设椭圆的两个焦点分别为F1之欧阳育创编.docx

1、设椭圆的两个焦点分别为F1之欧阳育创编1、设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若FlPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )2设双曲线以椭圆 =1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A2 B C D3从集合1，2，3，11中任选两个元素作为椭圆方程 =1中的m和n，则能组成落在矩形区域B=(x，y)x|11，且|y|0，b0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF的面积为 (O为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( ) A30 B45 C60 D901过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两

2、点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( ) A.有且仅只有一条 B有且仅有两条 C.有无穷多条 D不存在2设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线 (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论； ()当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围 考场错解 ()，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y= 与y=2x2联立得2x2+ x-m=0得x1+ x2=- ；设AB的中点N的坐标为(x0，y0)则x0= (x1+x2)=- ,y0=- x0+m= +m由Nl,得 +m

3、=- +b，于是b= 即得l在y轴上截距的取值范围为 . 专家把脉 没有借助“0”来求出m ，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0 对症下药 (1)Fl |FA|=|FB| A、B两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意 y1、y2不同时为0， 上述条件等价于yl=y2 x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0； x1x2，上述条件等价于 x1+x2=0 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。 ()设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=- x+m，所以x1、x2满足方程

4、2x2+ x-m=0，得x1+x2=- ； A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 +8m0，即m 设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0= (x1+x2)=- ，y0=- x0+m= +m 由Nl，得 +m=- +b，于是b= +m 即得l在y轴上截距的取值范围为( ，+)3如图，过抛物线y2=2px(p0)上一定点p(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2)(1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离； ()当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数考场错解 (1)当y= 时，x= 又抛物线

5、的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为()设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1x0)同理可得kpB= (x2x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故设直线AB的斜率为kAB。由y22=2px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)=2P(x2-x1)故kAB= 将y1+y2=- y0(y00)代入得kAB=- 故kAB是非零常数 专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确 对症下药 (1)当y= 时，x= ，又抛物线y2= 2

6、px的准线方程为x= ，由抛物线定义得，所求距离为 -(- )=()设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故kPA= (x1x0)同理可得kPB= (x2x0)由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即 =- ，所以yl+y2=-2y0，故 =-2. 设直线AB的斜率为kAB由y22=2px2，y21=2pxl相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以将yl+y2=-2y0(y00)代入得所以kAB是非零常数4在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同

7、动点A、B满足AOBO(如图所示)(1)求AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；()AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由考场错解（）设AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则OA x1x2+yly2=0(2)又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=0或-1y= （x1+x2）2-2x1x2=3x2+ 或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+ .专家把脉没有考虑到x1x2=0时，AOB不存在对症下药 （）设AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则又点A、B在

8、抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1y= （x1+x2）2-2x1x2= =3x2+ 所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+()SAOB=由(1)得SAOB=当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，最小值为1。专家会诊用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思想。凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。(x1，yl-1)= (x2，y2-1)由此得x1= x2，由于x1， x2都是方程的根，且1

9、-a20，所以 消去x2得 专家把脉 (1)没有考虑到1-a20()没有注意到题目本身的条件a0 对症下药 (1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以 解得0a 且e ，即离心率e的取值范围为( )( )()设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)(x1,y1-1)= (x2,y2-1)由此得x1= x2，由于x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以 x2=- ，消x2，得- ，由a0，所以a=2给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点 (1)设l的斜率为1，

10、求 与 夹角的大小； ()设 ，若4，9，求l在y轴上截距的变化范围 考场错解 (1)设 与 夹角为；由题意l的方程为了y=x-1，将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0设A(x1，y1)B(x2，y2)则有x1+x2=6，x1x2=1易得 =x1x2+y1y2=-3， cos= =-arccos()由题意知 ，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A、B|FB|=|BB|，|AF|=|AA| |BB|=|AA|，4， 9设l的方程为y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0x= |AA|= +l =|BB|= 专家把脉 ()没有理解反余弦的意义()思路不清晰对症下药

11、(1)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为了y=x-1将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有xl+x2=6，x1x2=1=(x1，y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3 所以 与 夹角的大小为-arc cos ()由题设 得 (x2-1，y2)=(1-x1，-y1)，即 由得y22=2y21y21=4x1，y22=4x2，x2=2x1 联立、解得x2=，依题意有0，B(，2 )或B (，-2 )，又9(1，0)，得直线(2)当|PF1|=|F1F2|时，同理可得 解得e2

12、=3于是=1-3=-2(3)当|PF2|=|F1F2|时，同理可得 =4c2 解得e2=1 于是=1-1=0综上所述，当= 或-2或0时PF1F2，F2为等腰三角形 专家把脉 (1)没有注意到因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2| (2)没有注意到椭圆离心率的范围 对症下药 (1)证法一：因为A、B分别是直线l：y= ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(- )(0,a). 由所以点M的坐标是(-c, )，由 得(-c+ )=( ，a) 即 证法二：因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A

13、、B的坐标分别是(- ，0)，(0，a)，设M的坐标是(x0，y0)，由 得( )， 所以 因为点M在椭圆上，所以 =1， 即 e4-2(1-)e2+(1-)2=0，解得e2=1- 即=1-e2 ()解法一：因为PF1l，所以 PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,即 |PF1|=c. 设点F1到l的距离为d，由 |PF1|=d， = ,得=e所以e2= ，于是=1-e2= .即当= 时，PF1F2为等腰三角形解法二：因为PF1l，所以，PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标

14、是(x0，y0)，则 解得 由|PF1|=|FlF2|得 =4c2，两边同时除以4a2，化简得 =e2从而e2= 于是=l-e2= 即当= 时，PF1F2为等腰三角形4抛物线C的方程为y=ax2(a0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x00)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+k1=0(0且-1) ()求抛物线C的焦点坐标和准线方程； ()设直线AB上一点M满足 = ，证明线段PM的中点在y轴上 ()当A=1时，若点P的坐标为(1，-1)，求PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围 考场错解 (1)抛物线C

15、的方程y=ax2(a0)得，焦点坐标为( ，0)准线方程为x=-()P(-1，1)在y=ax2上，故a=-1y=-x2由()易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2+1)2，因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A(-k1 -1,-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k21+2k1-1)于是 = (k1+2,k21+2k1)， =(2k1，4k1)， 2k1(k1+2)(2k1+1)因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有 0易得k1的取值范围是 k1-2或 kl0，又yl=-(k1+1)2故当k1-2时，y-1;当- k10时-1yl- 即y1 专家把脉 没有掌握好抛

16、物线的标准形式及交并集的概念 对症下药 (1)由抛物线C的方程y=ax2(a0)得，焦点坐标为(0， )，准线方程为y=- ()证明：设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0)，直线 PB的方程为y-y0=k2(x-x0)点P(x0，y0)和点A(x1，y1)的坐标是方程组 的解将式代入式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0= ，故x1= -x0又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组的解将式代入式得ax2-k2x+k2x0-y0=0于是x2+x0= ，故x2= -x0, 由已知得，k2=-kl，则x2= 设点M的坐标为(xM,yM)，由 = ，则xM= .将

17、式和式代入上式得 x0，即xM+x0=0所以线段PM的中点在y轴上()因为点P(1，-1)在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2由式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1=-(k1+1)2将=1代入式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 A(-k1，-1，-k21-2k1-1)，B(k1-1，-k12+2k1-1)于是 =(k1+2，k12+2k1)， =(2K1，4K1)， = 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，

18、故必有 0求得k1的取值范围是k1-2或- k10又点A的纵坐标y1满足y1=-(k1+1)2，故当k1-2时， y1-1；当- k10时，-1y1- .即y1(-，-1)U(-1，- )专家会诊 1判定直线与圆锥曲线交点个数的基本方法是联立方程组，判断方程组解的组数，对于直线与双曲线的交点个数问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆2涉及弦长的问题中，应熟练地利用韦达定理，设而不求计算弦长，不要蛮算，以免出现差错3涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化。命题角

19、度5对轨迹问题的考查1(典型例题)已知双曲线的中心在原点，离心率为若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2=4x的交点到原点的距离是 ( ) A.2 B C18+12 D21考场错解 C 专家把脉 对双曲线的定义理解不够深刻 对症下药 B 设双曲线方程为 =1，由题意得 则a= b= ，则双曲线方程为 =1,由 得A（3，2 ），故交点到原点的距离为2(典型例题)已知点A（-2，0）、B(3，0)，动点P(x，y)满足 =x2，则点P的轨迹是 ()直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0由题意得 =d2即 =d2 k2x2-y2(k2+1)d2=0故动点P的轨迹

20、C的方程为k2x2-y2(k2+1)d2=0 ()略 专家把脉 没有很好地理解题意，第二问出现两解，致使第三问过于复杂难以完成对症下药 解：(I)W1=(x，y)|kxy-kx，z 0|，W2=(x,y)|kxy0，()直线l1:kx-y=0 直线l2:kx+y=0，由题意得 =d2，即 =d2，由P(x，y)W，知k2x2-y20，所以 =d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；()当直线J与，轴垂直时，可设直线J的方程为，x=a (a0)由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中

21、点坐标都为(a，0)，所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为( a，0)，即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线J的方程为y=mx+n(n 0)由 , 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0在QF1F2中 故有x2+b2= a2(x=a)()C上存在M(x0，y0)使s=b2的充要条件是：又 =(-C-x0-y0)， =(c-x0,y0)由 =x02-c2+y20=a2-c2=b2即 cosF1MF2=b2又s= sinFlMF2得tan FlMF2=2 专家把脉 (1)没有注意证明题的书写格式(2)思考问题不够全面对症下药 (1)证法一：设点P的坐标为(x，y

22、)由P(x，y)在椭圆上，得2由|x|a，知a+ -c+a0，所以 =a+ x新课 标第 一网证法二：设点P的坐标为(x，y)记则r1= ，r2= .由r1+r2=2a，r21-r22=4cx，得 =r1=a+ 证法三：设点P的坐标为(x，y)椭圆的左准线方程a+ =0由椭圆第二定义得 即由x-a，知a+ -c+a0，所以 =a+()解法一：设点T的坐标为(x，y)当 =0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上当 且 时，由 =0，得 又 ，所以T为线段F2Q的中点在QF1F2中， =a，所以有x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2解法二：设点T的坐标为(x，y)当|

23、 |=0时，点(a，0)和点(-a，0)在轨迹上当 且 时，由 又| |=| |，所以T为线段F2Q的中点设点Q的坐标为(x，y)，则 因此 由 =2a得(x+c)2+y2=4a2将代入，可得x2+y2=a2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2()解法一：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是由得，|y0|a，由得，|y0| ，所以，当a 时，存在点M，使S=b2；当a 时，不存在满足条件的点M当a 时， =(-c-c0,-y0)， =(c-c0,-y0)，由 =x02-c2+y20=a2-c2=b2，解法二：C上存在点M(x0，y0)使S=b2的充要条件是由得|y0| ，

24、上式代入得x20=a2- =(a- ) (a+ )0于是，当a 时，存在点M，使s=b2;当a 时，不存在满足条件的点M当a 时，记k1=kF1M=由|F1F2|2a,知F1MF20，只能x= ，于是y= 点P的坐标是( )(2)直线AP的方程是x- +6=0设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是 于是 = |m-6|，又-6m6，解得m=2椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，d2=(x-2)2+y2 =x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15，由于-6m6，当x= 时，d取得最小值2如图，直线y= x严与抛物线y= x2-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交

25、于点Q (1)求点Q的坐标 (2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求OPQ面积的最大值考场错解 (1)略()由(1)得Q(5，-5) 直线OQ的方程为x+y=0设P(x, -4)点P到直线OQ的距离d=-4x8 SOPQ最大值= |(-4+4)2-48|=15 专家把脉 要注意二次函数最大值的求法对症下药 (1)解方程组 ，得 即A(-4，-2)，B(8，4)，从而AB的中点为M(2，1)，由 ，得线段AB的垂直平分线方程y-1=-2(x-2)令y=-5，得x=5，Q(5，-5)(2)直线OQ的方程为x+y=0，设P(x， -4)，点P到直线OQ的距离d= P为抛物线上位于线段AB下方点，且P不在直线OQ上 -4x4 -4或4 -40，y20由y= x2，得y=x. 过点P的切线的斜率k切=x1, x1=0不