从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式.docx

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式.docx

《从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式

从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

【知识梳理】

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式

2.三个“二次”间的关系

判别式Δ=b2-4ac

Δ>0

Δ=0

∆V0

二次函数

y=ax2+bx+C

（a>0）的图象

^⅜1

一兀二次方程

ax2+bx+C=0

（a>0）的根

有两相异实根X1,

X2（X1VX2）

有两相等实根X1=X2

b

=2a

没有实数根

ax2+bx+c>0

（a>0）的解集

{x|x>X2或XVX1}

b

x∣x≠-亦

R

2IC

ax+bx+CV0

（a>0）的解集

{X|X1VXVX2}

?

?

3.（X—a）（X—b）>0或（X-a）（X-b）<0型不等式的解集

不等式

解集

a

a=b

a>b

（X-a）∙（x-b）>0

{x∣xb}

{x|x≠a}

{x|xa}

（X-a）∙（x-b）<0

{x|a

?

{x|b

4.分式不等式与整式不等式

f（x）

（1）g（Xf>0（<0）?

f（x）∙g（χ）>0（<0）.

f（x）口

⑵詢≥0（≤0）?

f（x）∙g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0.

【微点提醒】

1.绝对值不等式∣x∣>a（a>0）的解集为（一∞,-a）U（a,+∞）;∣x∣0）的解集为（一a,a）.

记忆口诀：

大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式ax2+bx+c>0（<0）时不要忘记当a=0时的情形.

3.不等式ax2+bx+c>0（<0）恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

2a=b=0,a>0,

（1）不等式ax2+bx+c>0对任意实数X恒成立？

或

c>0Δ<0.

2a=b=0,a<0,

⑵不等式ax2+bx+c<0对任意实数X恒成立？

或

c<0Δ<0.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“X”）

22

（1）若不等式ax+bx+c>0的解集是（—∞,xι）U（x2,+∞）,则方程ax+bx+C=0的两个根是xι和

X2∙（）

⑵若不等式ax2+bx+CV0的解集为（xι,X2）,则必有a>0.（）

⑶不等式x2≤a的解集为[—.a,_a].（）

⑷若方程ax2+bx+C=0（av0）没有实数根，则不等式ax2+bx+C>0（a<0）的解集为R.（）

【教材衍化】

1

2.（必修5P103A2改编）已知集合A=X1≤0,B={x|x2—x—6<0},则A∩B=（）

A.（—2,3）B.（—2,2）

C.（—2,2]D.[—2,2]

2

3.（必修5P80A2改编）y=log2（3X—2x—2）的定义域是.

【真题体验】

1一X

4.（2018•烟台月考）不等式X≥0的解集为（）

2+X

A.[—2,1]B.（—2,1]

C.（—∞,—2）U（1,+∞）D.（—∞,—2]U（1,+∞）

5.（2019•北京海淀区调研）设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x∣—1

2

6.（2018•汉中调研）已知函数f（x）=ax+ax—1,若对任意实数x,恒有f（x）≤0,则实数a的取值范围是

【考点聚焦】

考点一一元二次不等式的解法

角度1不含参数的不等式

【例1—1】求不等式—2x2+X+3<0的解集

角度2含参数的不等式

命题点1通过判别式分类讨论

【例1—2】解关于X的不等式kx2—2x+k<0（k∈R）.

命题点2通过根的大小分类讨论

2

【例1—3】解关于X的不等式ax—2≥2x—ax（a∈R）.

【规律方法】1.解一元二次不等式的一般方法和步骤

（1）化：

把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式

⑵判:

计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根（无实根时，不等式解集为R或？

）•

（3）求：

求出对应的一元二次方程的根.

（4）写：

利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集.

2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：

（1）若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；

（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

（3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

【训练1】（2018•豫北豫南名校联考）不等式X2—3|x|+2>0的解集是.

考点二一元二次方程与一元二次不等式

2112

【例2】已知不等式ax2—bx—1>0的解集是{x|—2

23

【规律方法】

1.一兀二次方程的根就是相应一兀二次函数的零点，也是相应一兀二次不等式解集的端点

值.

2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与X轴的交点，可以利用代入根

或根与系数的关系求待定系数•

【训练2】（2019•天津和平区一模）关于X的不等式ax—b<0的解集是（1,+∞）,则关于X的不等式（ax

+b）（X—3）>0的解集是（）

B.（1,3）

D.（—∞,1）U（3,+∞）

A.（—∞,—1）U（3,+∞）

C∙（—1,3）

考点三一元二次不等式恒成立问题

角度1在实数R上恒成立

【例3—1】（2018•大庆实验中学期中）对于任意实数X,不等式（a—2）X2—2（a—2）x—4<0恒成立，则实

数a的取值范围是（）

B.（—∞,2]

D.（—2,2]

A.（—∞,2）

C.（—2,2）

角度2在给定区间上恒成立

【例3—2】（一题多解）设函数f（x）=mx-mx-1（m≠0）,若对于x∈[1,3],f（x）<-m÷5恒成立，则

的取值范围是.

角度3给定参数范围的恒成立问题

【例3—3】已知a∈[—1,1]时不等式χ2+（a—4）x+4—2a>0恒成立，则X的取值范围为（）

A.（—8,2）U（3,+∞）B.（—8,1）U（2,+∞）

【规律方法】1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于O就是相应的二次函数的图象在给定的区间上

全部在X轴上方，恒小于O就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在X轴下方.另外常转化为求二

次函数的最值或用分离参数法求最值•

2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.

21

【训练3】（2019•安庆模拟）若不等式X+ax+1≥0对一切X∈0,2恒成立，则a的最小值是（）

5

A.0B.—2C.—2D.—3

考点四一元二次不等式的应用

【例4】甲厂以X千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤X≤10）,每小时可获得利润

3

1005x+1—-元.

X

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该选取何种生产速度？

并求最大利润

【规律方法】求解不等式应用题的四个步骤

⑴阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系

（2）引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型

（3）解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义

⑷回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果

【训练4】已知产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x—0.1χ2,x∈（0,

240）.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）

A.100台B.120台

C.150台D.180台

【反思与感悟】

1•“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把av0的情况转化为a>0时的情形.

2.在解决不等式ax+bx+c>0（或≥0）对于一切X∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a=0时是否满足题意•

3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：

一是利用二次函数在区间上的最

值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单

【易错防范】

1.当Δ<0时，ax2+bx+c>0（a≠0）的解集为R还是？

，要注意区别.

2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.（2018•合肥调研）已知集合A={y∣y=ex,x∈R},B={x∈R|x2—X—6≤0},贝UA∩B等于（）

A.（0,2）B.（0,3]

C.[—2,3]D.[2,3]

X+5

2.不等式-2≥2的解集是（）

（X—1）

3.不等式∣x∣（1-2x）>0的解集为（）

1

B.

——∞

—

2

D.

0,舟

2

1

A.（-∞,0）U0,2c.2,+∞

22

4.已知函数f（x）=-X+ax+b-b+1（a∈R,b∈R）,对任意实数X都有f（1-x）=f（1+x）成立，当x∈[-1,1]时，f（x）>O恒成立，则b的取值范围是（）

A.（-1,0）

B.（2,+∞）

C.（-∞,-1）U（2,+∞）

D.不能确定

5.（2019•淄博月考）已知二次函数

2

f（x）=ax-（a+2）x+1（a∈Z）,且函数f（x）在（一2,-1）上恰有一个

零点，则不等式f（x）>1的解集是（）

B.（-∞,0）U（1,+∞）

D.（0,1）

A.（-∞,-1）U（0,+∞）

C.（-1,0）

二、填空题

6.不等式2x2-x<4的解集为

211

7.已知不等式mx+nx—m<0的解集为{x|x<—空或x>2},贝Um-n=I

8.（2019•河南中原名校联考）已知f（x）是定义在R上的奇函数.当x>0时，f（x）=x2—2x,则不等式f（x）>x

的解集用区间表示为.

三、解答题

9.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低X成（1成=10%）,售出商品数

8

量就增加-X成.要求售价不能低于成本价•

5

（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与X之间的函数关系式y=f（x），并写出定义域；

（2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求X的取值范围.

10.解下列不等式：

（1）0

22

（2）12X—ax>a（a∈R）.

【能力提升题组】（建议用时：

20分钟）

若f（2—χ2）>f（x）,则实数X的取值范围是（）

B.（—∞,—2）U（1,+∞）

D.（—2,1）

X,X≤0,

11.已知函数f（X）=

In（x+1）,x>0,

A.（—∞,—1）U（2,+∞）

C∙（—1,2）

12.（2019•保定一中调研）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：

当X≥0时，f（x）=X3,若不等式f（—

4t）>f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）

A.（—∞,—.2）B.（—.2,0）

C.（—∞,0）U（2,+∞）D.（—∞,—2）U（2,+∞）

22I-I

13.设a<0,若不等式—cosx+（a—1）cosx+a≥0对于任意的x∈R恒成立，贝Ua的取值范围是.

14.（2019•济南一中质检）已知f（X）是定义在R上的偶函数，且当X≥0时，f（x）=ex.若对任意X∈[a,a

+1],恒有f（x+a）≥f（2x）成立，求实数a的取值范围.

【新高考创新预测】

15.（试题创新）若实数

a,b,

C满足对任意实数

X,y有3x+4y—5≤ax+by+C≤3x+4y+5,则（

）

A.a+b—C的最小值为

2

B.

a—b+C的最小值为一4

C.a+b—C的最大值为

4

D.

a—b+C的最大值为6

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“X”）

（1）若不等式ax2+bx+c>0的解集是（—∞,xi）U（χ2,+∞）,则方程ax2+bx+C=0的两个根是xi和

χ2∙（）

⑵若不等式ax2+bx+CV0的解集为（xi,X2）,则必有a>0.（）

⑶不等式x2≤a的解集为[—∙.a,a].（）

⑷若方程ax2+bx+C=0（av0）没有实数根，则不等式ax2+bx+C>0（a<0）的解集为R.（）

【答案】⑴√

（2）√（3）×（4）×

【解析】（3）错误.对于不等式x2≤a,当a>0时，其解集为［—∙,a,a］；当a=0时，其解集为{0},当

a<0时，其解集为？

.

⑷若方程ax2+bx+C=0（a<0）没有实根，则不等式ax2+bx+c>0（a<0）的解集为？

.

【教材衍化】

12

2.（必修5P103A2改编）已知集合A=Xqx—1≤0,B={x|x2—x—6<0},则A∩B=（）

A.（—2,3）B.（—2,2）

C.（—2,2]D.[—2,2]

【答案】C

【解析】因为A={x∣x≤2},B={x∣—2

所以A∩B={x∣—2

2

3.（必修5P80A2改编）y=log2（3X—2x—2）的定义域是

【答案】—∞,1J7U1,7,+∞

33

【解析】由题意，得3χ2—2x—2>0,

令3x2—2x—2=0,得X1=,X2=,

2

∙∙∙3x—2x—2>0的解集为

1—羽,I1+V7I

—∞,—U厂,+∞.

【真题体验】

1一X

4.（2018•烟台月考）不等式=≥0的解集为（）

5.

2十X

【答案】

【解析】

（1—X）（2+X）

原不等式化为

2+X≠0,

（X—1）（X+2）≤0,

即解得一2

X+2≠0,

5.（2019•北京海淀区调研）设一元二次不等式

ax2+bx+1>0的解集为{x|—1

A.1

11

B.—C.4D.—-

42

【答案】

B

【解析】

因为一兀二次不等式ax+bx+1>0的解集为{x∣—1

b1111

和2,所以一1+2=—,（—1）×2=-，所以a=—；,b=；,所以ab=-

aa224

6.（2018•汉中调研）已知函数f（x）=ax2+ax—1,若对任意实数x,恒有f（x）≤0,则实数a的取值范围是

【答案】[—4,0]

【解析】若a=0,则f（x）=—1≤0恒成立，

a<0,

若a≠0,则由题意，得2解得—4≤a<0,综上，得a∈[—4,0].

Δ=a+4a≤0,

【考点聚焦】

考点一一元二次不等式的解法•多维探究

角度1不含参数的不等式

【例1—1】求不等式—2x2+X+3<0的解集.

【答案】见解析

22

【解析】化—2x+x+3<0为2x—x—3>0,

23

解方程2x—x—3=0,得X1=—1,X2=Q,

23

•••不等式2x—x—3>0的解集为（一∞,—1）U2,+∞

3

即原不等式的解集为（一∞,—1）U2,+∞.

角度2含参数的不等式

命题点1通过判别式分类讨论

【例1—2】解关于X的不等式kx2—2x+k<0（k∈R）.

【答案】见解析

【解析】

1—.1—k21+.1—k2

①当k=0时，不等式的解为x>0.

②当k>0时，若Δ=4—4k2>0,即0

若∆≤0,即卩k≥1时，不等式无解③当k<0时，若Δ=4—4k2>0,即一1

不等式的解为χ<1+厂或χ>1-厂,

若Δ<0,即k<-1时，不等式的解集为R;

若∆=0,即k=-1时，不等式的解为X≠-1,

综上所述，k≥1时，不等式的解集为？

；

0

k=-1时，不等式的解集为｛x|X≠-1｝;

k<-1时，不等式的解集为R.

命题点2通过根的大小分类讨论

【例1—3】解关于X的不等式ax2-2≥2x—ax（a∈R）.

【答案】见解析

【解析】原不等式可化为ax2+（a-2）x—2≥0.

1当a=0时，原不等式化为X+1≤0,解得x≤-1.

2

2当a>0时，原不等式化为X—（x+1）≥0,

a

2

解得X≥一或x≤-1.

a

2

3当av0时，原不等式化为X-（x+1）≤0.

a

22

当一>—1,即av-2时，解得一1≤x≤

aa

当2=-1,即a=-2时，解得X=-1满足题意；

a

22

当一v-1,即一2

aa

综上所述，当a=0时，不等式的解集为｛x|X≤-1｝;

2

当a>0时，不等式的解集为x|X≥或x≤-1;

a

2

当一2vav0时，不等式的解集为X匚≤x≤-1;

a

当a=-2时，不等式的解集为｛—1｝；

2

当av—2时，不等式的解集为x∣-1≤X≤a.

【规律方法】1.解一元二次不等式的一般方法和步骤

（1）化：

把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式

（2）判:

计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根（无实根时，不等式解集为R或？

）•

（3）求：

求出对应的一元二次方程的根.

（4）写：

利用“大于零取两边，小于零取中间”写出不等式的解集

2.含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论：

（1）若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行讨论；若不易

分解因式，则可对判别式进行分类讨论；

（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；

⑶其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集

【训练1】（2018•豫北豫南名校联考）不等式X2—3|x|+2>0的解集是.

【答案】（一∞,-2）U（—1,1）U（2,+∞）

【解析】由题原不等式可转化为∣x∣2-3|x|+2>0,

解得∣x∣<1或|x∣>2,

所以X∈（-∞,-2）U（—1,1）U（2,+∞）.

考点二一元二次方程与一元二次不等式

2112

【例2】已知不等式ax2-bx-1>0的解集是｛x∣-2

【答案】｛x∣x≥3或x≤2｝

11b

一—+一—=—

11223a'

解得

【解析】由题意，知—3，-$是方程ax-bx-1=0的两个根，且a<0,所以

2311—1

—×—一=

23a

a=-6,

b=5.

故不等式X-bx-a≥0为X-5x+6≥0,

解得X≥3或X≤2.

【规律方法】1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点

2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与X轴的交点，可以利用代入根

或根与系数的关系求待定系数•

【训练2】（2019•天津和平区一模）关于X的不等式ax—b<0的解集是（1,+∞）,则关于X的不等式（ax

+b）（X—3）>0的解集是（）

A.（—∞,—1）U（3,+∞）B.（1,3）

C.（—1,3）D.（—∞,1）U（3,+∞）

【答案】C

【解析】关于X的不等式ax—b<0即ax

•••不等式（ax+b）（x—3）>0可化为（x+1）（X—3）<0,解得—1

•••所求不等式的解集是（—1,3）.

考点三一元二次不等式恒成立问题.多维探究

角度1在实数R上恒成立

【例3—1】（2018•大庆实验中学期中）对于任意实数X,不等式（a—2）X2—2（a—2）x—4<0恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.（—∞,2）B.（—∞,2]

C.（—2,2）D.（—2,2]

【答案】D

【解析】当a—2=0,即a=2时，一4<0恒成立；

a—2<0,

当a—2≠0,即a≠2时，则有2

Δ=[—2（a—2）]—4×（a—2）×（—4）<0,

解得—2

角度2在给定区间上恒成立

【例3—2]（一题多解）设函数f（x）=mX—mx-1（