设椭圆的两个焦点分别为F1之欧阳育创编.docx

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设椭圆的两个焦点分别为F1之欧阳育创编

1、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是   （   ）   2．设双曲线以椭圆=1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为   （   ） A．±2   B．±      C．±    D．±  3．从集合{1，2，3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程=1中的m和n，则能组成落在矩形区域B={（x，y）‖x|<11，且|y|<9}内的椭圆个数为   （   ） A．43   B．72   C．86   D．904．设直线l与椭圆=1相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB，求直线l的方程   （   ） 5．设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．

（1）确定A的取值范围，并求直线AB的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的A，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?

并说明理由．（此题不要求在答题卡上画图）1．已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且，则点M到x轴的距离为   （   ）     2．已知双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为 （   ） A．30°   B．45°   C．60°   D．90°1．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线   （   ） A.有且仅只有一条   B．有且仅有两条 C.有无穷多条   D．不存在  2．设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线． 

（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?

证明你的结论； （Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围． [考场错解] （Ⅱ），设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y=与y=2x2联立得2x2+x-m=0．得x1+x2=-；设AB的中点N的坐标为（x0，y0）则x0=（x1+x2）=-,y0=-x0+m=+m．由N∈l,得+m=-+b，于是b=即得l在y轴上截距的取值范围为[]. [专家把脉] 没有借助“△>0”来求出m>，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0． [对症下药] 

（1）F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1、y2不同时为0，∴上述条件等价于yl=y2x12=x22（x1+x2）（x1-x2）=0； ∵x1≠x2，∴上述条件等价于 x1+x2=0． 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。

 （Ⅱ）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=-x+m，所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-； A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式+8m>0，即m>设AB的中点N的坐标为（x0，y0），则x0=（x1+x2）=-，y0=-x0+m=+m 由N∈l，得+m=-+b，于是b=+m>  即得l在y轴上截距的取值范围为（，+∞）．3．如图，过抛物线y2=2px（p>0）上一定点p（x0，y0）（y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数． [考场错解] 

（1）当y=时，x=又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为 （Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0相减得（yl-y0）（y1+y0）=2P（x1-x0）故kPA= （x1≠x0）．同理可得kpB=（x2≠x0）由kPA=-kPB得y0=-2（yl+y2）故 设直线AB的斜率为kAB。

由y22=2px2,y21=2px1相减得（y2-y1）（y2+y1）=2P（x2-x1）故kAB=将y1+y2=-y0（y0>0）代入得kAB=-故kAB是非零常数． [专家把脉] ①没有掌握抛物线的准线方程，②计算不够准确． [对症下药] 

（1）当y=时，x=，又抛物线y2=2px的准线方程为x=，由抛物线定义得，所求距离为-（-）= （Ⅱ）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y12=2px1，y20=2px0相减得（y1-y0）（yl+y0）=2P（x1-x0），故kPA=（x1≠x0）．同理可得kPB=（x2≠x0）．由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，故=-2. 设直线AB的斜率为kAB由y22=2px2，y21=2pxl相减得（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1），所以 将yl+y2=-2y0（y0>0）代入得 所以kAB是非零常数． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）． 

（1）求△AOB的重心C（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值?

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． [考场错解]（Ⅰ）设△AOB的重心为G（x,y）A（x1,y1）B（x2,y2）则 ∵OAx1x2+yly2=0

（2）又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入

（2）化简得xlx2=0或-1∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]=3x2+或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.[专家把脉]没有考虑到x1x2=0时，△AOB不存在[对症下药]（Ⅰ）设△AOB的重心为G（x,y）A（x1,y1）B（x2,y2）则  又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入

（2）化简得xlx2=-1∴y=[（x1+x2）2-2x1x2]==3x2+所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+  （Ⅱ）S△AOB= 由

（1）得S△AOB= 当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。

所以△AOB的面积存在最小值，最小值为1。

专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。

凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

∴（x1，yl-1）=（x2，y2-1）由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以消去x2得  [专家把脉] 

（1）没有考虑到1-a2≠0（Ⅱ）没有注意到题目本身的条件a>0． [对症下药] 

（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解，消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x+2a2x-2a2=0所以解得0且e≠，即离心率e的取值范围为（）∪（）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）．∵∴（x1,y1-1）=（x2,y2-1）由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，所以x2=-，消x2，得-，由a>0，所以a= 2．给定抛物线C：

y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点

（1）设l的斜率为1，求与夹角的大小；（Ⅱ）设，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围． [考场错解] 

（1）设与夹角为α；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A（x1，y1）B（x2，y2）则有x1+x2=6，x1x2=1．易得•=x1x2+y1y2=-3，cosα=∴α=-arccos（Ⅱ）由题意知，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A'、B'． ∴|FB|=|BB'|，|AF|=|AA'|∴|BB’|=λ|AA'|，λ∈[4，9]设l的方程为y=k（x-1）由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0 ∴x=∴|AA'|=+l= |BB'|=     [专家把脉] （Ⅰ）没有理解反余弦的意义．（Ⅱ）思路不清晰．[对症下药] 

（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1．将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有xl+x2=6，x1x2=1．  =（x1，y1）•（x2,y2）=x1x2+yly2=2x1x2-（x1+x2）+1=-3．   所以与夹角的大小为π-arccos（Ⅱ）由题设得（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），即由②得y22=λ2y21．∵y21=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③联立①、③解得x2=λ，依题意有λ>0，∴B（λ，2 ）或B（λ，-2 ），又9（1，0），得直线  

（2）当|PF1|=|F1F2|时，同理可得解得e2=3于是λ=1-3=-2． （3）当|PF2|=|F1F2|时，同理可得=4c2解得e2=1 于是λ=1-1=0综上所述，当λ=或-2或0时△PF1F2，F2为等腰三角形． [专家把脉] 

（1）没有注意到因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|

（2）没有注意到椭圆离心率的范围． [对症下药] 

（1）证法一：

因为A、B分别是直线l：

y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-）（0,a）. 由 所以点M的坐标是（-c,），由得（-c+）=λ（，a）． 即  证法二：

因为A、B分别是直线l:

y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-，0），（0，a），设M的坐标是（x0，y0），由得（）， 所以因为点M在椭圆上，所以=1， 即e4-2（1-λ）e2+（1-λ）2=0，解得e2=1-λ 即λ=1-e2． （Ⅱ）解法一：

因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即|PF1|=c. 设点F1到l的距离为d，由|PF1|=d， =,得 =e．所以e2=，于是λ=1-e2=.即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形．解法二：

因为PF1⊥l，所以，∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是（x0，y0），则解得由|PF1|=|FlF2|得=4c2，两边同时除以4a2，化简得=e2．从而e2=于是λ=l-e2=．即当λ=时，△PF1F2为等腰三角形． 4．抛物线C的方程为y=ax2（a<0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1）． （Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）设直线AB上一点M满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上（Ⅲ）当A=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围． [考场错解] 

（1）抛物线C的方程y=ax2（a<0）得，焦点坐标为（，0）准线方程为x=- （Ⅲ）∵P（-1，1）在y=ax2上，故a=-1∴y=-x2由（Ⅱ）易得y1=-（k1+1）2，y2=（k2+1）2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（-k1-1,-k21-2k1-1），B（k1-1，-k21+2k1-1）于是=（k1+2,k21+2k1），=（2k1，4k1），2k1（k1+2）（2k1+1）因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有•<0易得k1的取值范围是k1<-2或

（1）由抛物线C的方程y=ax2（a<0）得，焦点坐标为（0，），准线方程为y=-． （Ⅱ）证明：

设直线PA的方程为y-y0=k1（x-x0），直线PB的方程为y-y0=k2（x-x0）．点P（x0，y0）和•点A（x1，y1）的坐标是方程组  的解．将②式代入①式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是x1+x0=，故x1=-x0③又点P（x0，y0）和点B（x2，y2）的坐标是方程组 的解．将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0-y0=0．于是x2+x0=，故x2=-x0,由已知得，k2=-λkl，则x2=⑥设点M的坐标为（xM,yM），由=λ，则xM=.将③式和⑥式代入上式得x0，即xM+x0=0．所以线段PM的中点在y轴上． （Ⅲ）因为点P（1，-1）在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2．由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-（k1+1）2．将λ=1代入⑥式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=-（k2+1）2．因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（-k1，-1，-k21-2k1-1），B（k1-1，-k12+2k1-1）．于是=（k1+2，k12+2k1），=（2K1，4K1），=2k1（k1+2）+4kl（k12+2k1）=2k1（k1+2）（2k1+1）．因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有<0．求得k1的取值范围是k1<-2或-

命题角度5对轨迹问题的考查 1．（典型例题）已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是   （   ） A.2     B．     C．18+12      D．21[考场错解] C [专家把脉] 对双曲线的定义理解不够深刻． [对症下药] B 设双曲线方程为=1，由题意得则a=b=，则双曲线方程为=1,由得A（3，2），故交点到原点的距离为 2．（典型例题）已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足=x2，则点P的轨迹是      （Ⅱ）直线l1:

kx-y=0 直线l2:

kx+y=0由题意得  •=d2即=d2 ∴k2x2-y2±（k2+1）d2=0故动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2±（k2+1）d2=0  （Ⅲ）略   [专家把脉] 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成．[对症下药] 解：

（I）W1={（x，y）|kx0}，（Ⅱ）直线l1:

kx-y=0直线l2:

kx+y=0，由题意得•=d2，即=d2，由P（x，y）∈W，知k2x2-y2>0，所以=d2，即k2x2-y2-（k2+1）d2=0，所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-（k2+1）d2=0； （Ⅲ）当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n（n≠0）．由,得（k2-m2）x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0在△QF1F2中故有x2+b2=a2（x=±a） （Ⅲ）C上存在M（x0，y0）使s=b2的充要条件是：

 又=（-C-x0-y0），=（c-x0,y0）由•=x02-c2+y20=a2-c2=b2即cos∠F1MF2=b2又s=sin∠FlMF2得tan∠FlMF2=2   [专家把脉] 

（1）没有注意证明题的书写格式

（2）思考问题不够全面．[对症下药] 

（1）证法一：

设点P的坐标为（x，y）．由P（x，y）在椭圆上，得 2由|x|≤a，知a+≥-c+a>0，所以=a+x．新课标第一网证法二：

设点P的坐标为（x，y）．记 则r1=，r2=.由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得=r1=a+．证法三：

设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程a+=0．由椭圆第二定义得即 由x≥-a，知a+≥-c+a>0，所以=a+ （Ⅱ）解法一：

设点T的坐标为（x，y）．当=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．当且时，由=0，得又，所以T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，=a，所以有x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2解法二：

设点T的坐标为（x，y）．当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．当且时，由又||=||，所以T为线段F2Q的中点．设点Q的坐标为（x'，y'），则因此①由=2a得（x'+c）2+y'2=4a2．②将①代入②，可得x2+y2=a2．综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2 （Ⅲ）解法一：

C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是 由③得，|y0|≤a，由④得，|y0|≤，所以，当a≥时，存在点M，使S=b2；当a<时，不存在满足条件的点M．当a≥时，=（-c-c0,-y0），=（c-c0,-y0），由•=x02-c2+y20=a2-c2=b2， 解法二：

C上存在点M（x0，y0）使S=b2的充要条件是 由④得|y0|，上式代入③得x20=a2-=（a-）（a+）≥0．于是，当a≥时，存在点M，使s=b2;当a<时，不存在满足条件的点M．当a≥时，记k1=kF1M=    由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°，所以tan∠F1MF2==2．专家会诊

（1）求轨迹方程的本质是用代数形式将动点的运动规律表示出来，实质上是一个翻译过程，故选取一定解题策略找到动点运动规律的一些表现形式是关键，往往和研究曲线几何性质，讨论直线与曲线位置关系等联系在一起．

（2）求轨迹要注意取值范围和“杂点”的去除． 故舍去综上所述：

当x=时d取得最小值 [专家把脉] 没有考虑到椭圆的分面有界性，致使思路不清晰，计算繁琐． [对症下药] [解]

（1）由已知可得点A（-6，0），F（0，4） 设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x-4，y），由已知可得  则2x2+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y=  点P的坐标是（）

（2）直线AP的方程是x-+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．椭圆上的点（x，y）到点M的距离d有，d2=（x-2）2+y2=x2-4x+4+20-x2=（x-）2+15，由于-6≤m≤6，∴当x=时，d取得最小值 2．如图，直线y=x严与抛物线y=x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于点Q． 

（1）求点Q的坐标 

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值． [考场错解] 

（1）略（Ⅱ）由

（1）得Q（5，-5） 直线OQ的方程为x+y=0设P（x, -4）∵点P到直线OQ的距离d= ∵-4≤x≤8．∴S△OPQ最大值=|（-4+4）2-48|=15 [专家把脉] 要注意二次函数最大值的求法． [对症下药] 

（1）解方程组，得即A（-4，-2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2（x-2）．令y=-5，得x=5，∴Q（5，-5）．

（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，-4），∵点P到直线OQ的距离d= ∵P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上．∴-4≤x<4-4或4-4

 （Ⅰ）动点户的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值与最大值． [考场错解] 

（1）①若l的斜率存在，设为k，则l：

y=kx+1代入4x2+y2=4中得，（k2+4）x2+2kx-3=0 ∴x1+x2=   i）A=0时，x=0 y=1，∴P（0，1） ii）k≠0时，k=∴P点的轨迹为：

x2+y2-y=0（y≠O）②若l不存在斜率，∴A、B为上、下顶点．∴P（0，0） 

（2）解：

∵N（），i），∵k不存在时P（0，0），ii）k=0时P（0，1）．  iii）k≠0时x2+（y-）2=。

又∵N（）max=2r=1 ∴min=0．   [专家把脉] 思路不清晰．[对症下药] 

（1）解法一：

直线l过点M（0，1），设其斜率为A，则J的方程为y=kx+1．记A（x1，y1）、B（x2，y2），由题设可得A、B的坐标（x1，y1）、（x2,y2）是方程组的解．将①代入②并化简得．（4+k2）x2+2kx-3=0．所以  于是 设点P的坐标为（x，y），则消去参数k得4x2+y2-y=0． ③当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0解法二：

设点P的坐标为（x，y），因A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆上，所以 ④⑤④-⑤得所以（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0当x1≠x2时，有⑥并且⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0．⑧当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，-2），这时点p的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为  （Ⅱ）解法：

由点P的轨迹方程知x2≤。

即-≤x≤所以 故当x=时，取得最小值，最小值为，当x=时，取得最大值，最大值为    由消去x得y2-2（k2+b）y+b2=0③则   的取值范围是[2，+∞]．  [专家把脉] 

（1）没有注意“杂点”的去除；（Ⅱ）没有注意利用重要不等式时等号成立的条件．  [对症下药] 解法：

（1）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依题意x1≠0，yl>0，y2>0．由y=x2，①得y'=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1,∵x1=0不