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1、近世代数期末考试题库近世代数模拟题一一、 单烦题（本大题共5小题，每小题3分，共仆分）在每小题列出的四个華项 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、透裁紀 分。1、 设A= B= R（实数集），如果A到B的映射：bx + 2, xW肾贝I是从嵌到B的（）入满射而非单射 B、单射而非满射G 一映射 Q既非单射也非满射2、 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合怒B中含有（ ）个元素。/2 &5 C 、7 D. 103、 在群G中方程ax=b, ya=b, a,b Eg都有解，这个解是（）乘法来说入不是唯一B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的

2、（两方程解一样4、 当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ）入不相等B、0 C、相等D、不一定相等。5、 n阶有限群G的子群H的阶必恿门的（）&倍数B、次数C、约数D、指数二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案 错填、不填均无分。1、 设集合A =3 ；B牟则有B A 一 O2、 若有元素eGR使每aA都有ae二ea=a,则e称为环R的 。3、 环的乘法一般不交换。如果环 R的乘法交换，则称R是一个-一o4、 偶数环是一一的子环。5、 个集合A的若干个变换的乘法作成的群做A的一个 o6、 每一个有限群都有与一个置换群 o7、

3、 全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单:B是-，元a 的逆元是-一 O8、 设I和S是环R的理想且1 S蛍 如果I是R的最大理想，那么 o9、 一个除环的中心是一个 o三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换。和Y分别为:a = | 2345678 I, t=78 1,判断。和的奇偶性，并把。和一 64173528 一 123187654写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合M-阿2 1,m(rTT 1),定义“ m中运算“(Mm, +J是不是群，为什么？m” 为 a tb=(a+b)(m

4、odm),则四、证明题(本大题共2小题，第1、设是群。证明:如果对任意的1题彳0分，x &有x第2小题15分共25分)2=,则是交换群。e2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二、单项选择题二、1s设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。入建/ B 、 晩%、 e D、ae,a,a”9 52、下面的代数系统（q T中，（）不是群入G为整数集合,穴为加法 B、0为偶数集合，G G为有理数集合，水为加法 D、G为有理数集合,3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（入 a*bpb o B、ca*b=maxa,b C 、

5、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设 I、 2、 3是三个置换，其中尸（12） 3）（13）,则,）a a aa o入 2 B11 2 C、 2 D、22 15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。入不可能是群&不一定是群G 定是群以是交换群2*为加法水为乘法a 。=（24） （14）, 3=（ 1324）,三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A屮,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H二1,（1 2）,写出H的所有陪 集。2、醍所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ 个代数系统，问E,）堤不是群，为什么?E中的运算，（匕）是一3、a=493,

6、 b=391, 求(a,b), a,b和P, q四、证明题（本题共2小题，第1题10分，第2小1、若G, *是群，则对于任意a、bGQ必有惟一的!佰分，共25分） xWG 使得 a*x = bo2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:a? b当且仅当m| a- bo近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。入2阶 & 3阶C、4阶 D、6阶2、 设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。 入4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）o入偶数 B、奇数C、4的倍数 D、2的正整数次幕、亿）na （P（A）

7、, ） Q（123） , （132）,那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（）、12）, （13） , （23）、S3 中的所有元素入(1) , (123) , (132) BG (1) , (123) D二、填空题（本大题共卩小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。k群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。2、 如果彳是A与A间的 映射，a是A的一元贝I彳f a 3、 区间1, 2上的运算a b （min=a,b的单位元是 o4、 可换群 G 中 |a|=6,|x|=8, 则 |ax|二 。5、环乙的零因子有 6、 一个子群H的右、左陪集的个

8、数 o7、 从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的一- o8、 无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为 R的9、 设群G中元素a的阶为叫如果a 7 那么与n存在整除关系为 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，见| SGS也是子环。S+S也是子环吗？3、1设有置换一 45)(1245),CT TJ求和T =(234)(456)SO6CT T_a2确定置换 和 的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） k 个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想

9、。2、M为含幺半群，证明氏的充分必要条件是aba=a和aba=eo近世代数模拟题四括号内。错选、多选或未选均光。1设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含 有( )个元素。B.5A.2C.7 D.102.设A二B=R(实数集),如果A到B的映射Q : x x + 2, WWR,则申是从A到B的( )A.满射而非单射 B单射而非满射C.映射 D.既非单射也非满射3设 S 二(1), (12) , (13) , (23) , (123) , (132),那么,在 S 中可以与(123)交换的所有元素有( )A.(1) , (123) , (132) B.(12)

10、, (13) , (23)C.(1) , (123) D.S3中的所有元素4设乙是以15为模的剩余类加群，那么，Z“的子群共有( )个。A.2 B.4C.6 D.85下列集合关于所给的运算不作成环的是( )A.整系数多项式全体x关于多项式的加法与乘法 - 。B有理数域Q上的n级矩阵全條)关于矩阵的加法与玉法 :C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：nGz, m n=0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：nf nW乙m n= 1二、填空题(本大题共10小题，每空3分 共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均光。6设“”是集合A的一个关系，如果“二”满 ,则称“”是

11、A的一个等价关系。7设(G, )是一个群，那么，对于 a, bGq则abG G也是G中的可逆元，而且(ab)8.设。=(23X35) , T = (1243)(235) W気那么O T = (表示成若干个没有公共数字的循环置换程)o9如果G是一个含有45个元素的群，那么根据Lagrange定理知，对于aG Q贝Q元素a的阶只可能是 。10.在3次对称群$中，设H= (1) , (123) , (432)是s的一个不变子群,则醫G/H中的元素(12)H = o1仁设乙二 o, H , |,訂，I,卅是以6为模的剩余类环，则乙中的所有零因子是 o忆设R是一个无零因子的环，其特魏一个有限数，那么，n

12、是 体设高斯整数环Z i = a + bi|a , bGZ,其中i 彳二一 x则订中的所有单位是15. 有理数域Q上的代数元鼻 3在Q上的极小多项式是 o三、解答题(本大题共3小题，每小题2分，共30分)16. 设Z为整数加群，乙为以m为模的剩余类加群， 是Z到Z0 v 竹勺一个映射，其中Cp : k , kGz, (p验证：是Z到乙的一个同态满射，并求 的同态核。17.求以6为模的剩余类环乙二 o, , , B,卅，忖的所有子环，并说明这些子环蹇乙的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环來 是主理想环。四、证明题(本大题共3小题，第19、20小题备

13、分 第2彳小题5分，共25分)19.设G= a, b, c, G的代数运算“” 。20.设ab aOR ab,c,dZ,l a,ccd cOz已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21设(R, +, )是一个环，如屎+)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数模拟试题一 参考答案、单项1、C； 2、D； 3、B ； 4、C； 5、D；二、 傾空题(恋九题共(10小题每空3分共30分)。k 1 11 220,21 ； 2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ； 8、S=l 或 S二R ； 9、域；三、 解答题b (本次题共3

14、小题，每小题10分，共30分)Q扇军：把 和 写成不相杂轮换的乘积=(13)(247)(8) T (103)(48)炬 7)(6)可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积=+ ,闕是对称矩阵，而C是反对称A B c，这里 &和分别为对称矩阵和反对称矩阵，贝J1 1 1B =B1B B3、答：( 四、证明题有意义，作勺子集所有 (a.b R,b 0) b1 1B (AA) C (AA)2 , 22、m:瀝任意方阵，令 矩阵,CO若令有而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边矚阵F o,即:，+所以，表示法唯一。C. J不是群，因为M”中有两个不同的单位元粛口用(本大题共2小题，

15、第1题10分，第5小题屁分 巽25分)2 1 1 1K对于G中任意兀X, y,由于 (xy) e ,所以 xy (xy) y x yx (对每个 X,从 x? e 可一、单题题(本大题共5小题，每小题3分 共15分)。二、 填空题(本大题共W小题，每空3分，共30分)。K变换群；2、交换环3、25 ； 4、模n乘余类加群；5、2 ； 6、 映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环三、 解答题(本大题共3小题，每小题卩分，共30分)K 解：H 的 3个右陪集为:1,(1 2) , (12 3) , (1 3) , (1 3 2 ) , (2 3 )H 的 3个左陪集为

16、:1,(1 2) , (1 2 3 ) , (2 3) , (13 2) , (1 3)次答：(匕)不是群，因为(E,)中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a二b+102b二3x102+85102=1x85+17由此得到(a,b)=17, a,b=a x b/17=11339 o然后回代：17=102-85= 102-(b-3 x 102)=4x 102-b=4x(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共2小题，第1题40分，第2小题15分，共25分)=bo所以,x = a - 1*b是x二b的解。若 x Eg 也是 a*x = b 的解，则=3

17、x = (a - 1*a)*x = a - 1*(a*x ) = a - 1*b = xT 所以，x 二 a - 1*b 是 a*x 二 b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集Zm,每 个整数a所在的等价类爲a= xEz； n4 a或者也可觉a,称之为模m剩余类。参考答案msj- b 1/F), a二 b(m) o 当m=2时，Z2仅含卜元:0与1 o近世代数模拟扌二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。3、2 ； 4、24 ； 5、 2,4,6、相等；7、商群；8、特征；9、3小题，每小题勺

18、0分，共30分）可得总共8种。7、 如果环R的阶N那么R的单位元1 0舌 （）8、 若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （）9、 F（x）中满足条件p（ ）0的多项式叫做元 在域F上的极小多项式。 （）10、 若域E的特征是无限大，那么E含有一个与 %）同构的子域，这里z是整数环，（最由素数P生成的主理想。 （）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1分，共10分）1、设A, 2,:和D都是非空集合，而f是A X 2 XX至【J D的一个映射，那么（ ）A .A .A A的象是G2的子群； G

19、的不变子群的象是G2的不变子群。8、设f:R R是环同态满射，f（a） b,那么下列错误的结论为（ ）1 2欧氏环一定是唯一分解环； 主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环； 唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（ ） E:l E:II:F； F:E I : F E : I三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。 每空1分，共彳0分）、设集合 A = t0,1 ；b 1年, 则有 B A : = o2、 如果f是A与A间的 映射，&是A的一个元，贝【J f Lf【a( ) = o.3、 设集合A有一个分类，其中a与厲是

20、A的两个类，如果A A,那么A灯= i4、 设群G中元素a的阶为m,如果a” 那么m与n存在整除关系为 _5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个二同构。6、 给出一个5-循环置换 (31425),那么 | o7、 若|是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为 。 /8、 若R是一个有单位元的交换环， I是R的一个理想，那么 R是一个域当且仅当I I是 。9、 整环I的一个元P叫做一个素元，如果 。10、 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果 7四、改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线 上面。指出错误1分，更正错误。2分。每小题3分，

21、共15分) 。1s如果一个集合A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在 a. 2 里，元的 次序可以掉换。 9 3 n2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合 G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设I和S是环R的理想且I S R ,如果I是R的最大理想，那么S 0 o型野和b的最大公因4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子, 若d和那么必有d7a d d。5/ 禅做毀的一个代数元，如果存在F的都不等于零 “，8使得 的亓 2 X Vg(x) 4 x 5 3 , 计算 f (x)六、证明题(每小题10分， 1、设a和b是一个群G的两个元且 证明

22、：甜的阶abHg(x)、 f (x)共40分)abT Tg(x)和f (x)g(x)以及它们的次数。也，又设&的阶a叫b的阶b n ,并且(m,n) 1 ,mno,将R的所有这样的变换构成一集合G =, V, 6 ,孔试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。 f( ab Ra A +=+ )3、设I和12为环R的两个理想，试证I, 12和I. I a ba I ,b I都是R的理想。1 2 1 24、设R是有限可交换的环且含有单位元近世代数试卷参考解答6 71,证明:R中的非零元不是可逆元就是零因子。、判断题 1 2 3X1 2)(I二、单项选择题三、填龛匚2!1, 1 , 1,0 , 1,

23、1 2, 1 , 2,0 , h O )2 、1、5、变换群。 6 、 13524。 710X z Z9 10mn o8 、个最大理想。9、P既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的l个代数元。四、改错题1、如果一个集合A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘瀝勺有限非空集合 封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立G作成一个群，如果满足G对于乘法3、设I和S是坏R的理想且I如果I是R的最大理想，那么sS=l 或 S=R红唯厂分解环I的两个元&和b不定会有最大公因子， d都是&和b的最大公因右

24、d 那么族有d=d O + 兌肴最夬公因子；d和d 只能差一个单位因子5、 叫做域F的一个代数元,如果存在F的都不等于零“，占使得 的元a a 0 o0 1 n不都等于零的元测验题 ： 题(亚分)1、 设集合M与M分别有代数送聲古且M M ,则当 时，也满足结合律；当 时，也满足交换律。 2、 对群中任意元素a有 1= ；,b, (ab)a 有 13、 设群G中元素a的阶是n, n|m则 a = ；4、设百足任意一个循环群，若21 =护则丸芍 构；若|a| n贝并肖 同构；5、设Gf为6阶循环群，贝IG的生成元有 群有6、n次对称群S的阶是 ；置换 T =（1378）（24） 的阶是 12 3

25、 4p = I,贝IJap = M 1 3 29、设H是有限群G的一个子群，则|G|= 10、任意一个群都同一个 构。二、证明题（24）k 设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程x耳2、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群 G的任意两个子群H 与K的交H Ck仍然是G的一个子群。3、 证明:如果群G中每个元素都满足方程/弓则G必为交换群。三、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集 Z对运算a b。匸b+4作成群。2、 写出三次对称群$的所有子群并写出$关于子群 十（1）,伽）的所有左陪集和所 有右陪集。基础测试参考答案:、 填空题K满足结合律； 满足交

26、换律；2、 b -一；1 1a1a 13、 e ；4、整数加年” n坷梓位根君賁;5、5 e,e,ae a a e a a a a a /8,8 / 32 4 2 3 4 53 2 4 2 3 4 5(6、n!;4丿1 2 347、4 1 328、(456)(32)9、|H|：(G：H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知 G |n|, |a|=k,贝k|n令n=kq,贝廿a a an ( )q15即G中每个元素都满足方程乂口2、 充要条件：a b 百 Hb H0 =1; ;证明:已知代K为G的子群，令Q为H与K的交 e e 设 a,b H ,贝【J a,b H ,a,b KH是G的子群，

27、有ab HK是0的子群，有ab K ab QV a H,贝 lj a H a K-6 且由定理1,可知1a H综上所述，H也是G的子群。V3、 証: = =a,b G;ab _ G _.1 2a a = a a za =由消元法得1a a1 1 1ab (ab) b & baG是交换群。三、解答题 =1、解：设G是一个非空集合， 是它的一个代数送算，如果满足以下条件:（勺）结合律成立，即对G中任意兀素&,b,c,有（a 67 c a （b c）（2） G中有元素e,它对G中每个元素a,都有e a a（3） 对G中每个兀素a G a a a e1 1，在中有元素，使则G对代数运算作成一个群。16

28、对任意整数a,b,显然a+b+4由a,b唯一确定，故 为G的代数运算。(a b) fi=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a :(b c)=a+b+c+8即（a b） a （b: c）满足结合律匸 a 均有 (-4) a=:-4+a+4=a故-4为G的左单位元。(-8-a ) a-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆兀。2、解：|S丨&其子群的阶数只能是1, 2, 3, 631阶子群2 阶子群（1）（12） ）（13） ） 3）3 阶子群（1）（123）（132）6阶子群S左陪集:（1）H= （1） 3） =（23）H(12) H= (120 023) =(123) H（13）H= （仁0(132)=(132) H右陪集:H（1)= 0)(23) =H (23)H(13)= (13)仞) =H（123）H（12）二（12)佃2) =H（132）