全国周培源力学竞赛模拟题集.docx
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全国周培源力学竞赛模拟题集
2011年力学竞赛模拟题集
1、质量为m的匀质梁AB水平放置。
置固定的圆柱体与放置在梁上质量为因数均为，ED段柔绳与AB平行,高为b,宽为a°
A端为固定铰支座，B端接柔绳，质量不计，该段柔绳跨过位M的物块连接，物块与梁之间以及柔绳与圆柱体之间的静摩擦BC段柔绳与AB
垂直。
AB梁长为I，物块尺寸如图1a所示,
（1）试证明CB段柔绳上的拉力Tcb
（2）如果系统保持在图示水平位置平衡，试求物块中心距
TED^2°
A端的最大距离d°
d
dN
T
d
d
2
d
2
dT
dF
a）
1b所示
b）图1解：
（1）分析CD段柔绳，取微元体进行分析，如图列平衡方程
由式
（1）得dT
所以
Fn
0Tcos（y）dN
-J
Tsin（JdN2
由式
（2）得dN
dN,
（T
（T
Td
dTT
两边同时积分有
dT）cos（d
-J
dT）sin（—）2
（1）
dT
CDT
积分得
Tcb
n
TEDeT
（2）以物块为研究对象，假设物块处于滑动临界状态
Mg
Mg
此时恰好为翻到临界状态
Ted
CB段柔绳的拉力
Tcb
以AB梁为研究对象
TEDe2
n
MgeT
Ma0
Tcblmg
（da）
解得
mlMa2M
（1）如果演员总数是偶数个，
则取中间I/2截面截开，每侧作用有约束反力
F/2、n/2个集中力F/n，
则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：
F
IF1
I
F
12I
、F
13I、
Mmax
（
-）
（
）
（）
2
2n2
n
1
n
2n
1n
2n1
F（I
n1
n（2
2n
1）
Fl
FIn
F
I
n、
（1
23
-）
4
n22
n
n
1
2
nn
F
I（12
3
n）
FI
（
22
1）FI（n2）
F/n，
2、杂技团表演平衡木杂技，在长为I的平衡木上站了n个体重相等的演员，且所有演员之间的间距相等。
试求：
该平衡木上最大弯矩的一般表达式？
解：
将该模型简化为简支梁，如图2所示，梁长为I,n个演员之间距离为I/（n1），演员体重均为
I/2处。
nn12n（n1）28（n1）
（2）如果演员总数是奇数个，则取中间I/2截面截开，最大弯矩侧作用有约束反力F/2、（n1）/2个集中力F/n,则中间截面弯矩暨最大弯矩的表达式为：
Mmax
2
l_
2
匸（2
n2
In
1）n
2I1）n1
-（-旦）
n2n1
F
1
n1
I、
（-
）
n
2
2
n1
FI
F
In
F
I“
n1、
（1
2
3
）
4
n
22
n
n1
2
F
I
n
1
（12
3
-）
n
n1
2
n1/
n1
FI
2（
2
1）
FI（n
1）
n（n
1）
2
8n
一、烟囱定向爆破（40分）
城市建设需要对废旧烟囱进行定向爆破拆除，在烟囱底部进行预处理，沿周边对称开挖两个导
向洞，以便形成倾覆力矩。
预定倾倒方向留置一段弧长约为1/4周长，在其上布设药孔并装药，实
施起爆后，混凝土碎块飞散，钢筋基本完整，但竖向钢筋在烟囱自重作用下弯曲，然后烟囱顺此方向倾倒。
1、竖向钢筋为何弯曲，禾U用了材料的哪类力学性质？
已知钢筋的直径为d，间距为a,比例极限为p200MPa，烟囱的质量为m,试确定药孔区的最低分布高度。
2、一般烟囱高达数十米，可将其看作长为I的均质细杆，根部因为钢筋的牵连，可看作固定
铰链，当烟囱与铅垂线成任意夹角时，请求惯性力简化的结果以及根部的约束力。
3、当根部开始断裂时，烟囱还像刚体一样整体地下落，随着下落角度变大，转动角速度也变大，有时在倒塌的过程中在离根部约1/3长处发生二次断裂，且断裂从面向地面的一侧开始，从倒
地后的现场来看，明显在断裂处有一空地无倒塌物。
请根据相关力学原理建立模型描述。
解：
1、为保险起见,
混凝土碎块飞散后,
根据欧拉公式：
FCr
钢筋为两端固定的细长压杆
每根钢筋平均分担
其中Fcr
W2R/3a
（烟囱自重均匀分布在筒壁,
压力）
2、
惯性力系向根部简化简化为：
W
l
iWl
2一1W,2
F
I
Fi
Miol
g
2
g2
3g
其中角速度和角加速度如下计算:
v
l
据
Mo
（F）
0有,Jo
W-sin0
2
得
3g
sin
2l
而
d
d
dd
，分离变量后再积分得
dt
d
dtd
.：
g（1sin
）
由
Fx
0,
得Fox
2
Wcos0,
g2
即Fox理丄2WcosW（3cos）g22
由Fyo,得FOyW^Wsin
g2
o，即Foy
Wsin
W.
sin
4
3、横截面上有动内力分量分别为
:
FNd、
Mb（Fi）
FQd、
Md
力矩平衡得
xv
Mb（—W）l
即：
Md
x_
x
m八
x）
x
1m
—Wsing—
J
2l
化简得:
Md
1Wsin
i（x2
x3
）
4l
l
动弯矩取大时有
dMd
0
即得
2l
x
dx
3
此处
Wl
Mdmax
sin
27
g2
、孙悟空的如意金箍棒（40分）
中国四大古典名著的《西游记》中的孙悟空本领高强，神通广大，深得人们喜欢。
尤其是他的兵器一一如意金箍棒，帮他大闹天宫，降妖除魔。
传说该棒原为大禹治水时用作测江海之深的宝器，
原来放在东海龙宫之中时，重一万三千五百斤（一公斤合二斤），有二丈长（一米合三尺，十尺合一
丈），碗口粗细，一般饭碗的直径约合10厘米。
1、金箍棒的最大神奇之处在于可随意变化尺寸大小，如果金箍棒在变化过程中，保持总重量
和尺寸比例不变。
只考虑自重影响，强度控制条件[]1000MPa，试分析在固定一端，分别竖直
放置和水平放置两种情况下长度变化范围。
如果保持密度和尺寸比例不变呢？
2、孙悟空和二郎神打斗之时，不提防太上老君自上扔下金刚琢，悟空本能地双手举棒迎接，
金刚琢正好垂直打中金箍棒中间，如金刚琢重为P,无初速自由落体，下落高度为H，孙悟空两手
为刚度为k的弹簧支座，金箍棒的刚度系数为EI。
试计算金箍棒中的最大挠度。
3、因被金刚琢击中，手中金箍棒被震脱手，从云端落下，设高度距离地面h，棒与水平面的
夹角为，落地时棒的一端与光滑地面碰撞，恢复系数e0.5,则一次碰撞后金箍棒能弹起多高？
再次与地面碰撞时，金箍棒与地面的夹角为多少？
4、孙悟空有时为了震慑对方，操起金箍棒，把山石打得粉碎，这个过程为典型的碰撞过程。
悟空发现单手握棒击打时，只要控制好持棒位置和金箍棒击打石头的位置和方向，就能使手上的震
水平放置时:
札l2
工324d2丨24l2l
综上，可得水平放置时决定长度的极大值
2、问题简化为梁的两端放在两个刚度为则梁跨中截面的静位移为：
k
动力很小或没有，试建立合适的力学模型并给出分析过程、结论。
解:
1、自重不变时，
d
l
0.11
66.7667
竖立放置时：
W
A
4W
g[
]，ld
1■4W
.[]
水平放置时：
Wl
2
d3
16W
d2
[]，l
116W
7[]
32
综上，可得竖立放置时决定长度的极小值
密度不变时，
4W
ld2
竖立放置时：
Al
A
l[
]，l[]
st
Pl348EI
—，动荷系数K
2k
2h
st
则dKd
st
3、棒下落时作平动，有
2gh
据碰撞时的冲量定理有，
muc
mvc
1
据相对质心的冲量矩定理，ml
12
1
Icos
2
棒的质心和碰撞点的速度关系为:
v
Ua
在竖直方向投影得：
uAyuC
l_2
根据恢复系数的定义知
UAy
e
VAy
1Uccos2J2gh
VV
UCUAC
综合可得
.2gh
2?
13cos
3m、,2gh
2（13cos2）
.2gh（16cos2）
2
2（13cos2）
4、棒打击石头与石头打击棒情况类似，建立如图所示坐标系，应用碰撞时的动量定理有
mucxmvCxIxIOx，
mUcymvcyIyIOy
碰撞前后棒与石头无切向相对速度，则有
Ixm（uCxvCx）IOx，IyIOy
手中无碰撞冲量时，有Ixm（ucxvcx），
上式表明石头对棒的冲量应垂直于棒，根据冲量矩定理有JO2JO1Il
考虑到速度关系有|xm（uCxvCx）ma（21）
即碰撞点到手的距离为I
Jo
ma
此即为撞击中心，手握点为固定点，石头撞击棒点为
K点，手中无撞击力。
不难验证，手和撞击中心的位置互换后，结论相同。
滑板小子
周学生杰伦酷爱滑板运动，热衷挑战各种高难动作，人送雅号“滑板小子”。
周学生身材匀称，
体重50kg，滑板轮心距a=0.65m，重量不计。
周末，他滑至一条河边，河面宽为L=3m,河上仅
平铺木板一块（宽度130mm，厚18mm），斜坡倾角30°。
如图1所示。
（1）假设滑板滑行速度最大可达20km/h，不计空气阻力，周学生能直接飞越过河到达对岸吗？
（2）
假设木板的[]40MPa，周学生前后对称站立于滑板上，他能乘滑板（双脚始终在上面）通过木
板到达河对岸吗？
为什么？
（3）若无前后对称站立于滑板的限制条件，他能乘滑板到达河对岸吗?
为什么？
图1
解：
（1）取周学生和滑板组成系统为研究的质点。
d2x
dt2
d2z
dF
dvx
m——
dt
dvz
m——
dt
Fx0Fzmg
由初始条件：
t=0时，X=Z=0，vxv0cos，Vy
V0sin；积分可得
xv0cost
zv0sin
1
上式消去t,得轨迹方程
zxtang2vocos2x2
令z=0，代入30°，v020km/h，g9.8m/s2，解得
x2.72m或x0m（舍去）
因x
2.72mL3m，周学生不能直接飞越过河到达对岸。
（2）不计滑板和木板的重量，通过木板时系统的受力简图如图1。
P为人的重量。
P/2P/2
FaFb
图1
人对称站立于滑板上，板AB
ffF
AB2，
的受力如图2
图2
所示，当C、D关于跨中对称时，支座约束力
Mmax
LaP
FaQ-）-（La）
Mmax
509.8
4
12W-bh
6
（30.65）287.9Nm
23
130187020mm
Mmax
max
287.9
7020
空41MPa>
40MPa
所以，在此情况下，
（3）人站立于滑板任意位置上，板
其中PP2
当C、D关于跨中对称时,
周学生不能乘滑板通过木板到达河对岸。
AB的受力如图3所示,
支座约束力
\4
■
鼻
be
nL孑
（1
a
）P
2L
a
P
2L
PX,
L
P
X
L
Fa
Fb
1aLa
MeFa（--），MdFb（--）
2222
板跨中截面弯矩
MCMD1
fb）（22拦2
M不随人体位置调整而变化，所以，在此情况下，周学生仍不能乘滑板通过木板到达河对岸。
溜溜球
如图1所示，一个质量为m、外径为R的溜溜球静止放置在桌面上，设球对质心轴C的回转半
径为R/、、2，内径为r，绕在细绳上。
在绳端施加方位角为的拉力F。
不考虑滚动阻碍。
（1）若桌面光滑，试分析当0-，
2
（2）为多大时，可确保溜溜球只滑不滚？
（是什么？
时，溜溜球的滚动方向？
3）若桌面光滑，溜溜球能否只滚不滑？
其条件
解：
（1）在桌面光滑条件下,滚动方向均为逆时针。
（2）溜溜球的受力分析见图
0,—,时，溜溜球的
2
据刚体平面运动微分方
程：
FcosFfmac
FsinmgFN0
（扌mR2）FrFfR
（1）
⑵
⑶
r
F，代入
（1）式可得,
R
r
FmaC
R
Fn
图2
要求滑动，则aC0，Fcos
要求不滚，则0，Ff
FcosrrF0，cos即可。
RR
又因
（3）要求只滚不滑，则比
。
代入刚体平面运动微分方程，消去
ac与，得
Ff
Ff（7cos（mgFsin）
要求只滚不滑与桌面光滑程度无关,
sinmg
F，
cos2r
因此，条件是mgF，2r
、用手弹出一质量为m、半径为R的乒乓球，在地板上运动，使质心保持直线运动。
质
心的初速度为V0，转动初角速度为0。
假设乒乓球与地面的滑动摩擦系数为
（1）
（2）
解答:
求经过多长时间，乒乓球不再向前面运动?
求乒乓球运动到最远距离后，
不再向回滚动的条件。
Vo
mg
Vo
fgt当v0时，tfgfmgRJcdt
积分:
fmgRt
Jc
Vo
将t-代入上式，得:
fgmv0R
Jc
0时，可以得:
V0
Jc
mR
考虑到装动惯量Jc
lmR2
代入上式得:
V。
0R
二、女口图所示，等直杆一端固定，另外一端受到沿轴线方向的集中力，大小为F,该杆半径
为R;选用弹性模量为E、泊松比为卩=0.25的各向同性材料。
为了加固该杆件，在实心杆的基础上套上一个厚度为3的套筒（3《R）,套筒与杆件选用相同的材料，亦不考虑套筒与
杆件之间的摩擦。
如果所选用材料为脆性材料，许用压应力是许用拉应力5倍，试分析套筒
能否使杆件承受更大的载荷。
解：
若杆件受到压力等于许用载荷为[F],
而套筒所受内力以拉应力为主，
套筒所受拉应力是约是该材料的许用压应力的0.25倍,因此，增加套筒并不能提高实心杆的承载能力，
相反必须降低许用载荷以确保套筒满足强度要求。
四、某设计人员，设计一台单梁双吊龙门吊车（设计简图如图所示），设计吊重为200kN（两
个吊钩同时起吊，承载能力相同），吊车跨度为2米，左右两吊钩最大行走距离为0.32米。
该设计人员经过计算（忽略起吊冲击影响）选用横梁为No20a工字钢梁，截面尺寸如图，材
料的许用应力为150MPa当设计员满怀希望将设计报告上交后，审核人员却发现该设计存在问题。
亲爱的朋友，请您帮助核实一下，1）该结构所涉及力学问题有哪些？
2）画出其
力学模型？
3）请给出完整的设计过程，并分析该设计人员的设计思想可能在哪里出现问题？
如何改进?
解:
（1）弯曲强度，复杂应力状态
（3）解：
（一）画梁的剪力图和弯矩图
危险截面发生在CD截面MC=32KNm,QC=100KN
（二）强度校核
先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。
I「截
a.正应力强度校核（K1）点
Mc
=32“°：
=i35Mpa<[a]=15QMpa
b.剪应力强度校核（K2）点
T_.
1.2xlOxx10
正应力和切应力强度条件均满足。
c.校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。
k3
QcSz
yk3
100
33
3210388.6103
6
323.710114
10311.410088.610
2
Izb
23.710
10
120Mpa
64.8Mpa
由于钢梁为塑性材料，
K3点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。
—I—A16Afpa>[a]—1SiMpa
=\MMpa>[b]=ISOMpa
说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求（有可能未涉及）。
必须增
大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处的强度。
一、墙上安装一块薄板，当重物放在薄板的较远处时，重物常常会滑出薄板。
薄板近似可以看作为一悬臂梁AB，梁长L,抗弯刚度EI，重物C的重量为G,重物和梁的摩擦系数为卩，求：
（1）重物开始滑动的位置
（2）重物滑离B端时的速度。
解：
（1）设重物开始滑动时距离
A的长度为
s,如图2所示，则AD段的挠曲线方程为:
玄3s6EIxOxs
由此可知
yo
Gs22EI
（1）
由静力平衡条件，可求得摩擦力为:
FSGcosD
Fs
重物开始滑动的条件为
Gsin
由以上2式，可得:
tan
将式
（1）带入上式，即可得到重物开始滑动时的位置为:
2EI
1/2
G
（3）重物由D处滑倒B处，在3阶段的始末两处的挠度分别为
fD
Gs33EIGL33EI
设重物滑离B端时的速度为知
v,W为摩擦力在此过程中所做的功，由能量守恒定律可
233
GvGLGs
G—
2g3EI
这里假设重物的体积很小，其转动的动能忽略不计。
由于
dWFSds
F
SGcos
ds
1y
3
勺dx
cos
3
dx/ds1y
所以有
dW
Gcos
3/2
1ydxGdx
积分上式：
W
GLs
将（3）代入
（2），
最后得到
v2gL
Gs
3EI
L2
Lss2
1/2
而
（3）
Fi。
试求手作用在拖把上竖
二、海绵拖把在即将挤干水时的状态如图所示，若挤干水时需直方向的力。
分析手上还有哪些力。
如想省力，可采取哪些措施。
rh
F3
li
*I
l2
加压手柄
F2
FA—*
FAy"
i
F
Fa'y
F2
j
1
u-i
拧l3
Fi
九A」
2
Jj
Fi
2
Fi
取海绵拖把头为研究对象，受力图如图
Fy0，
（b）
（c）
（d）
b）所示
F22F（cos2
F2
2F1cos
取加压手柄为研究对象，受力图如图（
C）所示
Ma（F）0，FliF2I2FF2
I2/I1
2Ficos
2I2
li
Fy0，
FayFF20
F2Ficos2（17）
l1
取拖把手柄为研究对象，受力图如图（
d）所示
Fy0，
2Ficos2FAyF30F3
2Ficos2Fay
2Rcos2l2
li
由于两手的作用力不在一竖直线上,
握拖把手柄的手有转动力偶的作用。
如想省力，2角尽可能大一些,
li尽可能大一些，I2尽可能小一些。
当然须和其他因素综合
考虑。
、如图所示，一个小球自由下落，高度为h，与容器碰撞，恢复系数为k，容器的母线为
解:
arctan（2ax），v.2gh
Vn
kvcos
Vt
vsin
Vx
Vnsin
Vtcos，vyvncosvtsin
2ax
Vyt
1-2
1gt
H
Vxt
x
a
2ax
其中
232322244
4ahk4hak16haxk16hax18ax16ax
4ha2k12
46ha2hak24hak2R
4a
R9h2a2
16Ha2k2
4223
2hak12hak12hahak4hak12hak24hak
32Hha2k
16Hha2
二、两个人要比赛谁的力量大，其中一个人提出用图示的杆件比谁能使杆B端挠度最大,
在比赛前设置了一个条件，即在矩A端为a的位置下方放置了一个易碎的小圆柱，该圆柱
体距水平位置为，较小，EI已知。
比赛以B端挠度最大，且不能使小圆柱题破坏为胜。
请问，你怎样加力，才能获胜。
（注：
只能加一个力）
I
F
Pcos
Fa3
Ma
3EI
2EI
Fa2
Ma
解:
MPhsin
2EIEI
32
FlaMlaa3EI2EI
dyd
丄3halarctan―225a2l4la
、啄木鸟玩具
一只啄木鸟模型通过弹簧联结在套筒上，将套筒置于金属杆的顶端，放手后啄木鸟开始有节奏地摆动身体，一边啄木一边间歇地时滑时停地向下滑动。
这个有趣的玩具作为演示教具，常见于德国理工科大学的力学实验室。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系；
（2）请说明啄木鸟玩具的力学原理；
（3）请对其运动进行力学分析。
解：
（1）关键词：
摩擦力、谐振动、周期性运动，动量矩定理、动量定理。
题1-1图
（2）力学原理：
仔细观察啄木鸟的运动。
当套筒倾斜，端部与直杆接触，且接触处的摩擦力足以平衡套筒和啄木鸟的重量时，啄木鸟即作短暂的停留。
而且接触处的摩擦力小于套
筒和啄木鸟的重量时，约束即被解除，啄木鸟向下滑动，直到套筒再次倾斜，端部与直杆再
次接触为止。
在此过程中，啄木鸟作周期性摆动使套筒的姿态以及套筒与直杆的接触处的法向约束力Fn随之改变，摩擦力亦随之改变。
摩擦力的周期性变化正是套筒与直杆之间发生粘着一滑动一再粘着现象的根本原因。
（3）力学分析：
将啄木鸟模型记作B1，套筒记作B2，质量分别为m1和所m2，组成的系统记作｛B｝。
设B1通过弹簧与B2联结，弹
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