1_学魁榜清北学霸整理高中数学破题36招.doc

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目录

目录 1

第1关：

极值点偏移问题--对数不等式法 2

第2关：

参数范围问题—常见解题6法 6

第3关：

数列求和问题—解题策略8法 9

第4关：

绝对值不等式解法问题—7大类型 13

第5关：

三角函数最值问题—解题9法 19

第6关：

求轨迹方程问题—6大常用方法 24

第7关：

参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 37

第8关：

均值不等式问题—拼凑8法 43

第9关：

不等式恒成立问题—8种解法探析 49

第10关：

圆锥曲线最值问题—5大方面 55

第11关：

排列组合应用问题—解题21法 59

第12关：

几何概型问题—5类重要题型 66

第13关：

直线中的对称问题—4类对称题型 69

第14关：

利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 71

第15关：

函数中易混问题—11对 76

第16关：

三项展开式问题—破解“四法” 82

第17关：

由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 83

第18关：

类比推理问题—高考命题新亮点 87

第19关：

函数定义域问题—知识大盘点 93

第20关：

求函数值域问题—7类题型16种方法 100

第21关：

求函数解析式问题—7种求法 121

第22关：

解答立体几何问题—5大数学思想方法 124

第23关：

数列通项公式—常见9种求法 129

第24关：

导数应用问题—9种错解剖析 141

第25关：

三角函数与平面向量综合问题—6种类型 144

第26关：

概率题错解分类剖析—7大类型 150

第27关：

抽象函数问题—分类解析 153

第28关：

三次函数专题—全解全析 157

第29关：

二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 169

第30关：

解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 178

第31关：

平面向量与三角形四心知识的交汇 179

第32关：

数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 183

第33关：

函数零点问题—求解策略 194

第34关：

求离心率取值范围—常见6法 199

第35关：

高考数学选择题—解题策略 202

第36关：

高考数学填空题—解题策略 211

第1关：

极值点偏移问题--对数不等式法

我们熟知平均值不等式：

即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”

等号成立的条件是.

我们还可以引入另一个平均值：

对数平均值：

那么上述平均值不等式可变为：

对数平均值不等式

，

以下简单给出证明：

不妨设，设，则原不等式变为：

以下只要证明上述函数不等式即可.

以下我们来看看对数不等式的作用.

题目1：

（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是

A.B.C.D.有极小值点，且

【答案】C

【解析】函数导函数：

有极值点，而极值，，A正确.

有两个零点：

，，即：

①

②

①-②得：

根据对数平均值不等式：

，而，B正确，C错误

而①+②得：

，即D成立.

题目2：

（2011辽宁理）已知函数.

若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：

设，，，则，

①

②

①-②得：

，化简得：

③

而根据对数平均值不等式：

③等式代换到上述不等式

④

根据：

（由③得出）∴④式变为：

∵，∴，∴在函数单减区间中，即：

题目3：

（2010天津理）已知函数.如果，且.

证明：

.

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：

设，则，，两边取对数

①

②

①-②得：

根据对数平均值不等式

题目4：

（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.

证明：

（为函数的导函数）.

【解析】根据题意：

，移项取对数得：

①

②

①-②得：

，即：

根据对数平均值不等式：

，①+②得：

根据均值不等式：

∵函数在单调递减

∴

题目5：

已知函数与直线交于两点.

求证：

【解析】由，，可得：

①，②

①-②得：

③

①+②得：

④

根据对数平均值不等式

利用③④式可得：

由题于与交于不同两点，易得出则

∴上式简化为:

∴

第2关：

参数范围问题—常见解题6法

求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．

一、确定“主元”思想

常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．

例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．

分析：

习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+（p-4）x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．

解：

设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．

由题设知当0时f（p）>0恒成立，∴f（0）>0,f（4）>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，

解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．

二、分离变量

对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例2．若对于任意角总有成立，求的范围．

分析与解：

此式是可分离变量型，由原不等式得，

又，则原不等式等价变形为恒成立．

根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为

即时，有最小值为0，故．

评析：

一般地,分离变量后有下列几种情形：

①f（x）≥g（k）[f（x）]min≥g（k）

②f（x）>g（k）g（k）<[f（x）]min

③f（x）≤g（k）[f（x）]max≤g（k）

④f（x）

三、数形结合

对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．

例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．

分析与解：

若设函数，则，其图象为上半圆．

设函数，其图象为直线．

在同一坐标系内作出函数图象如图，

依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．

四、分类讨论

当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

例4．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

解：

（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得

（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得．∴a的取值范围是．

五、利用判别式

当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．

例5．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.

解：

∵在R上恒成立，

∴

，R

∴，解得

故实数的取值范围是.

一般地二次函数f（x）=ax2+bx+c恒正，f（x）=ax2+bx+c恒负.

六、构造函数

构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．

例6．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．

分析：

注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？

这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．

解：

设,N

∴是关于N的递增函数，则=.

∴要使不等式成立，只须，解之得.

∴实数的取值范围是．

以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．

第3关：

数列求和问题—解题策略8法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。

由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。

鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。

1、公式法求和

若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。

常用求和公式列举如下：

等差数列求和公式：

，

等比数列求和公式：

自然数的方幂和：

k3=13+23+33++n3=n2（n+1）2，k=1+2+3++n=n（n+1），

k2=12+22+32++n2=n（n+1）（2n+1）

例1已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为，求。

解：

由题意，是首项为，公差为的等差数列

前项和，

2、错位相减法求和

若数列的通项公式为，其中，中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

它在推导等比数列的前n项和公式时曾用到的方法。

例2已知当时，求数列的前n项和；

解：

当时，．由题可知，{}的通项是等差数列{}的通项与等比数列{}的通项之积，这时数列的前项和

．①

①式两边同乘以，得②

①式减去②式，得

若，，

若，

3、反序相加法求和

将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。

也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.

例3设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为：

解：

因为f（x）=，∴f（1－x）=

∴f（x）+f（1－x）=.

设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）

∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6

∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.

4、拆项重组求和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.

例4求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.

解：

设

∴＝

将其每一项拆开再重新组合得：

Sn＝

＝

＝

＝

5、裂项相消法求和

有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为分裂通项法。

它适用于型（其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。

常见拆项公式有：

；；；；；

；；

等