第章离散数学习题解答.docx

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第章离散数学习题解答第章离散数学习题解答LELEwasfinallyrevisedonthemorningofDecember16,2020第章离散数学习题解答习题1.下列句子中，哪些是命题哪些不是命题如果是命题，指出它的真值。

中国有四大发明。

计算机有空吗不存在最大素数。

21+35。

老王是山东人或河北人。

2与3都是偶数。

小李在宿舍里。

这朵玫瑰花多美丽呀!

请勿随地吐痰!

圆的面积等于半径的平方乘以。

只有6是偶数，3才能是2的倍数。

雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：

是命题，其中是真命题，是假命题，的真值目前无法确定；不是命题。

2.将下列复合命题分成若干原子命题。

李辛与李末是兄弟。

因为天气冷，所以我穿了羽绒服。

天正在下雨或湿度很高。

刘英与李进上山。

王强与刘威都学过法语。

如果你不看电影，那么我也不看电影。

我既不看电视也不外出，我在睡觉。

除非天下大雨，否则他不乘班车上班。

解：

本命题为原子命题；p：

天气冷；q：

我穿羽绒服；p：

天在下雨；q：

湿度很高；p：

刘英上山；q：

李进上山；p：

王强学过法语；q：

刘威学过法语；p：

你看电影；q：

我看电影；p：

我看电视；q：

我外出；r：

我睡觉；p：

天下大雨；q：

他乘班车上班。

3.将下列命题符号化。

他一面吃饭，一面听音乐。

3是素数或2是素数。

若地球上没有树木，则人类不能生存。

8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

停机的原因在于语法错误或程序错误。

四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

如果a和b是偶数，则a+b是偶数。

解：

p：

他吃饭；q：

他听音乐；原命题符号化为：

pqp：

3是素数；q：

2是素数；原命题符号化为：

pqp：

地球上有树木；q：

人类能生存；原命题符号化为：

pqp：

8是偶数；q：

8能被3整除；原命题符号化为：

pqp：

停机；q：

语法错误；r：

程序错误；原命题符号化为：

qrpp：

四边形ABCD是平行四边形；q：

四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：

pq。

p：

a是偶数；q：

b是偶数；r：

a+b是偶数；原命题符号化为：

pqr4.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。

如果3+3=6，则雪是白的。

如果3+36，则雪是白的。

如果3+3=6，则雪不是白的。

如果3+36，则雪不是白的。

是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。

2+3=5的充要条件是是无理数。

（假定是10进制）若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。

当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。

解：

设p：

336。

q：

雪是白的。

原命题符号化为：

pq；该命题是真命题。

原命题符号化为：

pq；该命题是真命题。

原命题符号化为：

pq；该命题是假命题。

原命题符号化为：

pq；该命题是真命题。

p：

是无理数；q：

加拿大位于亚洲；原命题符号化为：

pq；该命题是假命题。

p：

2+35；q：

是无理数；原命题符号化为：

pq；该命题是真命题。

p：

两圆O1,O2的面积相等；q：

两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：

pq；该命题是真命题。

p：

王小红心情愉快；q：

王小红唱歌；原命题符号化为：

pq；该命题是真命题。

习题1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。

（pqr）（p（qr）（pq）（rs）（pqrs）（p（qr）（qp）qr）。

解：

是合式公式；不是合式公式。

2.设p：

天下雪。

q：

我将进城。

r：

我有时间。

将下列命题符号化。

天没有下雪，我也没有进城。

如果我有时间，我将进城。

如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。

解：

pqrqprq3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。

rq（rq）q（rp）（qr）（rq）解：

我有时间并且我将进城。

我没有时间并且我也没有进城。

我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。

如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。

4.试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。

或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。

如果张三和李四都不去，他就去。

我们不能既划船又跑步。

如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解：

p：

你给我写信；q：

信在途中丢失；原命题符号化为：

（pq）（pq）。

p：

张三去；q：

李四去；r：

他去；原命题符号化为：

pqr。

p：

我们划船；q：

我们跑步；原命题符号化为：

（pq）。

p：

你来了；q：

他唱歌；r：

你伴奏；原命题符号化为：

p（qr）。

5.用符号形式写出下列命题。

假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

我今天进城，除非下雨。

仅当你走，我将留下。

解：

p：

上午下雨；q：

我去看电影；r：

我在家读书；s：

我在家看报；原命题符号化为：

（pq）（prs）。

p：

我今天进城；q：

天下雨；原命题符号化为：

qp。

p：

你走；q：

我留下；原命题符号化为：

qp。

习题1.设A、B、C是任意命题公式，证明：

AA若AB，则BA若AB，BC，则AC证明：

由双条件的定义可知AA是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。

因为AB，由等价的定义可知AB是一个永真式，再由双条件的定义可知BA也是一个永真式，所以，BA成立。

对A、B、C的任一赋值，因为AB，则AB是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为BC，则BC是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即AC成立。

2.设A、B、C是任意命题公式，若ACBC,AB一定成立吗若ACBC,AB一定成立吗？

若AB，AB一定成立吗？

解：

不一定有AB。

若A为真，B为假，C为真，则ACBC成立，但AB不成立。

不一定有AB。

若A为真，B为假，C为假，则ACBC成立，但AB不成立。

一定有AB。

3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。

q（pq）pp（qr）（pq）（qp）（pq）（rq）r（p（pq）r）（qr）解：

q（pq）p的真值表如表所示。

表pqpqq（pq）q（pq）p00101011101000111111使得公式q（pq）p成真的赋值是：

00，10，11，使得公式q（pq）p成假的赋值是：

01。

p（qr）的真值表如表所示。

表pqrqrp（qr）0000100111010110111110000101111101111111使得公式p（qr）成真的赋值是：

000，001，010，011，101，110，111，使得公式p（qr）成假的赋值是：

100。

（pq）（qp）的真值表如表所示。

表pqpqqp（pq）（qp）00001011111011111111所有的赋值均使得公式（pq）（qp）成真，即（pq）（qp）是一个永真式。

（pq）（rq）r的真值表如表所示。

表pqrqpqrq（pq）（rq）（pq）（rq）r0001000100110001010000010110011110011010101110111100000111100111使得公式（pq）（rq）r成真的赋值是：

000，001，010，011，101，110，111，使得公式（pq）（rq）r成假的赋值是：

100。

（p（pq）r）（qr）的真值表如表所示。

表pqrpqp（pq）（p（pq）rqr（p（pq）r）（qr）0000010100001010000111000101001100001110100101101101使得公式（p（pq）r）（qr）成真的赋值是：

000，001，010，011，101，110，111，使得公式（p（pq）r）（qr）成假的赋值是：

100。

4.用真值表证明下列等价式：

（pq）pq证明：

证明（pq）pq的真值表如表所示。

表pqpq（pq）qpq001010011000100111111000由上表可见：

（pq）和pq的真值表完全相同，所以（pq）pq。

pqqp证明：

证明pqqp的真值表如表所示。

表pqpqpqqp001111011101100010111001由上表可见：

pq和qp的真值表完全相同，所以pqqp。

（pq）pq证明：

证明（pq）和pq的真值表如表所示。

表pqpq（pq）qpq001010010101100111111000由上表可见：

（pq）和pq的真值表完全相同，所以（pq）pq。

p（qr）（pq）r证明：

证明p（qr）和（pq）r的真值表如表所示。

表pqrqrp（qr）pq（pq）r00011010011101010010101111011001101101110111000101111111由上表可见：

p（qr）和（pq）r的真值表完全相同，所以p（qr）（pq）r。

p（qp）p（pq）证明：

证明p（qp）和p（pq）的真值表如表所示。

表pqqpp（qp）pqpqp（pq）00111111010110111011011111110001由上表可见：

p（qp）和p（pq）的真值表完全相同，且都是永真式，所以p（qp）p（pq）。

（pq）（pq）（pq）证明：

证明（pq）和（pq）（pq）的真值表如表所示。

表pqpq（pq）pqpq（pq）（pq）（pq）00100010010110111001101111101100由上表可见：

（pq）和（pq）（pq）的真值表完全相同，所以（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）证明：

证明（pq）和（pq）（pq）的真值表如表所示。

表pqpq（pq）pqpq（pq）（pq）0010000010101110011011110000由上表可见：

（pq）和（pq）（pq）的真值表完全相同，所以（pq）（pq）（pq）。

p（qr）（pq）r证明：

证明p（qr）和（pq）r的真值表如表所示。

表pqrqrp（qr）qpq（pq）r0000110100111101010110010111100110000110101111111101100111111001由上表可见：

p（qr）和（pq）r的真值表完全相同，所以p（qr）（pq）r。

5.用等价演算证明习题4中的等价式。

（pq）（pq）（条件等价式）pq（德摩根律）qpqp（条件等价式）qp（双重否定律）pq（交换律）pq（条件等价式）（pq）（pq）（qp）（双条件等价式）（pq）（qp）（条件等价式）（pq）（qp）（德摩根律）（pq）q）（pq）p）（分配律）（pq）（qp）（分配律）（pq）（qp）（交换律）（pq）（qp）（条件等价式）pq（双条件等价式）p（qr）p（qr）（条件等价式）（pq）r（结合律）（pq）r（德摩根律）（pq）r（条件等价式）p（qp）p（qp）（条件等价式）Tp（pq）p（pq）（条件等价式）T所以p（qp）p（pq）（pq）（pq）（pq）（例（pq）（pq）（德摩根律）（pq）（pq）（德摩根律）所以（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（qp）（双条件等价式）（pq）（qp）（条件等价式）（pq）（pq）（德摩根律）p（qr）p（qr）（条件等价式）（pq）r（结合律）（pq）r（德摩根律）（pq）r（条件等价式）6.试用真值表证明下列命题定律。

结合律：

（pq）rp（qr），（pq）rp（qr）证明：

证明结合律的真值表如表和表所示。

表pqrpq（pq）rqrp（qr）00000000010111010111101111111001101101111111011111111111表pqrpq（pq）rqrp（qr）00000000010000010000001100101000000101000011010001111111由真值表可知结合律成立。

分配律：

p（qr）（pq）（pr），p（qr）（pq）（pr）证明：

证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。

表pqrqrp（qr）pqpr（pq）（pr）0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111表pqrqrp（qr）pqpr（pq）（pr）0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111由真值表可知分配律成立。

假言易位式：

pqqp证明：

证明假言易位式的真值表如表所示。

表pqpqqpqp001111011011100100111001由真值表可知假言易位律成立。

双条件否定等价式：

pqpq证明：

证明双条件否定的真值表如表所示。

表pqpqpqpq001111010100100010111001由真值表可知双条件否定等价式成立。

习题1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。

（pq）q（pq）q（条件等价式）（pq）q（德摩根律）q（可满足式）（吸收律）（pq）q（pq）q（条件等价式）（pq）q（德摩根律）F（永假式）（结合律、矛盾律）（pq）pq（pq）pq（条件等价式）（pp）（qp）q（分配律）（qp）q（同一律、矛盾律）（qp）q（条件等价式）（qp）q（德摩根律）T（永真式）（零律、排中律）（pq）q（pq）q（条件等价式）q（可满足式）（吸收律）（pq）（qp）（pq）（pq）（假言易位式）T（永真式）（pq）（qr）（pr）（pq）（qr）（pr）（条件等价式）（pq）（qr）（pr）（德摩根律）（pq）（pqr）（prr）（分配律）（pq）（pqr）（同一律、排中律、零律）（pqrp）（pqrq）（分配律）T（永真式）p（pq）p（pq）（条件等价式）T（永真式）p（pqr）p（pqr）（条件等价式）T（永真式）2.用真值表证明下列命题公式是重言式。

（p（pq）q（p（pq）q的真值表如表所示。

由表可以看出（p（pq）q是重言式。

表pqpqp（pq）（p（pq）q00101011011000111111（q（pq）p（q（pq）p的真值表如表所示。

由表可以看出（q（pq）p是重言式。

表pqpqqq（pq）p（q（pq）p0011111011001110010011110001（p（pq）q（p（pq）q的真值表如表所示。

由表可以看出（p（pq）q是重言式。

表pqpqpp（pq）（p（pq）q000101011111101001111001（pq）（qr）（pr）（pq）（qr）（pr）的真值表如表所示。

由表可以看出（pq）（qr）（pr）是重言式。

表pqrpqqr（pq）（qr）pr（pq）（qr）（pr）0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111（pq）（pr）（qr）r（pq）（pr）（qr）r的真值表如表所示。

由表可以看出（pq）（pr）（qr）r是重言式。

表pqrpqprqr（pq）（pr）（qr）（pq）（pr）（qr）r0000110100101101010110010111111110010101101111111101000111111111（pq）（rs）（pr）（qs）（pq）（rs）（pr）（qs）的真值表如表所示。

由表可以看出（pq）（rs）（pr）（qs）是重言式。

表pqrspqrs（pq）（rs）prqs（pr）（qs）原公式000011100110001110011000100001100111001100011100110011101110010000110111011100001000110001000110000010010010100100111001101110111010010011111111（pq）（qr）（pr）（pq）（qr）（pr）的真值表如表所示。

由表可以看出（pq）（qr）（pr）是重言式。

表pqrpqqr（pq）（qr）pr（pq）（qr）（pr）00011111001100010100001101101001100010011010001111010001111111113.用等价演算证明题2中的命题公式是重言式。

（p（pq）q（p（pq）q（p（pq）q（pp）（pq）q（pq）qT（q（pq）p（q（pq）p（q（pq）p（q（pq）p（pq）（pq）（pq）（pq）T（p（pq）q（pq）q（pq）qpqqT（pq）（qr）（pr）（pq）（qr）（pr）（pq）（qr）（pr）（pq）（pqr）（prr）（pq）（pqr）（pqrp）（pqrq）T（pq）（pr）（qr）r（pq）（pr）（qr）r（pq）（pq）r）r（pq）r）r（pq）r）r（pq）rrT（pq）（rs）（pr）（qs）（pq）（rs）（pr）（qs）（pq）（rs）（pr）（qs）（pq）（rs）（prq）（prs）（pq）（rs）（prq）（pq）（rs）（prs）（rs）（prqp）（prqq）（rs）（prsp）（prsq）（rs）T）（rs）（pqrs）（rs）（pqrs）（pqrsr）（pqrss）T（pq）（qr）（pr）（pq）（qp）（qr）（rq）（pr）（pq）（qp）（qr）（rq）（pr）（pr）（pq）（pr）（rq）（qr）（qp）（pr）（p（qr）（qr）（rq）（qp）（pr）（qr）（qr）（p（qr）（rq）（qp）（pr）（T（p（qr）（rq）（qp）（pr）p（qr）（rq）（qp）（pr）p（qr）（qp）（pr）（rq）p（qr）（p（qr）（qr）p（qr）p（qr）T4.证明下列等价式：

（pr）（qr）（pr）（qr）（pq）r（pq）r（pq）r（pq）（pq）（pq）（pq）p（qq）pFpp（pq）p（pq）（pp）（pq）F（pq）pq习题1.求下列命题公式的析取范式。

（pq）r（pq）rpqr（pq）r（pq）r（pq）rpqrp（pq）p（pq）（pp）（pq）pq（pq）（qr）（pq）（qr）q（pr）（pq）（rt）（pq）（rt）（pqr）（pqt）2.求下列命题公式的合取范式。

（pq）（pq）pqq（pqr）（qp）（qq）（qr）（qp）（qr）（pq）（pq）（pq）p）（pq）q）（pp）（qp）（pq）（qq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）r（pq）r（pq）rpqr3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。

（pq）（pr）作（pq）（pr）的真值表，如表所示。

表pqrpqpr（pq）（pr）000000001000010000011000100000101011110101111111由真值表可知，原式（pqr）（pqr）（pqr）（主析取范式）5,6,7使得命题公式（pq）（pr）成真的赋值是：

101，110，111。

（pq）（pr）（pq）（pr）（pq）（pr）（pqp）（pqr）pqr（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（主析取范式）1,2,3,4,5,6,7使得命题公式（pq）（pr）成真的赋值是：

001，010、011，100，101，110，111。

（pq）（pq）作（pq）（pq）的真值表，如表所示。

表pqpqpqpq（pq）（pq）0011100011011110011111100001由真值表可知:

原式（pq）（pq）（pq）（主析取范式）1,2,3使得命题公式（pq）（pq）成真的赋值是：

01，10，11。

（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）（pqp）（pqq）pq（pq）（pq）（pq）（主析取范式）0,2,3使得命题公式（pq）（pq）成真的赋值是：

00,10,11。

（p（qr）（p（qr）（p（qr）（p（qr）（pq）（pr）（pq）（pr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（主析取范式）使得命题公式（p（qr）（p（qr）成真的赋值是：

000,111。

4.求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。

（pq）r（pq）r（pqr）（pqr）（pr）（pr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）0,2,4,5,6使得命题公式（pq）r成假的赋值是：

000,010,100,101,110。

（pq）（pq）作（pq）（pq）的真值表，如表所示。

表pqpq（pq）qpq（pq）（pq）0010110011001010011111110001由真值表可知:

原式（pq）（pq）0,1使得命题公式（pq）（pq）成假的