近世代数期末考试题库.docx
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近世代数期末考试题库
近世代数模拟题一
一、单烦题（本大题共5小题，每小题3分，共仆分）在每小题列出的四个華项只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、透裁紀分。
1、设A=B=R（实数集），如果A到B的映射：
bx+2,xW肾贝I」是从嵌到B的（）
入满射而非单射B、单射而非满射
G—一映射Q既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合怒B中含
有（）个元素。
/<2&5C、7D.10
3、在群G中方程ax=b,ya=b,a,bEg都有解，这个解是（）乘法来说
入不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样
4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）
入不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必恿门的（）
&倍数B、次数C、约数D、指数
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案错填、不填均无分。
1、设集合A=3；｝B牟｛则有BA一―O
2、若有元素eGR使每a^A都有ae二ea=a,则e称为环R的——。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个-一o
4、偶数环是一一的子环。
5、—个集合A的若干个―变换的乘法作成的群做A的一个——o
6、每一个有限群都有与一个置换群o
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单:
B是-，元a的逆元是-一O
8、设I和S是环R的理想且1S蛍如果I是R的最大理想，那么o
9、一个除环的中心是一个——o
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换。
和Y分别为:
a=|2345678I,t=™781,判断。
和［的奇偶性，并把。
和］
一64173528一^123187654
写成对换的乘积。
「「
2、证明：
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合M-阿21,m}（rTT1）,定义“m中运算“
（Mm,+J是不是群，为什么？
m”为atb=（a+b）（modm）,则
四、证明题（本大题共2小题，第
1、设°是群。
证明:
如果对任意的
1题彳0分，
x&有x
第2小题15分共25分）
2=,则°是交换群。
e
2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。
近世代数模拟试题二
—、单项选择题
二、1s设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。
入建/B、晩
%、eD、
a
e,a,a
”
95
2、下面的代数系统（qT中，（）
不是群
入G为整数集合,
穴为加法B
、0为偶数集合，
GG为有理数集合，水为加法D
、G为有理数集合,
3、在自然数集N
上，下列哪种运算是可结合的？
（
入a*bpboB、ca*b=max{a,b}C、a*b=a+2b
D、a*b=|a-b|
4、设I、2、3
是三个置换，其中尸
（12）@3）（13）,
则,）
aaa
ao
入2B
1
12C、2D、
2
21
5、任意一个具有
2个或以上元的半群，
它（）。
入不可能是群
&不一定是群
G—定是群
以是交换群
2
*为加法
水为乘法
a。
=（24）（14）,3=（1324）,
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A屮,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H二{1,（12）},写出H的所有陪集。
2、醍所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“个代数系统，问E,）堤不是群，为什么?
E中的运算，（匕）是一
3、a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]
和P,q
四、证明题（本题共2小题，第1题10分，第2小
1、若＜G,*＞是群，则对于任意a、bGQ必有惟一的
!
佰分，共25分）xWG使得a*x=bo
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:
a?
b当且仅当m|a-bo
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。
入2阶&3阶C、4阶D、6阶
2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
入4个B、5个C、6个D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）o
入偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕
、亿）n
a（P（A）,）Q
（123）,（132）｝,那么，在S3中可以与（123）交换
的所有元素有（）
、12）,（13）,（23）
、S3中的所有元素
入
（1）,（123）,（132）B
G
（1）,（123）D
二、填空题（本大题共卩小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
k群的单位元是——的，每个元素的逆元素是——的。
2、如果彳是A与A间的映射，a是A的一元贝I」彳fa"°
3、区间［1,2］上的运算ab（min=a,b｝的单位元是——o
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|二。
5、环乙的零因子有
6、一个子群H的右、左陪集的个数o
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的一--o
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的——
9、设群G中元素a的阶为叫如果a7那么□与n存在整除关系为三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S,S是A的子环，见|SGS也是子环。
S+S
也是子环吗？
3、
1・
设有置换一"45）（1245）,
CTT~求和
T=
（234）（456）
€
S
O
6
CTT_a
2・确定置换和的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）k—个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明氏［的充分必要条件是aba=a和ab
a=eo
近世代数模拟题四
括号内。
错选、多选或未选均光。
1・设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB.5
A.2
C.7D.10
2.设A二B=R（实数集）,如果A到B的映射
Q:
x~x+2,WWR,
则申是从A到B的（）
A.满射而非单射B单射而非满射
C.——映射D.既非单射也非满射
3•设S二｛
（1）,（12）,（13）,（23）,（123）,（132）｝,那么,在S中可以与（123）交换的
所有元素有（）
A.
（1）,（123）,（132）B.（12）,（13）,（23）
C.
（1）,（123）D.S
3中的所有元素
4•设乙§是以15为模的剩余类加群，那么，Z
“的子群共有（）个。
A.2B.4
C.6D.8
5・下列集合关于所给的运算不作成环的是（）
A.整系数多项式全体[x]关于多项式的加法与乘法-。
B有理数域Q上的n级矩阵全條）关于矩阵的加法与玉法:
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：
nGz,mn=0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：
nfnW乙mn=1
二、填空题（本大题共10小题，每空3分共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均光。
6•设“〜”是集合A的一个关系，如果“二”满,则称“〜”是A的一个
等价关系。
7•设（G,〃）是一个群，那么，对于a,bGq则abGG也是G中的可逆元，而且（ab）
8.设。
=（23X35）,T=（1243）（235）W気那么OT=（表示成若干个没有
公共数字的循环置换程）o
9•如果G是一个含有45个元素的群，那么根据Lagrange定理知，对于aGQ贝Q元素
a的阶只可能是。
10.在3次对称群$中，设H=｛
（1）,（123）,（432）｝是s的一个不变子群,则醫G/H
中的元素（12）H=o
1仁设乙二｛[o],H,|],訂，I],卅｝是以6为模的剩余类环，则乙中的所有零
因子是o
忆设R是一个无零因子的环，其特魏一个有限数，那么，n是
体设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,bGZ},其中i彳二一x则[订中的所有单位是
15.有理数域Q上的代数元鼻■3在Q上的极小多项式是o
三、解答题（本大题共3小题，每小题2分，共30分）
16.设Z为整数加群，乙为以m为模的剩余类加群，是Z到Z
0v竹勺一个映射，其中
Cp:
k~[©],kGz,（p
验证：
是Z到乙的一个同态满射，并求的同态核。
17.求以6为模的剩余类环乙二{[o],[],,B],卅，忖}的所有子环，并说明
这些子环蹇乙的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环來是主理想环。
四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题备分第2彳小题5分，共25分）
19.设G={a,b,c},G的代数运算“”。
20.设
abaO
Rab,c,dZ,la,c
cdcOz
已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。
证明：
I是R的一个子环，但不是理想。
21•设（R,+,〃）是一个环，如屎+）是一个循环群，证明：
R是一个交换环。
近世代数模拟试题一参考答案
—、单项
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；
二、傾空题（恋九题共（10小题»每空3分共30分）。
k11"°"12「20,21；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同
构;7、零、-a；8、S=l或S二R；9、域；
三、解答题b（本次题共3小题，每小题10分，共30分）
Q扇军：
把和写成不相杂轮换的乘积=
（1^3）（247）（8）T（103）（48）炬7）（6）
可知为奇置换，为偶置换。
和可以写成如下对换的乘积
=+,闕是对称矩阵，而C是反对称
ABc，这里&和°分别为对称矩阵和反对称矩阵，贝［J
111
B=B1
BB
3、答：
（四、证明题
有意义，作勺子集
所有（a.bR,b0）b
11
B（AA）C（AA）
2,2
2、m:
瀝任意方阵，令矩阵,CO若令有
而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边矚阵Fo,即:
，+所以，表示法唯一。
C
.J不是群，因为M”中有两个不同的单位元粛口用
（本大题共2小题，第1题10分，第5小题屁分巽25分）
2111
K对于G中任意兀X,y,由于（xy）e,所以xy（xy）yxyx（对每个X,从x?
e可
一、单题题（本大题共5小题，每小题3分共15分）。
二、填空题（本大题共W小题，每空3分，共30分）。
K变换群；2、交换环3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、映射；7、不都
等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环
三、解答题（本大题共3小题，每小题卩分，共30分）
K解：
H的3个右陪集为:
{1,（12）},{（123）,（13）},{（132）,（23）}
H的3个左陪集为:
{1,（12）},{（123）,（23）},{（132）,（13）}
次答：
（匕）不是群，因为（E,）中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式：
a二b+102
b二3x102+85
102=1x85+17
由此得到（a,b）=17,[a,b]=axb/17=11339o
然后回代：
17=102-85=102-（b-3x102）=4x102-b=4x（a-b）-b=4a-5b.
所以p=4,q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题40分，第2小题15分，共25分）
=bo所以,x=a-1*b是『x二b的解。
若xEg也是a*x=b的解，则=3x=（a-1*a）*x=a-1*（a*x）=a-1*b=xT所以，
x二a-1*b是a*x二b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集Zm,每个整数a所在的等价类爲［a］={xEz；n4a}或者也可觉a,称之为模m剩余类。
参考答案
msj-b1/F）,a二b（m）o当m=2时，Z2仅含卜元:
[0]与[1]o
近世代数模拟扌
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
3、2；4、24；5、2,4,6、相等；7、商群；8、特征；9、
3小题，每小题勺0分，共30分）
可得总共8种。
7、如果环R的阶N那么R的单位元10舌（）
8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
（）
9、F（x）中满足条件p（）«0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。
（）
10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%）同构的子域，这里z是整数环，（最
由素数P生成的主理想。
（）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干
后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）
1、设A,2,:
和D都是非空集合，而f是AX2X…X至【JD的一个映射，那么（）
A..A..AA
的象是G2的子群；④G的不变子群的象是G2的不变子群。
8、设f:
RR是环同态满射，f（a）b,那么下列错误的结论为（）
12
①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；
③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。
10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）
①E:
lE:
II:
F；②F:
EI:
FE:
I
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
每空1分，共彳0分）
［、设集合A=t^0,1；｝b1年,｛则有BA•:
=o
2、如果f是A与A间的映射，&是A的一个元，贝【JfLf【a（）］=o.
3、设集合A有一个分类，其中a与厲是A的两个类，如果AA,那么A灯=—
i
4、设群G中元素a的阶为m,如果a”「那么m与n存在整除关系为_
5、凯莱定理说：
任一个子群都同一个—二―同构。
6、给出一个5-循环置换（31425）,那么|o
7、若|是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达
为。
/
8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R是一个域当且仅当I
I
是。
9、整环I的一个元P叫做一个素元，如果。
10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果7
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。
指出错误1分，更正错误。
2分。
每小题3分，共15分）。
1s如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a.2里，元的次序可以掉换。
93n
2、有限群的另一定义：
一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法
封闭；结合律成立、交换律成立。
3、设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么S0o
型野和b的最大公因
4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子,若d和
那么必有d~7"
add。
5/禅做毀¥的一个代数元，如果存在F的都不等于零“，，8使得的亓°
2XV
g（x）4x53,计算f（x）
六、证明题（每小题10分，1、设a和b是一个群G的两个元且证明：
甜的阶ab
H
g（x）、f（x）
共40分）
ab
TT
g（x）和f（x）g（x）以及它们的次数。
也，又设&的阶a叫b的阶bn,并且（m,n）1,
mno
将R的所有这样的变换
构成一"集合G={,V,6,孔}试证明：
对于变换普通的乘法，G作成一个群。
f（abRaA+={+€€}
•）
3、设I和12为环R的两个理想，试证I,12和I.IabaI,bI都是R的理想。
1212
4、设R是有限可交换的环且含有单位元
近世代数试卷参考解答
67
1,证明:
R中的非零元不是可逆元就是零因子。
—、判断题123
X
12
②
）（I
二、单项选择题
三、填龛匚2!
1,1,1,0,1,12,1,2,0,hO）2、
1、
5、
变换群。
6、13524。
7
10
XzZ
910
①②④
③©①④
mno
8、—个最大理想。
9、P既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。
10、E的每一个元都是F上的l个代数元。
四、改错题
1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在
里，元的
次序可以掉换。
结合律与交换律
2、有限群的另一定义：
一个有乘瀝勺有限非空集合封■闭；结合律成立、交换律成立。
消去律成立
G作成一个群，如果满足G对于乘法
3、设I和S是坏R的理想且I
如果I是R的最大理想，那么s
S=l或S=R
红唯厂分解环I的两个元&和b不—定会有最大公因子，d都是&和b的最大公因
右d¥
那么族有d=d'O——…
+—兌肴最夬公因子；d和d'只能差一个单位因子
5、叫做域F的一个代数元,如果存在F的都不等于零“，占使得的元
aa0o
01n
不都等于零的元
测验题
—：
—题（亚分）
1、设集合M与M分别有代数送聲古「且M~M,则当时，也满足结合律；
当时，也满足交换律。
2、对群中任意元素a有1=；
b,（ab）a有1
■
3、设群G中元素a的阶是n,n|m则a=；
4、设百足任意一个循环群，若21=护则丸芍构；若|a|n
贝并肖同构；
5、设Gf〈为6阶循环群，贝I」G的生成元有群有
6、n次对称群S的阶是；置换T=（1378）（24）的阶是
1234
p=I,贝IJap=
M132
9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=
10、任意一个群都同一个构。
二、证明题（24）
k设G为n阶有限群，证明：
G中每个元素都满足方程x"耳
2、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交HCk仍然是G的一个子群。
3、证明:
如果群G中每个元素都满足方程/弓则G必为交换群。
三、解答题（34）
1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算ab。
匸b+4作成群。
2、写出三次对称群$的所有子群并写出$关于子群十｛
（1）,伽）｝的所有左陪集和所有右陪集。
基础测试参考答案:
—、填空题
K满足结合律；满足交换律；
2、b-一；
11
a
1a1
3、e；
4、整数加年”n坷梓位根君賁;
5、
5
•e
e,a
•
eaaeaaaaa/
8,8/3
242345
3242345
（
6、
n!
;4
丿
123
4
7、
413
2
8、
（456）（32）
9、
|H|：
（G：
H）
10、
（双射）
变换群；
二、证明题
1、已知G|n|,|a|=k,贝
k|n
令n=kq,贝廿aaa
n（）q
15
即G中每个元素都满足方程乂口
2、充要条件：
ab百HbH0=
1
;;
证明:
已知代K为G的子群，令Q为H与K的交ee€
设a,bH,贝【Ja,bH,a,bK
€
H是G的子群，有abH
€
K是0的子群，有abK
••
abQ
V€€€
aH,贝ljaHaK
-6且
由定理
1,可知
1
aH
综上所述，H也是G的子群。
V€
3、証:
•=•=
a,bG;
ab_G_.
12
aa=aa"za——=
由消元法得
1
aa
111
ab（ab）b&ba
G是交换群。
三、解答题=
1、解：
设G是一个非空集合，是它的一个代数送算，如果满足以下条件:
（勺）结合律成立，即对G中任意兀素&,b,c,有（a67ca（bc）
（2）G中有元素e,它对G中每个元素a,都有eaa
（3）对G中每个兀素aGaaae
11
，在中有元素，使
则G对代数运算作成一个群。
16
对任意整数a,b,显然a+b+4由a,b唯一确定，故为G的代数运算。
（ab）fi=（a+b+4）c=（a+b+4）+c+4=a+b+c+8
a:
（bc）=a+b+c+8
即（ab）a（b:
c）满足结合律
匸a均有（-4）a=:
-4+a+4=a
故-4为G的左单位元。
（-8-a）a^-8-a+a+4=-4
故-8-a是a的左逆兀。
2、解：
|S丨&其子群的阶数只能是1,2,3,6
3
1阶子群｛⑴｝
2阶子群｛
（1）（12）｝｛£）（13）｝｛£）@3）｝
3阶子群｛
（1）（123）（132）｝
6阶子群S
左陪集:
（1）H=｛
（1）@3）｝=（23）H
（12）H={（12
0023）}=
（123）H
（13）H=｛（仁
0（132）}=
（132）H
右陪集:
H（1
）={0）（
23）}=H（23）
H（13）={（13
）仞）}=H
（123）
H（12）二｛（12
）佃2）}=H
（132）
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