张达宋《大学物理教程第三版》第三章功和能.docx

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张达宋《大学物理教程第三版》第三章功和能

第三章功和能

能量这个概念很重要，这是因为能量守恒定律是一切变化和过程所必须遵守的定律，因而是自然界中一条普遍规律．而功和能量这两个概念是密切相关的，所以都是物理学中的重要概念．这一章的要求是：

理解功和能的概念；掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律，熟练地应用它们解决有关实际问题．

§3－1功功率

功的概念来源于机械工作，各种机械工作有一共同特点，即机械对工作对象有力的作用，而且工作对象沿力的方向有一位移．由此我们总结出功的概念：

当物体受到力的作用并且沿力的方向有一位移时，我们就说这个力对物体作了功．如果物体没有位移或沿力的方向没有位移，力都没有作功．例如吊车吊着重物不动或使重物在一水平面上作匀速运动，吊车施于重物的力就没有作功．下面我们介绍功的定量定义，首先考虑恒力的功，然后考虑变力的功．

一、恒力的功

大小和方向都不变的力叫做恒力．假设质点在恒力F作用下由a点沿直线运动到b点，其位移为s（图3－1），我们定义力对质点所作的功为力在位移方向的分量与位移大小的乘积．设θ为力F的方向与位移s的方向的夹角，则力在位移方向的分量为Fcosθ，所以力对质点所作的功为

　　　　　　　（3－1）

以上定义的功也可用矢量的标积表示为

　　　　　　　　　（3－2）

图3－1

因为功没有方向意义，所以功是标量，但由（3－1）式看出，功有正负．当0≤θ<90°时，W>0，力F作正功；当θ=90°时，W=0，力F不作功；当90°<θ≤180°时，W<0，力F作负功．当力F对物体作负功时，我们说物体克服力F作功．

例如用一水平方向的力拉平地上的物体，使它沿水平方向运动（图3－2）．作用于物体的力有拉力F，重力G，地面的支承力FN，地面的摩擦力Ff．力F作正功，G及FN不作功，Ff作负功．

应当注意，摩擦力不一定作负功，它可以作正功或不作功．例如在商场通往上一层楼的传送带上放置的货物受到传送带对它的摩擦力Ff作用（图3－3），这个摩擦力的方向和货物的运动方向相同，故这个摩擦力作正功．又如汽车在水平地面上转弯时，使汽车产生法向加速度的法向力是由地面对汽车的静摩擦力提供的，这个力和汽车的运动方向垂直，故不作功．

图3－2图3－3

二、变力的功

图3－4

在通常情况下，质点运动的轨道不是直线而是曲线，作用于质点的力也不是恒力而是变力，即力的大小和方向随质点的位置而变化，还可能与质点的速度及时间有关．如图3－4，设质点在变力F作用下由a点沿曲线运动到b点，求力F所作的功．为简单起见，假设力F仅与质点的位置有关，是质点的位矢r的函数，在此情形，（3－1）或（3－2）式不适用．解决的办法是将曲线ab划分为许许多多小段，设与各小段对应的位移为Δr1，Δr2，…，Δri，…．当各小段充分小时，每一小段可看成一直线段，因为力F连续地变化，质点在各小段上的各点所受的力近似地等于质点在各该小段的起始点所受的力，分别用F1，F2，…，Fi，…表示．按照（3－2）式，力在位移Δri中所作的功ΔWi近似地等于Fi与Δri的标积，即

称为力在位移Δri中的元功．力F在整个路程ab中的功W近似地等于在所有各小段位移中的元功之和，即

设λ为各小段弧长的最大值，λ越小，每一小段的弧越接近于它所对的弦（即Δri），质点在每一小段上各点所受的力越接近于在该小段的起始点所受的力（即Fi）．因此，λ越小，在每一小段上，标积越接近于力在该小段中的功ΔWi，因而和数就越接近于在整个路程中的功W．当时，和数的极限值便完全等于W了．此极限值在积分学上称为函数F（r）沿曲线ab的线积分，记为，于是得

　　　　　（3－3）

特殊情形

（1）：

图3－5

如果在整个路程ab中作用力F为恒力，则（3－3）式化为

　　　　　（3－4）

其中ra和rb分别为a点和b点对原点O的位矢，s=rb-ra为由a点到b点的位移（图3－5）．（3－4）式与（3－2）式相同．可见质点在恒力作用下作曲线运动时，（3－2）式仍然适用．

特殊情形

（2）：

如果力F和位移dr都在同一直线上，取此直线为x轴，则F和dr可用x轴上单位矢i表示为

F=Fi，dr=dxi

于是（3－3）式化为

　　　　　　　（3－5）

此处F和dx是代数量，即不论力和位移是同向或反向，上式都适用，因而具有一般性．

如果令F表示F的大小，ds表示dr的大小，θ为F与dr之间的夹角，则（3－3）式可写为

　　　　　　　（3－6）

合力的功如果质点同时受到几个力Fl，F2，F3，…作用，则作用于质点的合力为

F=Fl+F2+F3+…

合力的功为

即合力的功等于各个分力的功的代数和．

功的单位和量纲由W=Fs得知，功的单位由F的单位和s的单位决定，在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号为J．1J就是1N的力使质点沿力的方向移动1m所作的功，功的量纲是ML2T-2．

三、功率

功的概念不包含时间因素，但在生产实践中时间因素非常重要．例如有两台机器，一台机器比另一台机器可以在较短的时间完成同样多的功，显然第一台机器作功比第二台快．因此我们引入功率这个概念，它是表示作功快慢的一个物理量，数值上等于单位时间内所作的功．如果在Δt时间内所作的功为ΔW，则在这段时间内的平均功率为

当Δt0时，即得瞬时功率：

如果力F作用在物体上使它获得速度v，则物体消耗的功率为

　　　（3－7）

其中dr为物体在dt时间内的位移．

根据定义，功率的单位是功的单位与时间的单位之比．在国际单位制中，功率单位为焦耳每秒，称为瓦特，简称为瓦，符号为W．

例题3－1恒力F将质量为15kg的物体以匀速v=5m/s拉上山坡，山坡的斜率为0.1，物体与山坡间的摩擦系数为0.2，求

（1）在1min内作用于物体的各力所作的功；

（2）合力的功；（3）力F的功率．

图3－6

解作用于物体的力有拉力F，重力mg，摩擦力Ff及山坡的反作用力FN．将重力分解为分力mgsinθ及mgcosθ如图3－6，其中θ为山坡与水平面的夹角，sinθ≈tanθ=0.1，cosθ≈1．

因为物体作匀速运动，作用于物体的合力为零，故由图得

在1min内物体移动的距离为s=60×5m=300m．

（1）力F的功为

重力的功为

摩擦力的功为

反作用力FN的功为

（2）合力的功为

这个结果不经过计算也是可以预料到的，因为合力为零．

（3）力F的功率为

例题3－2用F=10N的恒力通过轻绳和轻滑轮沿光滑水平面拉动重物，如图3－7．设图中所示高度h=2m，不计绳与滑轮间和轮轴处的摩擦，在将重物由位置A（绳与水平面的夹角θ=30°）拉到位置B（绳与水平面的夹角θ=37°）的过程中，求力F所作的功．

图3－7

解以位置A为原点，向右为x轴正向取如图3－7所示的坐标轴Ax，设由位置A到滑轮正下方位置C间的距离为L，当重物移动到坐标为x处时绳与水平面间的夹角为θ，则由几何关系可得

微分得

重物沿水平面移动的过程中，恒力F沿绳作用在重物上的力F的方向随θ变化，是一变力．恒力F对重物所作的功等于F的水平方向分量Fcosθ所作的功，则由A到B的过程中力F所作的功为

§3－2动能动能定理

能的概念和功的概念有密切联系．什么叫做能？

如果一个物体能够作功，我们说它具有能或能量．能就是作功的能力或作功的本领．在本节中我们首先说明动能这一概念．根据经验，凡是运动着的物体都能够作功，例如水流（即流动的水）能够推动水磨或水车而作功，风（即流动的空气）能够推动风车、帆船而作功．所以凡是运动着的物体都具有能．物体由于运动而具有的能称为动能．

物体的动能与哪些因素有关？

根据动能概念，静止的物体是没有动能的，只有运动的物体才具有动能．又根据经验，物体运动速度越快，它作功的本领就越大．例如打桩机重锤下落的速度越快，它撞击水泥桩使之进入地面就越深，所作的功就越大．可见物体的速度越快，它的动能就越大．即是说物体的动能与它的速度有关．另一方面，当外力对物体作功时，物体的速度要发生变化，也就是它的动能要发生变化．由此可见，外力对物体作功与物体动能的变化有关．现在我们来研究它们之间的关系．

设物体在合外力F作用下沿一曲线由a点运动到b点，在a、b两点的速度分别为v1及v2，根据牛顿第二定律，曲线运动的切向运动方程为

图3－8

其中Ft为合外力F在切线方向的投影（图3－8），即

又

合并以上三式得

物体从a点运动到b点时，由（3－6）式，合外力所作的功为

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3－8）

物体的速度的平方与其质量的乘积之半称为物体的动能，用Ek表示：

（3－8）式右边第一项为物体的末动能，第二项为物体的初动能，两项相减为动能的增量．（3－8）式表示，合外力对物体所作的功等于物体的动能的增量，这一结论称为动能定理．

由（3－8）式看出，当合外力对物体作正功（W>0）时，物体的末动能大于初动能，物体的动能增加．当合外力对物体作负功（W<0）时，即物体克服外力作功时，物体的动能减少．由此可以理解，物体以一定速度运动时，它具有一定的动能，当物体克服外力作功时，就是依靠它的动能的减小来作功的．

能量的单位和量纲与功相同，在国际单位制中能量的单位是焦耳，量纲是ML2T-2．

动能定理是从牛顿第二定律推出来的，它完全包含在牛顿第二定律之中，所以凡可以用动能定理解决的力学问题当然可以用牛顿第二定律来解决．但应用动能定理比直接用牛顿第二定律要方便些：

应用此定理时，不管运动是直线运动或曲线运动，不管外力是恒力或变力，也不管物体运动状态变化如何复杂，只要求得在此过程中合外力所作的功，这功总是等于物体的末动能与初动能之差．

例题3－3长为lm的细线，上端固定，下端悬挂质量为2kg的小球，拉开小球使悬线与竖直方向成45°角的位置然后放手，求悬线与竖直方向成10°角时小球的速度．

图3－9

解当悬线被拉开45°角然后放手时，小球的初速度为零．小球在重力mg及悬线的张力FT作用下在平衡位置A附近一圆弧上来回运动．为了应用动能定理求小球在任一位置C时的速度，首先要计算小球从初位置B运动到位置C的过程中作用于小球的力所作的功．因悬线的张力FT始终与小球的路径（圆弧）垂直，故不作功．而重力是恒力，故可应用（3－4）式计算重力的功，由图3－9得

因小球的初动能为零，在位置C的动能为，由动能定理得

或　　　　　　　　　　　　　

当时，

§3－3势能

不运动的物体没有动能，但它可以有其他形式的机械能——势能．例如打桩机的重锤，当它从高处落下时，能够把水泥桩打入土中而作功，瀑布的水从高处流下可以推动水轮机带动发电机发电，这些例子说明位于高处的重物具有能量，所以它能够作功．这种能量是因为物体受重力作用以及它对地球的相对位置而具有的，称为重力势能．又例如弹簧被拉伸或压缩时能带动物体作功，机械钟表的发条旋紧以后能够推动钟表机件作功，这些例子说明处于弹性形变状态的物体也具有能量，因而能够作功．这种能量是因为弹性体的各部分间有弹性力作用以及各部分间的相对位置而具有的，称为弹性势能．一般地说，由若干个物体组成的系统，由于系统中各物体间的相互作用以及相对位置而具有的能量统称为势能．所以势能有各种形式，除重力势能及弹性势能外，还有引力势能、静电势能、分子间的势能等．

从本质上来说，我们之所以能够引入各种势能概念，是因为有关的相互作用力具有某种特性，所以在引入每一种势能之前我们先介绍有关特性．

一、重力的功及重力的特性

在以上两节中我们