幂零矩阵的性质及应用.docx

1、幂零矩阵的性质及应用编号:xxxx学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：幕零矩阵的性质及应用完成人：XXX班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：XXXX完成H期:2012-03-31摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)1.1幕零矩阵的相关概念 (1)1.2幕零矩阵的基本性质 (1)2主要结论 (4)3应用 (6)3.1幕零矩阵在矩阵运算中的应用 (6)3.2幕零矩阵与高等代数中其他知识相结合的应用 3. 2. 1幕零矩阵与线性方程组相结合应用 (9)3. 2. 2幕零矩阵的若尔当标准形的应用 (10)3. 2. 3幕零矩阵与幕零线性变换相结合的应用 (11)参

2、考文献 (13)Abstract (14)幕零矩阵的性质及应用作 者:XXXXX指导老师：XXX摘要：本文从幕零矩阵的定义出发，总结了幕零矩阵的基本性质及一些主要 结论,而且对其应用作进一步的讨论:用幕零矩阵性质求一些特殊矩阵的逆及在历 年考研真题中对幕零矩阵的考查关键词：幕零矩阵;幕零指数;若尔当形;特征根0引言在高等代数中，矩阵是研究问题的很重要的工具，在讨论矩阵的 乘法运算时给出了幕零矩阵的定义，但对其性质研究很少.幕零矩阵 作为特殊矩阵无论在矩阵的理论方面，还是在实际应用方面都有很重 要的意义，而且在一些交叉学科如密码学中，都有广泛的应用.目前, 国内很多学者对幕零矩阵的性质己有较深入

3、的研究，木文在他们研究 的基础上，进一步探讨幕零矩阵的性质.1预备知识为了叙述的需要，我们首先引入幕零矩阵的有关概念.1.1幕零矩阵的有关概念定义1设A是”阶矩阵，若存在一个自然数R ,使才=0 ,则A为 幕零矩阵.定义2设A是幕零矩阵,满足才=0的最小自然数斤称为q的幕 零指数.1.2幕零矩阵的基本性质在给出了幕零矩阵的相关概念之后，我们容易得到幕零矩阵的一 些基本性质.性质1若A是幕零矩阵，则屮，才,，砌 都是幕零矩阵.性质2 A为幕零矩阵的充要条件是A的特征值全为0. 在此基础上，我们还可以得到幕零矩阵的另一个充要条件. 推论1 A为幕零矩阵的充要条件是加.证明 必要性 因为A为幕零矩阵

4、，所以A的特征值全为0, 即21 =知= = 2” = ,所以Ak的特征值为若=处=尤=0 从而有trAk = Aa +几彳+兄 = 0充分性由己知，对V/reZ., f加=若+公+处=0 令加几2,，人为A的不为零的特征值,且儿互不相同，重数为由式，得方程组也几+ “2几2 +9 + nt At = Jl Aa +?l2 元 + + 仏 = 0771 2? + ”2 加 + + lh 几？ = 0 21 尤 + 2兀+ +/ 无=。由于方程组的系数行列式为2 几22r11 12,2=久4兄2兄几1222, 无2：2!（儿-兄/）又儿（j = l,2,.j）互不相同且不为0,所以网工0,从而知

5、方程只有0解,即“=0 （匸1,2, ）因此A的特征值全为0,即人为幕零矩阵. 推论2若A为幕零矩阵，则A 定不可逆且有A + E = tE-A = . 证明 由于A为幕零矩阵，所以存在Z+,使得才=0,因此有 0 =闭=州=国=0,所以A定不可逆.由性质2,得A的特征值Ai=22=. = 2 = 0,所以A+E, E-A的特征值分别是Zl= 兄2=九 =+1 = 久=兄2= = = 1 = 1 且有|a+e| =兄1兄2/1” = 1 = 1*_內=兄122/1门=1= 1|A+E| = 1,|E-A|=1.推论3若A + E为幕零矩阵，则A非退化.证明 令兄就2,“九为A的特征值.若A退化

6、，则有国=恥2,严0，所以至少存在仏=0为A的特征值，从 而有卯,+ 1 = 1工0为A + 的一特征值，这与A + E为幕零矩阵相矛盾，得 证A为非退化.对于幕零指数相同的幕零矩阵，有一些比较重要的性质.性质3所有的”阶1次幕零矩阵都相似.证明令A为”阶1次幕零矩阵，即A = 0 , AO（O/c又所以又从而有cl1（兄）=兄，d”-2（几）= = 2（刃=d 1（兄）=1, 所以所有”阶”-1次幕零矩阵具有相同的不变因子为i u，,1 a加所以所有H阶1次幕零矩阵都相似.利用此法也可以得到：推论4所有“阶“次幕零矩阵都相似.注但是当幕零矩阵的幕零指数k卅“线性无关.证明利用反证法.假设线性

7、相关，则一定存在一组不全为0的Co, Cl y * * Ck- f 吏C（Q + c/ + c2A2 Ci-lA1-1 = 0, 两端右乘右，得6右=0,而右H0,因此c = 0.再对式两端右乘 Ak2，可得 C1 = 0.同理可得 C2 = C3 =Ck- = o .所以 Co = G =C*-1 = o,得 出矛盾，所以假设错误.即证得E M，八，右线性无关.2主要结论我们在幕零矩阵的定义以及基本性质的基础上，进一步探讨幕零 矩阵，得到一些重要结论，而且这些结论应用的也比较广泛.结论1设q为幕零矩阵，且R是A的幕零指数，则（1） E-A可逆，且（E-A = E+A+a2+aI （2） （/

8、 + A）_1 = 一- A + 丄+ 丄 AA_1 （加工0）nf m m证明 （1）由于A为幕零矩阵，所以卅=0,从而E = E-Ak = Ek-Ak =（-4）（+人 + 才 + .+ 右），即（E-A）= E + A +A， A_1 -（2）对任意加工0,(mE + A)(E A + a + - + (-1)“ AA：得岀矛盾,所以假设错误，即有C不存在非零的特征值，C的特征值全 为0,所以存在自然数使得C*=0.此题利用幕零矩阵的性质构造齐次线性方程组，灵活运用数学知 识进行解题,与推论1的证明有相似之处，体现了幕零矩阵在高等代 数中的重要地位.3.2.2幕零矩阵的若尔当标准形的应用

9、幕零矩阵的若尔当标准形在历年真题中也较常用到.例3 （上海交通大学）A, B为屛介方阵，B为幕零矩阵，AB = BA, 则有 |a+b|=|4|.分析在复数域上，每个“级矩阵都与一个若尔当形矩阵相似， 幕零矩阵的若尔当标准形的对角线上的元素为0,由此结论此题即得 证.证明 由题有，在复数域上，存在可逆矩阵，T使得Ai Pt1at =知*,BT =“2 *又B为幕零矩阵，所以B的特征值全为0,即0 _o *T“BT = .0人T,厂!(A + B)T = tAT + tBT = Tl所以Aita+b)t = | 厂|A+B|T| = |r_,|又因为丁可逆，所以卩|工0, |A + B| =因为

10、Ai因此S,人为A的特征值，所以|人| =兄就2几，从而得证 | A| = | A + B| = 22 - -An 3.2.3幕零矩阵与幕零线性变换相结合的应用幕零线性变换在任一组基下的矩阵为幕零矩阵，研究幕零矩阵的 特性对研究幕零线性变换是很有帮助的.例4 (西南大学) 设V为数域F上的阶方阵构成的线性空 间，A为F上一个固定的阶方阵，定义T(B) = AB-BA,其中3为V中任一 向量，证明T为线性变换；若A为幕零矩阵，则T为幕零线性变 换.分析 (1)利用线性变换的定义即可得证.(2)由T(B) = AB-BA,有下述结论：A的特征值之差都是T的特征值. 以下要证此结论.证明(1)任取B

11、.CeV, VZreF,则有：T(B + C) = A(B + C)-(B + C)A = AB-BA + AC-CA = T(B)+T(C),T(kB) = A(kB)-(kB)A = kAB-kBA = kT(B),所以T为线性变换.(2)先做如下断言：T(B) = AB-BA A的特征值之差都是T的 特征值.事实上，V“m”(F),取M”(O的一组基Eq(i,j2.,n)，设A 的若尔当标准形为J= ,则存在可逆矩阵PeM.(F),使得PAP = J =A.所以A = PJP.又P可逆，所以PEijP 也是M/F)的一组基又T(PEyp)=A(PEyP) -(PEP)A=(PJ p-)(

12、PEuP) -(PEqP)(PJ PT_0 *= P(JE 厂 EijJ)p- = P 2/-2； Pl0=(儿-；U(PEK)所以T在基PEwPPE”，,PE”，,PEnh，,PE”下的矩阵为0ArA2 21-An久2-刃0人2-石久/厂人川1. 0所以A的特征值之差都是丁的特征值.断言成立.因为A为幕零矩阵，所以A的特征值兄严，所以T的特征值全为0,从而T为幕零线性变换.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教硏室前代数小组高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.2 杨子胥高等代数习题解(下册)M.济南:山东科技出版|,1982:836-866.3 邹本强幕零矩阵的性质.science

13、informatio2007,(12):150-155.4 韩道兰，罗雁，黄宗文幕零矩阵的性质及应用J玉林师范学院学报(自然科 学)2003,24(4):1-3.江明星幕零矩阵的若干性质几安徽机电学院学报,1999,143:77-79.姜海勤潟零矩阵性质的一个应用J泰州职业技术学院学报,2004, 4(1): 54- 57.7樊正恩幕零矩阵的若干注记几甘肃高师学报,2011,16:彳詔.赵廷芳幕零矩阵的性质J周口师专学报,1994,11(1):27-30.9 谷国梁.关于幕零矩阵性质的探讨J铜陵财经专科学校学报,2001,(4): 49-63.10 吴险峰.n阶幕零矩阵的判别与构建J.齐齐哈尔

14、大学学报,2007,23(4): 72-75.The Properties and Applications of Nilpootent MatricesxxxxAbstract： This paper based on the definition of nilpotent matrix ,then summarizes the basic properties of nilpotent matrix and some main conclusion , and further debate its application: using the properties of nilpotent matrix for solving the inverse matrix of some special matrix ,and investigating the nilpotent matrix in the postgraduate entrance exam.Keywords: nilpootent matrices; nilpotent index; Jordan standard formicharacteristic root