最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案.doc
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2-5求通过,,使下列性能泛函为极值的极值曲线:
解:
由题可知,始端和终端均固定,
被积函数,,,
代入欧拉方程,可得,即
故其通解为:
代入边界条件,,求出,
极值曲线为
2-6已知状态的初值和终值为
,
式中自由且>1,试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线:
解:
由题可知,,,,
欧拉方程:
横截条件:
,,
易得到故
其通解为:
根据横截条件可得:
解以上方程组得:
还有一组解(舍去,不符合题意>1)
将,,代入可得.
极值轨线为
2-7设性能泛函为
求在边界条件,自由情况下,使性能泛函取极值的极值轨线。
解:
由题可知,,,自由
欧拉方程:
横截条件:
,,
易得到
其通解为:
代入边界条件,,,求出,
将,,代入可得
极值轨线为
2-8设泛函
端点固定,端点可沿空间曲线
移动。
试证:
当泛函取极值时,横截条件为
证:
根据题意可知,此题属于起点固定,末端受约束情况,由
可得,
(1)
由,
(2)
将
(2)代入
(1)式,得:
得证。
2-13设系统状态方程
,
,
性能指标如下:
要求达到,试求
(1)时的最优控制。
(2)自由时的最优控制。
解:
由题可知
构造H:
正则方程:
可求得
控制方程:
由上式可得
由状态方程,可得
(1)时
由边界条件,,,可得
得
故有
有最优控制
(2)若自由
由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件
得
即,从而,代入可得
因为时间总为正值,所以此题无解。
3-2设二阶系统的状态方程边界条件试求下列性
能指标的极小值:
解:
由题可知
构造H:
由协态方程和极值条件:
得代入状态方程得:
即,代入初始条件解得:
故,
此时
3-4给定一阶系统方程
,
控制约束为,试求使下列性能指标:
为极小值的最优控制及相应的最优轨线。
解:
由题可知
构造H:
哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小,因此要求极小。
且取其约束条件的边界值,即时,使哈密顿函数H达到最小值。
所以,最优控制应取
由协态方程可得
由横截条件求得,于是有
显然,当时,产生切换,其中为切换时间。
不难求得,故最优控制为
将代入状态方程,得
解得
代入初始条件,可得,因而
,
在上式中,令,可求出时的初始条件
从而求得。
因而
,
于是,最优轨线为
将求得的和代入式J,得最优性能指标
最优解曲线如下:
3-5控制系统,试求最优控制,以及最优轨线和,使性能指标为极小值。
解:
哈密尔顿函数为
由协态方程:
,解得,
由极值条件:
,解得,由状态方程有,解得,
代入初始值解得:
,故
此时
…………………………………………………………………………………………………..
3-6已知二阶系统方程式中自由。
试求使性能指标为极小的最优控制,最优轨线以及最优指标。
解:
本例为线性定常系统,积分型性能指标,自由,末端固定的最优化问题。
构造哈密顿函数为:
由极小值条件应取:
由哈密顿函数沿最优轨线的变化律:
,可得:
,
即:
,可知:
,(其中矛盾),
由协态方程有:
,由初始条件解得:
,由所给状态方程及初始条件解得:
………………………………………………………………………………………………………
3-7已知二阶系统方程
,
,
式中控制约束为
试确定最优控制。
将系统在时刻由转移到空间原点,并使性能指标
取最小值,其中自由。
解:
由题可知
构造哈密顿函数:
按照最小值原理,最优控制应取
由哈密顿函数沿最优轨线的变化规律可得
以及
因为,可以求出
由协态方程
解得,
当时(试取)
代入初始条件,,可得
代入末端条件,可得
又,联立解得
于是有
在时,正好满足要求
故最优控制为,
相应的最优性能指标为
最优轨线为
3-17已知系统方程,,性能指标,末端。
试用连续极小值原理求最优控制与最优轨迹。
解:
构造哈密顿函数:
,由协态方程:
,解得:
,由极值条件:
,解得,代入状态方程有:
,解得,代入初始值解得:
,故最优轨线为:
,又,所以最优控制律为:
,
此时
3-28已知系统的状态方程,控制约束为(t)|1。
试求最优控制u*(t),使系统由任意初态最快地转移到,的末态。
写出开关曲线方程,并绘出开关曲线的图形。
解:
本例为二次积分模型的最小时间控制问题。
容易判定系统可控,因而必为控制。
构造哈密顿函数:
由协态方程得:
解得:
。
,知最优控制u(t)最多切换一次,具有四种可能:
【+1】,【-1】,【+1,-1】,【-1,+1】。
①若时,代入状态方程考虑到初始状态,解得:
,消t得:
,
②同理,若时,解得:
,由末态配置到,取开关曲线为过(2,1)的那条曲线,即开关曲线方程为:
开关曲线图如下:
开关曲线
3-31设二阶系统:
,控制约束(t)|1。
试求使系统由已知初态最快地转移到坐标原点的时间最优控制u*(t)和开关曲线。
(注:
本题书上的是错的,因为按书上的得不到相平面轨迹方程)
解:
本例为二次积分模型的最小时间控制问题。
容易判定系统可控,因而必为控制。
构造哈密顿函数:
,
知最优控制:
,知最优控制u(t)最多切换一次,具有四种可能:
【+1】,【-1】,【+1,-1】,【-1,+1】。
①若时,代入状态方程考虑到初始状态,解得:
,消t得:
,
②同理,若时,解得:
,消t得:
,即开关曲线方程为:
开关曲线图如下:
本题初始点A(1,1),最优控制曲线如上图,最优控制律为{-1,+1}。
3-33已知受控系统,目标集为,试求由目标集外的任意初态转移到目标集的时间最优控制律。
解:
哈密尔顿函数为,协态方程,边界条件:
,
目标集约束:
,
由极小值条件知,最优控制律:
①若时,代入状态方程,解得:
,
消t得相轨迹方程:
;
②同理,若时,解得:
,
消t得相轨迹方程:
;
由相轨迹方程与目标集相切且满足末态要求的相轨迹曲线:
,,所以系统的开关曲线开关曲线图如下所示:
相轨迹如上图所示:
ⅰ、当初态在区域或上时,知最优控制为终于上半圆;
ⅱ、当初态在区域或上时,知最优控制为终于下半圆;
ⅲ、当初态在区域中,知最优控制为;
ⅳ、当初态在区域中,知最优控制为;
3-42已知系统方程
,控制约束|u(t)|1。
试求以切换时间表示的时间-燃料最优控制u*(t),使性能指标取极小值,并求最优控制J*。
解:
哈密顿函数为:
由,解得:
由极小值条件知:
,因为初态=知
时间—燃料最优控制为:
,设的切换时间为和,则有
①当时,有1,初态=,由状态方程得:
②当时,0,初态为:
,由状态方程解得:
。
③当时,1,初态为:
,由状态方程解得:
。
末态值求得,,于是时间—燃料最优控制为:
,,
从而有。
4-4设二阶离散系统
试求使性能指标:
为极小的最优控制和最优轨线。
解:
本题为二级最优决策问题,其中、不受约束。
①令2,1时:
,
=0,所以
由于不受约束:
,求得:
。
将结果代入得:
。
②令1,0时:
,=0,所以=
,代入初始值,
求得:
,,,
,,,
于是本题的最优控制,最优轨线及最优代价分别为:
,,,,
4-13已知二阶系统,,性能指标:
试用连续动态规划求最优控制和最优轨线。
解:
解:
(1)由题意可得:
,,,,
令,得,显然{A,b}可控,{A,D}可观,故存在且唯一。
令,代入黎卡提方程:
,
代入A,b,Q,r可得:
于是最优控制:
最优控制指标:
将代入状态方程,得闭环系统方程:
代入初始值解得:
将、代入状态反馈的最优控制,求得:
。
4-14已知系统方程:
,性能指标:
,试确定该系统的哈密顿-雅可比方程。
解:
令哈密顿函数为:
由于不受约束,则,
由最优解的充分条件知:
,
代入,得:
。
因为系统是时不变的,并且性能指标的被积函数不是时间的显函数,故,
则有。
在性能指标中,令,得边界条件:
。
所以本题的哈密顿—雅可比方程为:
5-8给下列二阶系统:
,试确定最优控制,使下列性能指标极小:
解:
该题为有限时间状态调节器问题。
由题意得:
令,代入黎卡提方程:
,
代入A,b,Q,r,边界条件:
,即:
解得:
于是最优控制:
最优性能指标:
。
5-10已知系统的状态方程:
,性能指标极小:
试确定最优控制。
解:
该题为无限时间状态调节器问题。
由题意得:
,令,得,,,故{A,b}可控,{A,D}可观,故存在且唯一。
令,代入黎卡提方程:
,
代入A,B,Q,R解得:
于是最优控制:
最优性能指标:
。
5-20已知为具有性质的李亚普诺夫函数。
其中,满足式。
试用李亚普诺夫稳定性定理证明最优闭环系统是渐近稳定的。
证明:
取二次型函数:
,对于由于>0必有。
所以李亚普诺夫函数。
,将代入,整理得:
=,
又由,知,代入整理得:
,即:
。
所以知,为负定。
又显然。
根据李亚普诺夫稳定性定理,最优闭环系统大范围渐近稳定。
6-2设有二次积分模型:
,,性能指标:
,
试求使性能指标极小的最优控制,并求最优性能指标。
解:
由题意可知:
,,,1,
,,4。
因为[B]2,2
2,
所以,{}可控,{}可观,{}可观,故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。
设,解黎卡提代数方程:
得:
得>0,
此时:
=,
最优性能指标:
。
6-3已知系统的动态方程:
,性能指标:
,
试求使性能指标极小并使闭环系统渐近稳定的最优控制。
解:
由题意可知:
,,,100,
,,1。
因为[B]2,2
2,
所以,{}可控,{}可观,{}可观,故可以构造渐近稳定的最优输出调节器。
设,解黎卡提代数方程:
得:
,解得,
此时:
=,将代入状态方程得:
,
解得闭环系统特征值为:
所以闭环系统是渐近稳定的。
………………………………………………………………………………………………………..
6-10设用控制系统可以自动地保持潜艇的深度,潜艇从艇尾水平角到实际深度的传递函数,可以近似为:
,试设计控制律,使性能指标
最小。
其中希望深度=100。
假定,实际深度可用压力传感器测量,并可用于反馈。
解:
………………………………………………………………………………………………………..
8-2设二阶系统方程:
,控制约束。
性能指标式中自由。
试验证系统能否出现奇异弧。
解:
本例为线性定常系统,积分型性能指标、自由的最优控制问题。
构造哈密顿函数:
,
根据极小值原理可知,相应于正常弧段的最优控制为如下邦-邦控制:
邦-邦弧段满足下列正则方程:
函数H线性依赖于,所以可能存在奇异弧。
在奇异弧上必有:
解方程组知:
得异最优解:
,即系统有奇异解。
8-6已知系统方程,
控制约束。
性能指标试用奇异调节器方法求奇异最优控制.
解:
首先对原系统状态方程进行线性变换。
令
得修正奇异调节器系统状态方程:
,式中
即:
设,解黎卡提代数方程:
:
解得:
此时,式中,
即,
则原奇异调节器的最优控制
9-3设随机系统状态方程为:
其状态转移矩阵为,且满足下列方程:
试证明:
x(t)的均值和方差阵分别为:
证明:
x(t)的均值满足以下矩阵微分方程:
其解为:
证得一式。
应满足
又
可得
证毕。
9-5设随机系统方程为,式中与为互不相关的零均值高斯白噪声,其方差为和。
试求最优控制,使下列性能指标极小:
式中。
解:
依据定理9-7(线性连续随机系统分离定理),可知
F=1,G=1,H=1,Q=0,R=
……………
(1)
(1)式中状态反馈增益矩阵…………
(2)
而满足下列矩阵微分方程及其边界条件:
…………(3)
解出(3)式微分方程:
…………(4)
将(4)式代入
(2)式得到:
…………(5)
由以下滤波方程给出:
………(6)
(6)式中增益矩阵………(7)
而满足以下矩阵微分方程及初始条件:
………(8)
解出(8)式微分方程:
……(9)
将(9)式代入(7)式得到:
………(10)
现在,只要由(10)式代入(6)式即可解出:
………(11)
将(5)式和(11)代入
(1)式,即可算出最优控制
……
图9.5随机输出反馈调节器结构图
9-6设离散系统状态方程和量测方程为:
,式中是零均值高斯白噪声序列,其方差为5。
已知与随机初始状态不相关,且性能指标为:
,
试求最优控制序列,0,1,2,3。
解:
本题为4级决策过程。
由题意,,
则由估计误差协方差方程(9-206):
=
可得:
,
由卡尔曼增益阵方程(9-205),得:
根据题意,,由黎卡提方程(9-202)得:
,由状态反馈增益阵表达式(9-201),得:
计算结果表
k
P
(1)
K’(k)
P(k)
K(k)
4
70
1
3
65
1
0.200
0.400
2
60
1
0.111
0.222
1
55
1
0.077
0.154
0
50
1
0.0428
0.107
因为,所以各级最优控制为: