上学期10级数学建模期末考试试题2.docx
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上学期10级数学建模期末考试试题2
考查课程《考核方案》
教学部门
数学与应用数学系
课程名称
数学建模
教学班级
应数1001，1002
信计1001
考查时间
第18周
考场安排
需要□不需要
随堂考□
考核方式
试卷□过程评价□作业或调查□作品
项目任务□
考查内容
一、简答题：
（40分）
1）通过数学建模选修课程的学习，请谈谈对数学建模的认识，学习数学建模课程的收获。
（不少于500字）（30分）
2）简要说明数学建模的一般过程或步骤。
（10分）
二、实战建模（60分）（在如下问题中任选一题做建模解答）,
第1题
传染病模型
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：
传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：
S类，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：
请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？
如何预报传染病高潮的到来?
为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？
第2题线性规划模型—销售计划问题
某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
月
7
8
9
10
11
12
买进（元/件）
28
26
25
27
24
23.5
售出（元/件）
29
27
26
28
25
25
要求：
若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？
建立数学模型，并用软件求解。
第3题一阶常微分方程模型—人口模型与预测
下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（
），
万人，
万人。
年
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
人口
（万）
101654
103008
104357
105851
107507
109300
111026
112704
114333
年
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
人口
（万）
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
要求：
（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
第4题
送货模型：
某地区有8个公司（如图一编号①至⑧），某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口（编号⑨）分别运往各个公司。
路线是唯一的双向道路（如图１）。
货运公司现有一种载重6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次（车辆每出动一次为一车次）。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时（不考虑塞车现象），每日工作不超过8小时。
运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。
一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。
卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量（见表１）。
要求：
1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发（不定方向）后运输途中不允许掉头，应如何调度（每辆车的运载方案，运输成本）使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？
应如何调度？
3、
（1）如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？
（2）当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法（可结合实际情况深入分析）。
图１ 唯一的运输路线图和里程数
公司
材料
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
1
2
3
1
0
2
5
B
1
5
0
1
2
4
2
3
C
5
2
4
2
4
3
5
1
表１ 各公司所需要的货物量
第5题
生产与存贮模型：
一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。
因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。
假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。
但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。
今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示:
月份（k）：
1 2 3 4 5 6
月需求量（bk）：
8 5 3 2 7 4
单位工时（ak）：
11 1813172010
设库存容量H=9,开始时库存量为2,期终库存量为0。
要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。
第6题高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题
现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。
已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
要求：
（1）建立狼的运动轨迹微分模型。
（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？
第7题时间序列模型
某一商场1—12月份的销售额（单位：
万元）时间序列数据如下表所示。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
实际销售额
49
53
55
59
50
51
52
52
51
52
53
59
要求：
（1）建立恰当的数学模型，并预测下年一月份（第13月）的销售额。
（2）对所建立的几种预测方法作误差的分析与比较。
第8题多元回归模型
设某公司生产的商品在市场一的销售价格为
（元/件）、用于商品的广告费用为
（万元）、销售量为
（万件）的连续12个月的统计数据如下表所示。
月份
销售价格
广告费用
销售量
1
100
5.50
55
2
90
6.30
70
3
80
7.20
90
4
70
7.00
100
5
70
6.30
90
6
70
7.35
105
7
70
5.60
80
8
65
7.15
110
9
60
7.50
125
10
60
6.90
115
11
55
7.15
130
12
50
6.50
130
要求：
（1）选择恰当的模型，建立销售量
关于销售价格
和广告费用
的关系模型。
并利用MATLAB画出曲线图形。
（2）设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件，广告费用为7万元，预计该商品的销售量将是多少？
并对其作统计上的误差分析。
第9题轿车更新问题
某人打算购买一辆新轿车，轿车的售价是12万元人民币。
轿车购买后，每年的各种保险费、养护费等费用如表1所示。
如果在5年之内将轿车售出，并再购买新车，5年之内的二手车销售价由表2所示。
请设计一种购买轿车的方案，使5年内用车的总费用最少。
表1轿车的维护费
车龄/年01234
费用/万元245912
表2二手车的售价
车龄/年12345
费用/万元76210
【注】此问题的求解利用最短路方法或动态规划方法。
第10题投入产出综合平衡分析
设某地区国民经济系统仅由工业、农业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表所示（数字表示产值，单位为亿元）。
表各个部门间的关系
产出
投入
工业
农业
服务业
外部需求
总产出
工业
20
20
25
35
100
农业
30
20
45
115
210
服务业
15
60
/
70
145
外部需求
35
110
75
总产出
100
210
145
要求：
（1）建立投入产出系数表。
（2）设有
个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的数学模型。
（3）如果今年对工业、农业和服务业的外部需求分别为150，250，170亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少？
（4）如果三个部门的外部需求分别增加5个单位，他们的总产出应分别增加多少？
（5）如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出，模型就称为可行的。
问为使模型可行，投入系数应满足什么条件？
第11题
产销问题：
某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。
表1.产品需求预测估计值（件）
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
预计需求量
1000
1100
1150
1300
1400
1300
1月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。
1月初的库存量为200台。
产品的销售价格为240元/件。
该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。
6月末的库存为0（不允许缺货）。
各种成本费用如表2所示。
表2.产品各项成本费用
原材料成本
库存成本
缺货损失
外包成本
培训费用
100元/件
10元/件/月
20元/件/月
200元/件
50元/人
解聘费用
产品加工时间
工人正常工资
工人加班工资
100元/人
1.6小时/件
12元/小时/人
18元/小时/人
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；
（2）公司销售部门预测：
在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。
试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案
（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。
第12题抑制房地产泡沫问题
近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。
房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。
因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。
现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1、建立一个城市房价的数学模型。
并通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析，找出影响房价的主要因素；
2.考虑西安市房地产市场，请给出房地产价格的合理区间为购房者理性地选择房屋提供参考。
3、给出抑制房地产价格的政策建议；
4、对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
第13题课程安排优化问题
某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见表1），具体要求如下：
1、每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上；
2、可用排课教室数为3个（D1、D2、D3）；
3、同一课程两次课之间至少相隔一天；
4、每位教师每天上课不超过四节；
5、周四下午全校政治学习，不安排上课。
表1：
课程
周学时
班级
教师
班级
教师
班级
教师
班级
教师
B1
4
A1
C1
A2
C1
A3
C1
A4
C1
B2
4
A1
C2
A2
C2
A3
C2
A4
C2
B3
6
A1
C3
A2
C3
A3
C4
A4
C4
B4
2
A1
C5
A2
C6
A3
C5
A4
C6
B5
4
A1
C5
A2
C6
A3
C5
A4
C6
（1）请给出你认为比较合理的班级课程安排表；
（2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解；
（3）如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解。
第14题．讨价还价中的数学：
在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。
对购物的消费者来说，从希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望λ>1。
这样，就存在两个问题：
第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？
第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？
第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:
a≈0.618。
虽然商品价值b位于商品价格a的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。
对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？
一种常见的方法是"对半还价法"：
消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。
直至达到双方都能接受的价格为止。
有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。
是这样的吗？
试进行定量分析，并给出结果。
第15题．道路交通路口车辆、行人停止线位置问题
在道路交叉的每个路口常设有机动车、非机动车和行人停止线来避免车辆和行人穿越路口时出现拥堵和事故发生。
车辆和行人在停止线处是等待还是通行由路口的信号灯控制。
道路通行规定：
绿灯亮时，准许通行，但转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆、行人通行；黄灯亮时，已越过停止线的车辆和行人可以继续通行；红灯亮时，禁止车辆和行人通行。
如果在兼顾车辆和行人都能比较满意地通过路口的条件下，想使路口通行量尽可能大，那么这些停止线应该怎样画和画在路口的何处为好？
请你们用数学建模的方法解决此问题并给出根据你们的数学模型得出的具体道路交通路口车辆、行人停止线位置。
同时用你们的模型说明目前道路交叉的每个路口的机动车、非机动车和行人停止线位置是否合理。
第16题数据信息的可视化处理
随着信息科学与各种测量技术的发展，来源实际问题的大量数据信息需要进行加工处理。
无论是原始的测量数据还是经科学计算处理后的结果数据都需要结合计算机技术进行可视化处理，以直观的方式展示分析处理的结果。
对于一维、二维数据信息通常根据各点的取值情况对相应点着以不同的颜色来直观表示，如图1所示的即是为一维、二维数据信息的可视化情况。
由此容易找出各点取值的分布情况和分布规律，有利于对问题进行深入的分析研究。
当然对于一维、二维数据信息，可以用平面、空间散点图表示，也可以用插值函数的曲线、曲面表示各点取值的分布情况和分布规律。
图1.一维、二维数据信息的可视化图
附件中提供的是来自实际研究问题实测数据，它们是某空间区域８个水平截面上的对应点某物理量的实际测量值（用记事本方式打开文件），每个数据文件名就是该截面的竖坐标值（竖坐标的方向为从上到下），空间坐标单位和该物量的单位可以自己设定。
为了能直观分析该物理量在这一空间区域的分布情况，请你们队帮助进行数据处理和数据分析。
希望能提供该物理量在各截面和整个空间区域的分布情况，根据该物理量的取值情况对各截面和整个空间区域进行分类。
第17题网络游戏对青少年的影响
近年来，网络游戏风靡世界，尤其2003年以前，我国各大城市的网络游戏层出不穷，且大多属于充满暴力的RPG，如龙族，奇迹，致使很多的青少年迷恋于此，浪费大量金钱，甚至荒废学业。
然而，作为我国网络经济的一部分，我国在出台了严格的网络游戏管理法则的同时，并没有完全的禁止。
在2003年后，随着技术的日益完善和游戏画面的日益精致，许许多多的旧的类型网络游戏相继衰落，失去了生命力和吸引力，而一些新型的网络游戏则取代了他们的位置，如街头篮球，QQ游戏，另外游戏巨头EA预计发行一款在线足球游戏，这些游戏都得到了很好的欢迎。
当然，在旧的类型的游戏衰落的同时，暴雪公司的“魔兽世界”游戏继续保持了良好的势头，成为当今社会最受欢迎的网游，这无疑是一个备受关注的问题。
现在请完成以下任务：
（1）选定某一种网络游戏，建立数学模型预测其游戏人数的变化规律。
（2）考虑网络游戏对不同年龄段的人群的吸引力的不同等方面，修正你的模型。
（3）解释2003年后主流网络游戏类型变化的原因（尤其对暴雪的“魔兽世界”的情况的孤立点分析原因），并为预防青少年网络游戏沉迷提出一些建议，并对你的建议可能产生的效果进行预测说明。
第18题加工业生产的稳态模拟问题：
某工厂共有50机床加工原料，另配有4台备用机床，当正在加工的机床发生故障时，立即将备用机床投入生产过程，而发生故障的机床则移至由三名修理工组成的机修组进行修理，假定一台机床只由一名工人操作使用，维修时也只由一名修理工修理。
经过实际调查，机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布，一名修理工修理一台机床的时间服从[4,10]小时之间的均匀分布。
进入修理状态的机床修理完成后成为备用机床待用状态。
此系统的工作流程如图所示。
为符合加工的实际情况，我们还制定两条规则：
1.某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给休息时间最久的修理工。
2.某机床修理完成，若直接交给工人加工时，总是送给休息时间最久的工人。
管理部门要求了解机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。
对于这个稳态模拟问题，我们可考虑该系统运行三年（共156周）的情况，并假设每周工作5天，每天工作8小时。
请建立数学模型以分析整个生产系统的特性（最少有多少台机器同时在运行；最多有多少台机器在等候修理；平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等。
）；进一步研究生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，给出最优的人事安排方案。
第19题比赛项目的排序
在各种运动比赛中，为了使比赛公平、公正、合理的举行，一个基本要求是：
在比赛项目排序过程中，尽可能使每个运动员不连续参加两项比赛，以便运动员恢复体力，发挥正常水平。
1．表1是某个小型运动会的比赛报名表。
有14个比赛项目，40名运动员参加比赛。
表中第1行表示14个比赛项目，第1列表示40名运动员，表中“＃”号位置表示运动员参加此项比赛。
建立此问题的数学模型，并且合理安排比赛项目顺序，使连续参加两项比赛的运动员人次尽可能的少；
2．说明上述算法的合理性；
3．对“问题2”的比赛排序结果，给出解决“运动员连续参加比赛”问题的建议及方案。
表1某小型运动会的比赛报名表
项目
运动员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
#
#
#
#
2
#
#
#
3
#
#
#
4
#
#
#
5
#
#
#
6
#
#
7
#
#
8
#
#
9
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#
10
#
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#
#
11
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#
#
12
#
#
13
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14
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#
15
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#
16
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17
#
#
18
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#
19
#
#
20
#
#
21
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22
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23
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24
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25
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26
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27
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28
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29
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30
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31
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32
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33
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34
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35
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36
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37
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38
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