三角形内角和定理优秀教案.docx

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三角形内角和定理优秀教案

三角形内角和定理

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

（一）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

（二）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

（三）用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。

（四）对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

【教学重难点】

（一）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

（二）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

【教学过程】

本节课的设计分为四个环节：

情境引入——探索新知——反馈练习——课堂小结。

一、情境引入。

活动内容：

（一）用折纸的方法验证三角形内角和定理。

实验1：

先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图

（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图

（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果。

（1）

（2）（3）（4）

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。

想一想，还有其它折法吗？

（二）实验2：

将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。

想一想，如果只剪下一个角呢？

活动目的：

对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。

教学效果：

说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。

二、探索新知。

活动内容：

例1．用严谨的证明来论证三角形内角和定理。

例2．看哪个同学想的方法最多？

方法一：

过A点作DE//BC，

∵DE//BC，

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等），

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）。

方法二：

作BC的延长线CD，过点C作射线CE//BA。

∵CE//BA，

∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等），

∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。

活动目的：

用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。

教学效果：

添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。

三、新知应用。

活动内容：

在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

解：

在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）。

∵∠B=38°，∠C=62°（已知），

∴∠BAC=180°－38°－62°=80°（等式的性质）。

∵AD平分∠BAC（已知），

∴∠BAD=∠CAD=

∠BAC=

×80°=40°（角平分线的定义）。

在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）。

∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），

∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性质）。

活动目的：

结合已经学过的知识，再次对三角形内角和定理灵活运用，达到熟练掌握。

教学效果：

学生看到这类题的时候，有意识去运用三角形内角和定理去解决，最后能熟练掌握三角形定理的应用。

四、反馈练习。

活动内容：

（一）△ABC中可以有3个锐角吗？

3个直角呢？

2个直角呢？

若有1个直角另外两角有什么特点？

（二）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？

（三）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（四）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角。

（五）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角。

（六）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？

（七）已知：

△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

1．求∠B的度数；

2．若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？

活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏。

教学效果：

学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题。

五、课堂小结。

活动内容：

（一）证明三角形内角和定理有哪几种方法？

（二）辅助线的作法技巧。

（三）三角形内角和定理的简单应用。

活动目的：

复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度。

教学效果：

学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明。

六、课后练习。

课本随堂练习；习题1，2题。

【第二课时】

【教学目标】

（一）掌握三角形外角的两条性质。

（二）进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。

（三）灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

（四）进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

（五）通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣。

【教学目标】

（一）掌握三角形外角的两条性质。

（二）进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。

【教学过程】

本节课的设计分为四个环节：

情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结。

一、情境引入。

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？

下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

二、探索新知。

活动内容：

（一）三角形的外角定义：

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：

1．顶点在三角形的一个顶点上。

2．一条边是三角形的一边。

3．另一条边是三角形某条边的延长线。

（二）两个推论及其应用：

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：

如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？

如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

问题2：

任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

由学生归纳得出：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

例1．已知：

∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角。

求证：

∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°。

分析：

把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证。

证明：

（略）。

例2．已知：

D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。

求：

（1）∠BDC度数；

（2）∠BFD度数。

解：

（略）。

活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考。

注意事项：

新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

三、课堂练习。

活动内容：

（一）已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C。

求证：

AD∥BC。

分析：

要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”，即需证明∠DAE=∠B。

证明：

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∠B=∠C（已知），

∴∠B=

∠EAC（等式的性质）。

∵AD平分∠EAC（已知），

∴∠DAE=

∠EAC（角平分线的定义）。

∴∠DAE=∠B（等量代换）。

∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）。

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证。

证明：

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∠B=∠C（已知），

∴∠C=

∠EAC（等式的性质）。

∵AD平分∠EAC（已知），

∴∠DAC=

∠EAC（角平分线的定义）。

∴∠DAC=∠C（等量代换）。

∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证。

证明：

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∠B=∠C（已知），

∴∠C=

∠EAC（等式的性质）。

∵AD平分∠EAC（已知），

∴∠DAC=

∠EAC。

∴∠DAC=∠C（等量代换）。

∵∠B+∠BAC+∠C=180°，

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°。

即：

∠B+∠DAB=180°，

∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。

（二）已知：

如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE。

求证：

∠1>∠2。

证明：

∵∠1是△ABC的一个外角（已知），

∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

∴∠1>∠2（不等式的性质）。

（三）如图，求证：

1．∠BDC>∠A。

2．∠BDC=∠B+∠C+∠A。

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论。

证法一：

（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角。

∴∠1>∠3，∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）。

即：

∠BDC>∠BAC。

（2）连结AD，并延长AD，如图。

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角。

∴∠1=∠3+∠B，

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：

∠BDC=∠B+∠C+∠BAC。

证法二：

（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图。

则∠BDC是△CDE的一个外角。

∴∠BDC>∠DEC，（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作），

∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。

∴∠BDC>∠A（不等式的性质）。

（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角。

∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。

∵∠DEC是△ABE的一个外角，

∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。

∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）。

活动目的：

让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习。

注意事项：

学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。

四、课堂反思与小结。

活动内容：

由学生自行归纳本节课所学知识：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

活动目的：

复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力。

注意事项：

学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。

五、课后练习：

课本随堂练习，习题。

思考题：

课本（给学有余力的同学做）。

【教学反思】

教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。

本节课的教学设计力图具有以下几个特色：

一、充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；

二、从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；

三、在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。