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幂零矩阵的性质及应用

编号:

xxxx学院2012届毕业生

毕业论文（设计）

题目：

幕零矩阵的性质及应用

完成人：

XXX

班级：

2008-01

学制：

4年

专业：

数学与应用数学

指导教师：

XXXX

完成H期:

2012-03-31

摘要

（1）

0引言

（1）

1预备知识

（1）

1.1幕零矩阵的相关概念

（1）

1.2幕零矩阵的基本性质

（1）

2主要结论（4）

3应用（6）

3.1幕零矩阵在矩阵运算中的应用（6）

3.2幕零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用⑻

3.2.1幕零矩阵与线性方程组相结合应用（9）

3.2.2幕零矩阵的若尔当标准形的应用（10）

3.2.3幕零矩阵与幕零线性变换相结合的应用（11）

参考文献（13）

Abstract（14）

幕零矩阵的性质及应用

作者:

XXXXX

指导老师：

XXX

摘要：

本文从幕零矩阵的定义出发，总结了幕零矩阵的基本性质及一些主要结论,而且对其应用作进一步的讨论:

用幕零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历年考研真题中对幕零矩阵的考查•

关键词：

幕零矩阵;幕零指数;若尔当形;特征根

0引言

在高等代数中，矩阵是研究问题的很重要的工具，在讨论矩阵的乘法运算时给出了幕零矩阵的定义，但对其性质研究很少.幕零矩阵作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面，还是在实际应用方面都有很重要的意义，而且在一些交叉学科如密码学中，都有广泛的应用.目前,国内很多学者对幕零矩阵的性质己有较深入的研究，木文在他们研究的基础上，进一步探讨幕零矩阵的性质.

1预备知识

为了叙述的需要，我们首先引入幕零矩阵的有关概念.

1.1幕零矩阵的有关概念

定义1设A是”阶矩阵，若存在一个自然数R,使才=0,则A为幕零矩阵.

定义2设A是幕零矩阵,满足才=0的最小自然数斤称为q的幕零指数.

1.2幕零矩阵的基本性质

在给出了幕零矩阵的相关概念之后，我们容易得到幕零矩阵的一些基本性质.

性质1若A是幕零矩阵，则屮，才,—，砌都是幕零矩阵.

性质2A为幕零矩阵的充要条件是A的特征值全为0.在此基础上，我们还可以得到幕零矩阵的另一个充要条件.推论1A为幕零矩阵的充要条件是加".

证明必要性因为A为幕零矩阵，所以A的特征值全为0,即21=知=•••=2”=°,所以Ak的特征值为若=处=…=尤=0从而有

trAk=Aa+几彳+・・・+兄£=0・

充分性由己知，对V/reZ.,f加=若+公+…+处=0①

令加几2,…，人为A的不为零的特征值,且儿互不相同，重数为％

由①式，得方程组

也几］+“2几2+・・9+ntAt=°

Jl\Aa+?

l2元+…+仏=0

'7712?

+”2加+…+lh几？

=0②

"21尤+〃2兀+•••+"/无=。

由于方程组②的系数行列式为

2]几2

2r

1

1

…1

2,2

•

■

=久4兄2・・・兄『

几1

■

■

■

22

•

■

…2,

■

•…♦

■

无

2：

…2!

（儿-兄/）

又儿（j=l,2,..・j）互不相同且不为0,所以网工0,从而知方程②只有0解,

即“=0（匸1,2,•••」）•因此A的特征值全为0,即人为幕零矩阵.推论2若A为幕零矩阵，则A—定不可逆且有\A+E\=t\E-A\=\.证明由于A为幕零矩阵，所以存在"Z+,使得才=0,因此有0=闭=州=＞国=0,所以A—定不可逆.

由性质2,得A的特征值Ai=22=...=2„=0,所以A+E,E-A的特征值分

别是

Zl=兄2=・・・=九=°+1=久］=兄2=・・•==1—°=1〃

且有

|a+e|=兄1兄2・・・/1”=1"=1*£_內=兄122・・・/1门=1"=1

|A+E|=1,|E-A|=1.

推论3若A+E为幕零矩阵，则A非退化.

证明令兄就2,“九为A的特征值.

若A退化，则有国=恥2",严0，所以至少存在仏=0为A的特征值，从而有卯,+1=1工0为A+£的一特征值，这与A+E为幕零矩阵相矛盾，得证A为非退化.

对于幕零指数相同的幕零矩阵，有一些比较重要的性质.

性质3所有的”阶—1次幕零矩阵都相似.

证明令A为”阶—1次幕零矩阵，即

A""=0,A^O（O

因此A的最小多项式

畑（几）=d“

（2）=A"~l；

又A是幕零矩阵，所以A的特征值全为0,因此A的特征多项式为

/（A）=|2E-A|=2n=Dfl

（2）,

D-i"）=几；

/（久）=\AE—A|=V=ZX】

（2）=cli（兄）〃2（刃…〃“（兄）>

又

所以

又

从而有

cl—1（兄）=兄，d”-2（几）=•••=〃2（刃=d1（兄）=1,所以所有”阶”-1次幕零矩阵具有相同的不变因子为

iu，…,1a加

■

所以所有H阶—1次幕零矩阵都相似.

利用此法也可以得到：

推论4所有“阶“次幕零矩阵都相似.

注但是当幕零矩阵的幕零指数k

性质4设A为非零幕零矩阵，且R是A的幕零指数，则

E,A,A2>

卅“线性无关.

证明利用反证法.

假设线性相关，则一定存在一组不全为0的

Co,Cly**'»Ck-\f吏

C（Q+c/+c2A2Ci-lA1-1=0,①

两端右乘右，得6右=0,而右H0,因此c°=0.再对①式两端右乘Ak~2，可得C1=0.同理可得C2=C3=…=Ck-\=o.所以Co=G=…=C*-1=o,得出矛盾，所以假设错误.即证得EM，八，…，右线性无关.

2主要结论

我们在幕零矩阵的定义以及基本性质的基础上，进一步探讨幕零矩阵，得到一些重要结论，而且这些结论应用的也比较广泛.

结论1设q为幕零矩阵，且R是A的幕零指数，则

（1）E-A可逆，且（E-A『=E+A+a2+・・・+aI•

（2）（/»£+A）_1=—£一-A+丄+丄AA_1•（加工0）

nfmm

证明

（1）由于A为幕零矩阵，所以卅=0,从而

E=E-Ak=Ek-Ak=（£-4）（£+人+才+・..+右），

即

（E-A）=E+A+A，A'<_1-

（2）对任意加工0,

（mE+A）（—EA+—a'+・-+（-1）“'—A<_l）

加in~mm

=E_丄A++…+（_l）i—^7人「"+丄A

mm~m加

一丄A，+…+（-1）"-I7A1"1+（-1）*"A才

m~mm

=E

所以

（mE+A）-1=——人+丄皿）（-1厂丄-

加m~mm

结论2若a为幕零矩阵，则q的若尔当标准形丿的若尔当块为

幕零若尔当块，且丿的主对角线上的元素为0.

证明A为幕零矩阵，由性质2知，A的特征值全为0；

又在复数域上，存在可逆矩阵八使得

T~lAT=

Jx

Jl

■

■

■

Js_

=J

其中

A,

-q

Ji=

♦

1••

■

•

■

■

•

•

j=l,2,…，/,

1

A.

则M=1,2,・・.,Q为丿的特征值；又A与丿相似，所以A与丿有相同的特征值，所以儿=0（21,2,.・.,/）,即丿的主对角线上的元素全为0;所以有

0

-10

则人为幕零矩阵，其幕零指数为山（心1,2,…,力所以J4・・、Js为幕零矩阵.所以A的若尔当标准形丿的若尔当块J4・・、Js为幕零若尔当块,且丿的主对角线上的元素为0.

由此结论可以得到：

推论5”阶幕零矩阵的幕零指数小于等于“，且幕零指数等于其

若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.

3应用

3.1幕零矩阵在矩阵运算中的应用一一求一些特殊矩阵的逆

在矩阵的运算中，求矩阵的逆一般是比较麻烦的，对于一些特殊的矩阵可以利用幕零矩阵的性质来化简.

引理1任一〃阶方阵A都可写成的A=D+N形式，其中D是一个与对角阵相似的”阶方阵，N是一个幕零矩阵，而且DN=ND.

证明

因为在复数域上,存在可逆矩阵「使得

其中

于是

a=r,

Ji

r=1,2,

0

■

■

+

10

♦•

■•

■

•・

.10.

=D+M（,=12•••,/）・②

为对角阵，N严

为幕零矩阵.

■

■

10

因为NAO,将②式带入①式得

D+M

A=T~lJ.T

D+M、

D・

"m・

=T~'

■

•

■

T+T-1

■

■

■

T=D+N

③其中

D.

Ns

Di

D=厂'T相似于对角阵，且

D,

N=7'_1

■

■

■

Tnn"=「'

T=O,

N：

N、D\

ND=T~l

N,D$

DiNi=Ufi）Ni=AiNiy

NiDi=NSE）=入N・

即"为幕零矩阵，于是

D、N\

DN=厂'••

D.Ns

类似的，有

但

所以

DN=NiD、（i=12・・・，s）

由④⑤⑥，即证DN=ND.

由引理1,对于一些可表示为幕零矩阵与单位矩阵的和的矩阵,则可利用结论1来求它的逆;而主对角元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵与幕零矩阵的和，也可以借助结论1可求出它的逆;对于一些可表示为单位矩阵与若尔当矩阵幕的和的矩阵，借助结论1也可求出它的逆.下面通过例子来说明.

_111••-1\

011...11

例1设人=001…11,求a".

♦•••••

000…01

解记几为〃阶若尔当矩阵，则J；：

=o,而心E+几+#+.・.+肓,

00

00

I••

1-1

01

由结论1有

01-1

•A"=（£+/”+«/：

+•••+»/；「"）=E—Jn=…•.

000

3.2幕零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用

在历年研究生入学考试中，对幕零矩阵的考查综合性较强，能力要求较高，是个难点.下而列举几道典型的对幕零矩阵的考查方法，以说明幕零矩阵和其他数学知识之间的灵活运用.

3.2.1幕零矩阵与线性方程组相结合应用

下而看一下幕零矩阵与线性方程组相结合的考查方法.

例2（中山大学）A,3,C为”阶方阵，且AC=CA,BC=CByC=AB-BAf证:

存在自然数RS,使得C*=0.

分析本题即证C为幕零矩阵,只需证C的特征值全为0.而C=AB-BA,容易联想需要用C的迹来解题,而采用反证法则恰到好处.

证明只需证C的特征值兄“2,…，九全为0即可.

事实上，

/r（C）=/r（AB-BA）=0,

即有

X2/=0;

i=i

c2=C（AB一BA）=CAB一CBA=（AC）B一B（AC）,

所以

^（C2）=X2-=O；

i=i

同理可得

"•（c'）=》2：

=o、

1-1

■

■

tr（C'）=》兄；=0；

2-1

假设c存在非0的特征值，不妨设合并各相同的非0特征值后，得

比1兄］+比2久2+・••+k$九、=0k\A\+«2几3+・・・+斤找；=0

•••

&虫+爲朋+・・・+人兀=0

（兄1，几2,…,几$各不相冋）

方程组有非0解，故系数行列式:

几1几2

••

••

••

Ai

…2.v

7无=o（儿各不相同）,

••

•♦

…広

但是

2?

…

•••

♦••

•••

2iAz…

.=兄］几2・・・几$n（儿一几丿）ho>

A：

得岀矛盾,所以假设错误，即有C不存在非零的特征值，C的特征值全为0,所以存在自然数使得C*=0.

此题利用幕零矩阵的性质构造齐次线性方程组，灵活运用数学知识进行解题,与推论1的证明有相似之处，体现了幕零矩阵在高等代数中的重要地位.

3.2.2幕零矩阵的若尔当标准形的应用

幕零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.

例3（上海交通大学）A,B为屛介方阵，B为幕零矩阵，AB=BA,则有|a+b|=|4|.

分析在复数域上，每个“级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，幕零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得证.

证明由题有，在复数域上，存在可逆矩阵，T使得

'Ai・

P\

t~1at=

知*

•

•

■

「'BT=

“2*

■

■

•

又B为幕零矩阵，所以B的特征值全为0,即

'0_

o*

T“BT=.

■

0

人

T,

厂!

（A+B）T=t~}AT+t~}BT=T~l

所以

Ai

t~\a+b）t\=|厂'||A+B||T|=|r_,|

又因为丁可逆，所以

卩|工0,|A+B|=

因为

Ai

因此S,…人为A的特征值，所以

|人|=兄就2…几，

从而得证|A|=|A+B|=2^2---An•

3.2.3幕零矩阵与幕零线性变换相结合的应用

幕零线性变换在任一组基下的矩阵为幕零矩阵，研究幕零矩阵的特性对研究幕零线性变换是很有帮助的.

例4（西南大学）设V为数域F上的〃阶方阵构成的线性空间，

A为F上一个固定的"阶方阵，定义T（B）=AB-BA,其中3为V中任一向量，证明⑴T为线性变换；⑵若A为幕零矩阵，则T为幕零线性变换.

分析

（1）利用线性变换的定义即可得证.

（2）由T（B）=AB-BA,有下述结论：

A的特征值之差都是T的特征值.以下要证此结论.

证明

（1）任取B.CeV,VZreF,则有：

T（B+C）=A（B+C）-（B+C）A=AB-BA+AC-CA=T（B）+T（C）,

T（kB）=A（kB）-（kB）A=kAB-kBA=kT（B）,

所以T为线性变换.

（2）先做如下断言：

T（B）=AB-BA^A的特征值之差都是T的特

征值.

事实上，V“m”（F）,取M”（O的一组基Eq（i,j"2・・.,n），设A的若尔当标准形为

J=•••,

则存在可逆矩阵PeM.（F）,使得

P'[AP=J=

A.

所以A=PJP^}.又P可逆，所以PEijP・'也是M/F）的一组基・

又

T（PEyp・'）=A（PEyP^）-（PE"P"）A

=（PJp-'）（PEuP"）-（PEqP"）（PJPT

_0■

••*

=P（JE厂EijJ）p-'=P2/-2；P~l

■

■

■

0

=（儿-；U（PE"K）

所以T在基PEwP~\PE”，…,PE”，…,PEnh，…,PE”下的矩阵为

■

0

ArA2

•・♦

21-An

久2-刃

0

人2-石

■

■

久/厂人川・1

.0

所以A的特征值之差都是丁的特征值.断言成立.

因为A为幕零矩阵，所以A的特征值兄严°，所以T的特征值全为

0,从而T为幕零线性变换.

参考文献

［1］北京大学数学系几何与代数教硏室前代数小组•高等代数［M］.北京:

高等教

育出版社,2003.

［2］杨子胥•高等代数习题解（下册）［M］.济南:

山东科技出版|±,1982:

836-866.

［3］邹本强•幕零矩阵的性质［".scienceinformatio①2007,（12）:

150-155.

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1-3.

⑸江明星•幕零矩阵的若干性质［几安徽机电学院学报,1999,143:

77-79.

⑹姜海勤潟零矩阵性质的一个应用［J］•泰州职业技术学院学报,2004,4

（1）:

54-57.

［7］樊正恩•幕零矩阵的若干注记［几甘肃高师学报,2011,16⑵:

彳詔.

⑻赵廷芳•幕零矩阵的性质［J］周口师专学报,1994,11

（1）:

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［9］谷国梁.关于幕零矩阵性质的探讨［J］•铜陵财经专科学校学报,2001,（4）:

49-63.

［10］吴险峰.n阶幕零矩阵的判别与构建［J］.齐齐哈尔大学学报,2007,23（4）:

72-

75.

ThePropertiesandApplicationsofNilpootentMatrices

xxxx

Abstract：

Thispaperbasedonthedefinitionofnilpotentmatrix,thensummarizesthebasicpropertiesofnilpotentmatrixandsomemainconclusion,andfurtherdebateitsapplication:

usingthepropertiesofnilpotentmatrixforsolvingtheinversematrixofsomespecialmatrix,andinvestigatingthenilpotentmatrixinthepostgraduateentranceexam.

Keywords:

nilpootentmatrices;nilpotentindex;Jordanstandardformicharacteristicroot