江苏卷数学试题及答案.docx

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江苏卷数学试题及答案

2015年全国高等学校招生考试数学试题

江苏卷

1、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.

3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

6.已知向量，若，则的值为______.

7.不等式的解集为________.

8.已知，，则的值为_______.

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为。

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。

11.数列满足，且（），则数列前10项的和为。

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为。

13.已知函数，，则方程实根的个数为。

14.设向量，则的值为。

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

在中，已知

（1）求BC的长；

（2）求的值。

16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，

求证：

（1）平面；

（2）

17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中为常数）模型.

（1）求的值；

（2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为.

请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；

当为何值时，公路的长度最短？

求出最短长度.

18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

19.（本小题满分16分）

已知函数。

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求的值。

20.（本小题满分16分）

设是各项为正数且公差为的等差数列

（1）证明：

依次构成等比数列；

（2）是否存在，使得依次构成等比数列？

并说明理由；

（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？

并说明理由。

附加题

21、（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.[选修4-1：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，在中，，的外接圆O的弦交于点D

求证：

B.[选修4-2：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。

C.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.

D．[选修4-5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

解不等式

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长

23.（本小题满分10分）已知集合，设，整除或整除.令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。

参考答案

一、填空题：

本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法。

每小题5分，共计70分。

1.52.63.4.75.

6.-37.（或（-1,2））8.39.

10.11.12.13.414.

二、解答题：

15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分.

解：

（1）由余弦定理知，

所以

（2）由正弦定理知，，所以

因为，所以为锐角，则

因此

16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

证明：

（1）由题意知，为的中点，

又为的中点，因此

又因为平面平面

所以平面

（2）因为棱柱是直三棱柱，

所以平面

因为平面，所以

又因为平面平面，，

所以平面

又因为平面，所以

因为，所以矩形是正方形，因此

因为平面，所以平面

又因为平面，所以

17.本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.

解：

（1）由题意知，点的坐标分别为（5,40），（20,2.5）.

将其分别代入，得

解得

（2）①由

（1）知，，则点P的坐标为，

设在点P处的切线交轴分别于点，，

则的方程为，由此得.

故.

②设，则.

令，解得

当时，是减函数；

当时，是增函数.

从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时

答：

当时，公路的长度最短，最短长度为千米。

18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分

解：

（1）由题意，得且，

解得，则，

所以椭圆的标准方程为

（2）当轴时，，又，不合题意.

当与轴不垂直时，设直线的方程为，

将的方程代入椭圆方程，得，

则，的坐标为，且

.

若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意.

从而，故直线的方程为，

则点的坐标为，从而

因为，所以，解得

此时直线方程为或

19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.

解：

（1），令，解得

当时，因为，所以函数在上单调递增；

当时，时，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，时，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）由

（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而

或

又，所以当时，或当时，.

设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，

则在上，且在上均恒成立，

从而，且，因此

此时，，

因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，

所以，且，

解得.

综上

20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.

解：

（1）证明：

因为是同一个常数，

所以依次构成等比数列.

（2）令，则分别为.

假设存在，使得依次构成等比数列，

则，且

令，则，且，

化简得，且.

将代入（*）式，

，则

显然不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在，使得依次构成等比数列

（3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，

则，且.

分别在两个等式的两边同除以及，并令，

则，且.

将上述两个等式两边取对数，得，

且

化简得，

且

再将这两式相除，化简得

（**）.

令，

则.

令，

则.

令，则

令，则.

由，

知在和上均单调.

故只有唯一零点，即方程（**）只有唯一解，故假设不成立.

所以不存在及正整数，使得依次构成等比数列.

21.[选做题]

A.[选修4-1：

几何证明选讲]

本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分.

证明：

因为，所以

又因为，所以，

又为公共角，可知.

B.[选修4-2：

矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

解：

由已知，得，即，

则即所以矩阵.

从而矩阵的特征多项式，

所以矩阵的另一个特征值为1

C.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

解：

以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系.

圆的极坐标方程为，

化简，得

则圆的直角坐标方程为，

即，

所以圆的半径为

D.[选修4-5：

不等式选讲]

本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力.满分10分.

解：

原不等式可化为或

解得或

综上，原不等式的解集是或.

22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.

解：

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为

，，，.

（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，.

因为，.

设平面的法向量为，

设，

即令，解得.

所以是平面的一个法向量.

从而，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为

（2）因为，设，

又，则，又，

从而

设，则

当且仅当，即时，的最大值为

因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值

又因为，所以

23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.

解：

（1）

（2）当时，

下面用归纳法证明：

①当时，，结论成立；

②假设时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在中产生，分一下情形讨论：

1）若，则，此时有

，结论成立；

2）若，则，此时有

，结论成立；

3）若，则，此时有

，结论成立；

4）若，则，此时有

，结论成立；

5）若，则，此时有

，结论成立；

6）若，则，此时有

，结论成立；

综上所述，结论对满足的自然数均成立.