＝4；
当 x ＝－5， y ＝4 时， （x + y ）2009 = （-5 + 4 ）2009 = -1 ．
五、根据图表中的数字规律来构造
例 6．如图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出 4 个数则
（1）a、c 的关系是：
__________________；
（2）当 a＋b＋c＋d＝32 时，a＝__________．
【分析】观察发现出 b、c、d 与 a 的关系，再利用它们的和等于 32 列出
方程求解．
解：
（1）观察数表发现，c＝a＋5；
4 5 6 7 8
9 10 11 12 13
14 15 16 17 18
19 20 21 22 23
24 25 26 27 28
（2）因为 b＝a＋1，c＝a＋5，d＝a＋6，
所以 a＋a＋1＋a＋5＋a＋6＝32，
解得 a＝5．
6、列方程归类剖析
初学一元一次方程，感觉最难的就是如何列一元一次方程，虽然还是“大小多少、和差
倍分”，但由于它的类型多，范围广，许多同学在“加减乘除”还是时常犯错．下面给大家
归类举例分析．
一、“大小多少”类
例 1．某班学生为希望工程共捐款 331 元，比每人平均 6 元还多 35 元，设这个班的学生有 x
人，根据题意列方程为＿＿＿＿.
析解：
设学生有 x 人，若每人平均 6 元，共有 6x 元；比 6x 多 35 元，就是 6x＋35，如果是
比 6x 少 35 元，则是 6x－35。
因此根据捐款数额列出方程为。
二、“倍数”型
例 2．某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午 4 点
至 5 点，初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是
参加美术活动人数的 3 倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的 2 倍，那么参加美术活
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
动的同学有多少名。
析解：
若设参加美术活动的同学有 x 名，则参加体育活动人数是 3x，参加音乐活动人数是
2x，则根据初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动可列出方程为。
三、“提高减少”型
例 3、一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍获利 15
元,这种服装每件的成本为多少元.
析解：
设成本价为 x 元，注意“按成本价提高 40%”与“成本价的 40%”的区别，前者是
“x（1＋40%）”，后者是“40%x”；如果按成本价减少 40%，则是“x（1－40%）”。
根据以 8 折
优惠卖出,结果每件仍获利 15 元可列出方程为。
四、“比例配套”型
例 4、某电脑公司今年计划销售电脑 2000 台，其中 I 型、II 型、III 型三种电脑的数量比为 2：
3：
5，则这三种电脑计划各销售多少台？
析解：
三种型号电脑的比为 2∶3∶5，I 型占了 2 份，II 型占了 3 份，III 型占了 5 份，如果
设每份为 x 台，则三种型号分别为 2x 台、3x 台、5x 台。
根据计划所销电脑总数列出可方程
为.
五、“盈余不足”型
例 5、为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活
动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排
4 人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人，那么最后一个路口只有 6 人，共有多少个
交通路口安排值勤？
析解：
设有 x 个交通路口，若每一个路口安排 4 人，那么还剩下 78 人，所以总人数为（4x
＋78）人；若每个路口安排 8 人，则最后一个路口只有 6 人，也就是安排 8 人的路口只有（x
－1）个，所以总人数又为：
8（x－1）＋6。
根据总人数列出方程为。
参考答案：
1、6x＋35＝331；
2、x＋3x＋2x＝240；
3、x（1＋40％）×80％－x＝15；
4、2x＋3x＋5x＝2000；
5、4x＋78＝8（x－1）＋6
7、解这些方程就象“剥洋葱皮” 简
单！
有些方程有大括号，又有中括号，还有小括号，看上去好难，其实你若由外到内去括号，
象“剥洋葱皮”似的，这样解常能化繁为简，变难为易。
不信，我们来看看：
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
例 1 解方程：
10 [（x －2）－3]－ x ＝2．
35 4
【分析】你若由内到外的去括号一定好繁，还易出错，但若注意到
括号。
解：
去中括号，得 2（ 1 x －2）－10－ x ＝2，
4
1
2
系数化为 1，得 x ＝－32．
10 3
× ＝2，可先去中
3 5
例 2解方程：
x －
1 1 1
[ x － （ x －9）]＝ （ x －9）．
3 3 9
111
解：
先去中括号，得 x －x ＋（ x －9）＝（ x －9），
399
11
两边同减（ x －9），得 x －x ＝0，
93
2
合并，得x ＝0，
3
系数化为 1，得 x ＝0．
例 3 解方程：
7{5[4（x－3）－3]－4}－6＝1．
【分析】先把－6 移到右边，两边同除以 7，这样依次剥去掉大、中、小括号可妙解本题。
解：
移项，得 7{5[4（x－3）－3]－4}＝7，
两边同除以 7（去大括号），得 5[4（x－3）－3]－4＝1，
同理，依次去中括号，去小括号，得 x－3＝1，
）
所以 x＝4． （是否比依次先去小括号，中括号，大括号简单！
试一试：
（可要先仔细观察再做哟！
）
1、 解方程：
3{2x－1－[3（2x－1）＋3]}＝5．（x＝0）
2、 解方程：
3 ⎡ 4 ⎛ 1 1 ⎫ ⎤ 3 1
4 ⎢ 3 ⎝ 2 4 ⎭ ⎦ 2 4
⎫⎤⎫
3 ⎩ 7 ⎣ 5 ⎝ 3⎭⎦⎭
8、去括号和去分母常见错解剖析
前面我们学习了利用移项，合并同类项解简单的一元一次方程．如今要去括号，有时还
要去分母，有些同学由于有关性质或某些运算法则掌握不好而导致错解方程。
现针对常见的
典型错例进行归类剖析如下：
一、去括号时，漏乘括号中的项
例 1．解方程 3＋5（x－2）＝2x＋5．
【错解】去括号，得 3＋5x－2＝2x＋5，
移项，合并，得 3x＝4．
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
系数化为 1，得 x＝－ 4
3
．
“
〖评析〗去括号时，是利用分配律，用 5 去乘括号里的各项，再把积相加，而在此题中， 5”
只乘了括号里的第一项。
正解：
去括号，得 3＋5x－10＝2x＋5，
移项，合并，得 3x＝12，
系数化为 1，得 x＝4．
二、去括号时，符号搞错．
例 2．解方程 5（x－1）－3（2x－1）＝8．
【错解】去括号，得 5x－5－6x－3＝8，
移项，合并，得－x＝16，
系数化为 1，得 x＝－16．
〖评析〗去括号时，应用“－3”去乘括号里的各项时，应得到：
－6x＋3，
正解：
去括号，得 5x－5－6x＋3＝8，
移项，合并，得－x＝10，
系数化为 1，得 x＝－10．
三、去分母时，漏乘不含分母的项
5x + 1
- 6 =.
23
【错解】去分母，得 3（x＋1）－6＝2（5x＋1），
去括号，得 3x＋3－6＝10x＋2，
移项，合并，得－7x＝5，
系数化成 1，得 x＝ - 5
7
．
〖评析〗去分母时，根据等式的第二个性质，方程两边同时乘以分母的最小公倍数 6 时，每
项都要乘，方程左边的“6”没有乘以 6，出现了漏乘不含分母的项．
正解：
去分母，得 3（x＋1）－36＝2（5x＋1），
去括号，得 3x＋3－36＝10x＋2，
移项，合并，得－7x＝35，
系数化成 1，得 x＝－5．
四、去分母后，分子忘记加括号
x + 2
= 2 -
63
【错解】去分母 ，得 18x－x－1＝12－2x＋2，
移项，合并，得 19x＝15，
系数化成 1，得 x＝
15
19
.
〖评析〗分数线除了有除号的作用外，还有括号的作用．两边的分数在去掉分母后，分子是
多项式，不要忘记加括号．
正解：
去分母 ，得 18x－（x－1）＝12－2（x＋2），
去括号，得 18x－x＋1＝12－2x－4，
移项，合并，得 19x＝7，
系数化成 1，得 x＝ 7
19
.
适用于七年级《一元一次方程》辅导文章
9、“绝对值”一次方程解法点击
解含有绝对值符号的方程时，应利用绝对值符号性质，由性质去掉绝对值符号，使其成
为不含绝对值的方程。
例 1．解方程 2 x 1
3
＝7．
0 还是小于 0），故应分情况来求解。
【分析】本方程中有一个绝对值符号，一般应先将方程变为| x |＝ a （ a ＞0）的形式，然
后按绝对值的意义转化为：
x ＝ a 或 x ＝－ a 。
解：
|2 x －1|＝21，去绝对值，得
2 x －1＝21或2 x －1＝－21，
分别解这两个方程，得
x ＝11 或 x ＝－10，
故原方程有两根 x ＝11 或 x ＝－10．
12
例 2．求方程| x ＋3|－| x －1|＝ x ＋1 的解。
【分析】要去掉绝对值符号，必须确定绝对值符号内的代数式的符号（即代数式的值是大于
．．．
解：
由题意可知：
原方程有两个分界点：
由 x ＋3＝0，得 x ＝－3；由 x －1＝0，得 x ＝1，
故应分三种情况来求解：
x 小于－3； x 大于等于－3 但小于 1； x 大于等于 1．
①当 x 小于－3 时， x ＋3＜0， x －1＜0，
所以原方程变为－（ x ＋3）＋（ x －1）＝ x ＋1，
解之得：
x ＝－5；
②当 x 大于等于－3 但小于 1 时， x ＋3＞0， x －1≤0，
所以原方程变为：
x ＋3＋ x
升级会员 