高数数学极限总结精选.docx
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高数数学极限总结精选
函数极限总结
一．极限的产生
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。
但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N定义）。
从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。
[1]
二．极限知识点总结
1.极限定义
函数极限：
设函数f（x）在点的x0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式
时，对应的函数值都满足不等式：
那么常数A就叫做函数f（x） 当x→x0时的极限，记作
。
[2]
单侧极限：
.左极限：
或
.右极限：
或
定理：
函数
当
时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即
。
2.极限概念
函数极限可以分成
以
的极限为例，f（x）在点x0以A为极限的定义是：
对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式
时，对应的函数值f（x）都满足不等式：
|f（x）-A|<ε，那么常数A就叫做函数f（x）当x→x。
时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
3.存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。
下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列
，
及
满足以下条件：
（1）从某项起，即
，当
时，有
；
（2）
；
，
那么数列
的极限存在，且
准则Ⅰ＇如果
（1）当
（或
）时，
（2）
，
，
那么
存在，且等于
。
夹逼定理：
（1）当
时，有
成立
（2）
,那么，
极限存在，且等于A
【准则Ⅰ，准则Ⅰ´合称夹逼定理】
准则Ⅱ：
单调有界数列必有极限
准则Ⅱ＇：
设函数
在点
的某个左（右）邻域内单调并且有界，则
在
的左（右）极限
必定存在[3]
单调有界准则：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是任给
存在
使得当
时，有
成立。
[2]
极限运算相关法则、定理及推论
（1）.设α、β为同一极限过程下的无穷小
（无穷小）
（2）.穷小之积为无穷小
（无穷小）
推论：
.常数与无穷小之积为无穷小
.有限个无穷小之积为无穷小
（3）.有界函数与无穷小之积为无穷小
（4）.函数极限运算法则
定理：
设
，
则
若
，则
推论1.如果
存在，而c为常数那么
推论2.
则
定理（复合函数求极限法则）
设函数
是由函数
与函数
复合而成，
在点
的某去心邻域内有定义，若
，
且存在
，当
时，有
，则
。
两个重要极限：
.
.
即若
，
则
常用等价无穷小：
当
时，
，
，
，
计算极限方法总结
（1）直接带入求极限
例1.
【解】
（2）约零因子求极限
例2.求极限
【说明】x→1表明x与1无限接近，但
。
所以x-1这一零因子可以约去。
【解】
（3）分子分母同除求极限（公式法）
例3.求极限
【说明】
型且分子分母都以多项式给出的极限，可通过分子分母同除来求。
【解】
【注】
（1）一般分子分母同除x的最高次方
（2）
（4）分子（分母）有理化求极限
例4.求极限
【说明】分子分母有理化求极限，是通过有理化去除无理式
【解】
例5.求极限
【解】
【注】本题除使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
（5）应用两个重要极限求极限
【说明】两个重要极限是
和
例6.求极限
【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤：
先凑出1，在凑
，最后凑指数部分。
【解】
（6）用等价无穷小两代换求极限
【说明】
（1）常见的等价无穷小有:
当x→0时，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln（1+x）=ex-1，
1-cosx=
，
，
。
（2）等价无穷小量代换，只能代换极限式中的因式；
（3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例7.求极限
【解】
例8.求极限
【解】
（7）用洛必达法则求极限
例9.求极限
【说明】
和
型的极限，可通过洛必达法则来求。
【解】
【注】有许多变动上限的积分表示的极限，常用洛必达法则求解。
例10.设函数
连续，且
，求极限
【解】由于
，于是
（8）用对数恒等式求
极限
例11.求极限
【解】
【注】对于
形势的未定式
，也可用公式
因为
例12.求极限
【解1】原式=
【解2】原式=
[4]
四．参考文献
[1]极限理论2017.11.24
[2]函数极限函数极限/727083?
fr=aladdin2017.11.24
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理
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