反比例函数的实际应用
8.某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2吨，可用60小时．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x（单位：
吨），库存的原料可使用的时间为y（单位：
小时）．
（1）写出y关于x的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
（2）若恰好经过24小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？
1个技巧：
用k的几何性质巧求图形的面积
k
9.如图，A，B是双曲线y＝x（k≠0）上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D
点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）
4
A.3
8
B.3
C.33D．4
（第9题）
（第10题）
2
10.如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线交反比例函数y＝x和
4
y＝－x的图象于A，B两点，C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为．
366
11.如图是函数y＝x与函数y＝x在第一象限内的图象，点P是y＝x的图象上
33
一动点，PA⊥x轴于点A，交y＝x的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝x的图象于
点D.
（1）求证：
D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
（第11题）
答案
6
1．解：
（1）∵A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y＝x（x>0）的图象上，
∴m＝1，n＝2，即A（1，6），B（3，2）．
又∵A（1，6），B（3，2）在一次函数y＝kx＋b的图象上，
6＝k＋b，k＝－2，
∴2＝3k＋b，解得b＝8，
即一次函数解析式为y＝－2x＋8.
（第1题）
6
（2）根据图象可知使kx＋b3.
（3）如图，分别过点A，B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为E，C，设直线AB交x轴于D点．
令－2x＋8＝0，得x＝4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），∴AE＝6，BC＝2.
11
∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝2×4×6－2×4×2＝8.
2．
（1）证明：
∵点A，B分别在x轴，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴
于点C，∴∠AOB＝∠DCA＝90°.
AO＝DC，
在Rt△AOB和Rt△DCA中，∵AB＝DA，∴Rt△AOB≌Rt△DCA.
（2）解：
在Rt△ACD中，∵CD＝2，DA＝，
∴AC＝＝1.∴OC＝OA＋AC＝2＋1＝3.
∴D点坐标为（3，2）．
∵点E为CD的中点，∴点E的坐标为（3，1）．∴k＝3×1＝3.（3）解：
点G在反比例函数的图象上．
理由如下：
∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，
∴△BFG≌△DCA.
∴FG＝CA＝1，BF＝DC＝2，∠BFG＝∠DCA＝90°.
∵OB＝AC＝1，∴OF＝OB＋BF＝1＋2＝3.∴G点坐标为（1，3）．
∵1×3＝3，∴点G（1，3）在反比例函数的图象上．
3．解：
∵BC∥OA，AB∥x轴，∴四边形ABCO为平行四边形．
∴AB＝OC＝3.
66
设Aa，则Ba，
6
∴（a－3）·a＝－3.∴a＝2.
∴A（2，3），B（－1，3）．
∵OC＝3，C在x轴负半轴上，∴C（－3，0），设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋b，
－3k＋b＝0，9
则－k＋b＝3，解得.
39
∴直线BC对应的函数解析式为y＝2x＋2.
3x1＝－1，3
解方程组，
3
∴D2.
得y1＝3，.
设直线AD对应的函数解析式为y＝mx＋n，
39
则，解得.
39
∴直线AD对应的函数解析式为y＝8x＋4.
99
∴E4.∴OE＝4.
15
4.4点拨：
因为C（0，2），A（4，0），由矩形的性质可得P（2，1），把P点
2
坐标代入反比例函数解析式可得k＝2，所以反比例函数解析式为y＝x.因为D点
212
的横坐标为4，所以AD＝4＝2.因为点E的纵坐标为2，所以2＝CE，所以CE
9
＝1，则BE＝3.所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD＝8－1－4－1＝
15
4.
5．
（1）证明：
∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形．
11
∵四边形OABC是矩形，∴DA＝2AC，DB＝2OB，AC＝OB.
∴DA＝DB.∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：
如图，连接DE，交AB于F，
∵四边形AEBD是菱形，
1319
∴DF＝EF＝2OA＝2，AF＝2AB＝1.∴E，1.
k
设所求反比例函数解析式为y＝x，
999
把点E，1的坐标代入得1＝2，解得k＝2.
9
∴所求反比例函数解析式为y＝2x.
（第5题）
（第7题）
6．D
7.解：
（1）如图，过点D作x轴的垂线，垂足为F.
∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3.∴OD＝5.
∴AD＝5.∴点A的坐标为（4，8）．∴k＝xy＝4×8＝32.
32
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝x（x>0）的图象
上点D′处，过点D′作x轴的垂线，垂足为F′.
∵DF＝3，∴D′F′＝3.∴点D′的纵坐标为3.
323232
∵点D′在y＝x的图象上，∴3＝x，解得x＝3，
323220
即OF′＝3.∴FF′＝3－4＝3.
20
∴菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为3.
8.解：
（1）∵正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标
为（2，2），∴C（0，2）．
k
∵D是BC的中点，∴D（1，2）．∵反比例函数y＝x（x＞0，k≠0）的图象经过点
D，∴k＝2.
（2）当P在直线BC的上方，即0＜x＜1时，
2
∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，∴y＝x.
2
∴S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·－2＝2－2x；当P在直线BC的下方，即x＞1
22x－2（x＞1），
时，同理求出S四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·x＝2x－2，综上，S＝2－2x（0＜x＜1）.
9．4
10．解：
∵反比例函数的图象关于原点对称，圆也关于原点对称，故阴影部
11
分的面积占⊙O面积的4，则针头落在阴影区域内的概率为4.
1．B2.C
3．①③④
6
4.
解：
（1）反比例函数：
y＝－x.
（2）如图所示．
（第4题）
k
5.解：
∵反比例函数y＝x的图象经过点A（1，－k＋4），
k
∴－k＋4＝1，即－k＋4＝k，∴k＝2，∴A（1，2）．
∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A（1，2），
∴2＝1＋b，∴b＝1.
2
∴反比例函数的解析式为y＝x，
一次函数的解析式为y＝x＋1.
mm
6．解：
（1）将B（2，－4）的坐标代入y＝x，得－4＝2，
解得m＝－8.
－8
∴反比例函数的解析式为y＝x.
－8
∵点A（－4，n）在双曲线y＝x上，∴n＝2.
∴A（－4，2）．
把A（－4，2），B（2，－4）的坐标分别代入y＝kx＋b，得
－4k＋b＝2，k＝－1，
2k＋b＝－4，解得b＝－2.
∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
（2）令y＝0，则－x－2＝0，x＝－2.
∴C（－2，0）．∴OC＝2.
11
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝2×2×2＋2×2×4＝6.
（3）x1＝－4，x2＝2.（4）－42.
7.解：
如图，由观察可知：
（1）当y＝－2时，x＝－3；
（2）当－26；（3）当－33.
（第7题）
点拨：
解决问题时，画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题，一定要注意数形结合，学会看图．
8.解：
（1）库存原料为2×60＝120（吨），根据题意可知y关于x的函数解析
120
式为y＝x.
由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变
量的取值范围是x>2.
120
（2）根据题意，得y≥24，所以x≥24.
解不等式，得x≤5，
即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．
点拨：
（1）由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y关于x
的函数解析式．
（2）要使机器不停止运转，需y≥24，解不等式即可．
（第9题）
9．B点拨：
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△
1kkkkk
OBE的中位线，则CD＝2BE.设Ax，则B2x，CD＝4x，AD＝x－4x.∵△ADO的
11k8
面积为1，∴2AD·OC＝1，即24x·x＝1.解得k＝3.
10．3
6
11．
（1）证明：
∵点P在双曲线y＝x上，
6
∴设P点坐标为，m.
3
∵点D在双曲线y＝x上，BP∥x轴，D在BP上，
336
∴D点坐标为，m.∴BD＝m，BP＝m，
故D是BP的中点．
33
（2）解：
由题意可知S△BOD＝2，S△AOC＝2，S四边形OBPA＝6.
33
∴S四边形ODPC＝S四边形OBPA－S△BOD－S△AOC＝6－2－2＝3.
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