1、第章离散数学习题解答第章离散数学习题解答 LELE was finally revised on the morning of December 16,2020 第章离散数学习题解答 习题 1.下列句子中,哪些是命题哪些不是命题如果是命题,指出它的真值。中国有四大发明。计算机有空吗 不存在最大素数。21+35。老王是山东人或河北人。2与 3 都是偶数。小李在宿舍里。这朵玫瑰花多美丽呀!请勿随地吐痰!圆的面积等于半径的平方乘以。只有 6是偶数,3 才能是 2的倍数。雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。如果天下大雨,他就乘班车上班。解:是命题,其中是真命题,是假命题,的真值目前无法确定;不是命题。2
2、.将下列复合命题分成若干原子命题。李辛与李末是兄弟。因为天气冷,所以我穿了羽绒服。天正在下雨或湿度很高。刘英与李进上山。王强与刘威都学过法语。如果你不看电影,那么我也不看电影。我既不看电视也不外出,我在睡觉。除非天下大雨,否则他不乘班车上班。解:本命题为原子命题;p:天气冷;q:我穿羽绒服;p:天在下雨;q:湿度很高;p:刘英上山;q:李进上山;p:王强学过法语;q:刘威学过法语;p:你看电影;q:我看电影;p:我看电视;q:我外出;r:我睡觉;p:天下大雨;q:他乘班车上班。3.将下列命题符号化。他一面吃饭,一面听音乐。3是素数或 2 是素数。若地球上没有树木,则人类不能生存。8是偶数的充分
3、必要条件是 8能被 3 整除。停机的原因在于语法错误或程序错误。四边形 ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。如果 a和 b 是偶数,则 a+b 是偶数。解:p:他吃饭;q:他听音乐;原命题符号化为:pq p:3是素数;q:2 是素数;原命题符号化为:pq p:地球上有树木;q:人类能生存;原命题符号化为:pq p:8是偶数;q:8 能被 3整除;原命题符号化为:pq p:停机;q:语法错误;r:程序错误;原命题符号化为:qrp p:四边形 ABCD 是平行四边形;q:四边形 ABCD的对边平行;原命题符号化为:pq。p:a是偶数;q:b是偶数;r:a+b是偶数;原命题符号化为:pqr 4
4、.将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。如果 3+3=6,则雪是白的。如果 3+36,则雪是白的。如果 3+3=6,则雪不是白的。如果 3+36,则雪不是白的。是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。2+3=5的充要条件是 是无理数。(假定是 10 进制)若两圆 O1,O2 的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。解:设 p:336。q:雪是白的。原命题符号化为:pq;该命题是真命题。原命题符号化为:pq;该命题是真命题。原命题符号化为:pq;该命题是假命题。原命题符号化为:pq;该命题是真命题。p:是无理数;q:加拿大位于亚洲;原命题
5、符号化为:pq;该命题是假命题。p:2+35;q:是无理数;原命题符号化为:pq;该命题是真命题。p:两圆 O1,O2 的面积相等;q:两圆 O1,O2的半径相等;原命题符号化为:pq;该命题是真命题。p:王小红心情愉快;q:王小红唱歌;原命题符号化为:pq;该命题是真命题。习题 1.判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。(pqr)(p(qr)(pq)(rs)(pqrs)(p(qr)(qp)qr)。解:是合式公式;不是合式公式。2.设 p:天下雪。q:我将进城。r:我有时间。将下列命题符号化。天没有下雪,我也没有进城。如果我有时间,我将进城。如果天不下雪而我又有时间的话,我将进城。解:
6、pq rq prq 3.设 p、q、r所表示的命题与上题相同,试把下列公式译成自然语言。rq (rq)q(r p)(qr)(rq)解:我有时间并且我将进城。我没有时间并且我也没有进城。我进城,当且仅当我有时间并且天不下雪。如果我有时间,那么我将进城,反之亦然。4.试把原子命题表示为 p、q、r等,将下列命题符号化。或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。如果张三和李四都不去,他就去。我们不能既划船又跑步。如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解:p:你给我写信;q:信在途中丢失;原命题符号化为:(p q)(pq)。p:张三去;q:李四去;r:他去;原命题符号化为:pqr。p:我们划船;
7、q:我们跑步;原命题符号化为:(pq)。p:你来了;q:他唱歌;r:你伴奏;原命题符号化为:p(qr)。5.用符号形式写出下列命题。假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。我今天进城,除非下雨。仅当你走,我将留下。解:p:上午下雨;q:我去看电影;r:我在家读书;s:我在家看报;原命题符号化为:(pq)(prs)。p:我今天进城;q:天下雨;原命题符号化为:qp。p:你走;q:我留下;原命题符号化为:qp。习题 1.设 A、B、C 是任意命题公式,证明:AA 若 AB,则 BA 若 AB,BC,则 AC 证明:由双条件的定义可知 AA是一个永真式,由等价式的定义可知 AA成立。因为
8、 AB,由等价的定义可知 AB是一个永真式,再由双条件的定义可知BA也是一个永真式,所以,BA成立。对 A、B、C 的任一赋值,因为 AB,则 AB是永真式,即 A 与 B具有相同的真值,又因为 BC,则 BC 是永真式,即 B与 C 也具有相同的真值,所以 A与C 也具有相同的真值;即 AC 成立。2.设 A、B、C 是任意命题公式,若 ACBC,AB一定成立吗 若 ACBC,AB一定成立吗?若 A B,AB一定成立吗?解:不一定有 AB。若 A为真,B为假,C 为真,则 ACBC 成立,但AB不成立。不一定有 AB。若 A为真,B为假,C 为假,则 ACBC 成立,但 AB不成立。一定有
9、AB。3.构造下列命题公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。q(pq)p p(qr)(pq)(qp)(pq)(rq)r (p(pq)r)(q r)解:q(pq)p 的真值表如表所示。表 p q pq q(pq)q(pq)p 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 使得公式 q(pq)p 成真的赋值是:00,10,11,使得公式 q(pq)p成假的赋值是:01。p(qr)的真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1
10、 1 1 1 1 1 使得公式 p(qr)成真的赋值是:000,001,010,011,101,110,111,使得公式 p(qr)成假的赋值是:100。(pq)(qp)的真值表如表所示。表 p q pq qp(pq)(qp)0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 所有的赋值均使得公式(pq)(qp)成真,即(pq)(qp)是一个永真式。(pq)(rq)r的真值表如表所示。表 p q r q pq rq(pq)(rq)(pq)(rq)r 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
11、 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 使得公式(pq)(rq)r成真的赋值是:000,001,010,011,101,110,111,使得公式(pq)(rq)r成假的赋值是:100。(p(pq)r)(qr)的真值表如表所示。表 pqrpq p(pq)(p(pq)r qr(p(pq)r)(qr)0000 0 1 0 1 000 0 1 0 1 000 0 1 1 1 00 0 1 0 1 001 1 0 0 0 01 1 1 0 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0 1 使得公式(p(pq)r
12、)(qr)成真的赋值是:000,001,010,011,101,110,111,使得公式(p(pq)r)(qr)成假的赋值是:100。4.用真值表证明下列等价式:(pq)pq 证明:证明(pq)pq 的真值表如表所示。表 p q pq(pq)q pq 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 由上表可见:(pq)和 pq的真值表完全相同,所以(pq)pq。pqqp 证明:证明 pqqp的真值表如表所示。表 p q pq p q qp 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 由上表可见:
13、pq 和qp 的真值表完全相同,所以 pqqp。(pq)pq 证明:证明(pq)和 pq的真值表如表所示。表 p q pq(pq)q pq 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 由上表可见:(pq)和 pq的真值表完全相同,所以(pq)pq。p(qr)(pq)r 证明:证明 p(qr)和(pq)r的真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)pq(pq)r 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
14、 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 由上表可见:p(qr)和(pq)r的真值表完全相同,所以p(qr)(pq)r。p(qp)p(pq)证明:证明 p(qp)和p(pq)的真值表如表所示。表 p q qp p(qp)p q pq p(pq)0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由上表可见:p(qp)和p(pq)的真值表完全相同,且都是永真式,所以p(qp)p(pq)。(pq)(pq)(pq)证明:证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。表 p q pq(pq)pq pq(pq)(pq)(p
15、q)0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 由上表可见:(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同,所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)证明:证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。表 p q pq(pq)pq pq(pq)(pq)0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 由上表可见:(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同,所以(pq)(pq)(pq)。p(qr)(pq)r 证明:证明 p(qr)和(pq)r的
16、真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)q pq(pq)r 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 由上表可见:p(qr)和(pq)r的真值表完全相同,所以p(qr)(pq)r。5.用等价演算证明习题 4中的等价式。(pq)(pq)(条件等价式)pq(德 摩根律)qp qp(条件等价式)qp(双重否定律)pq(交换律)pq(条件等价式)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式
17、)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(qp)(德 摩根律)(pq)q)(pq)p)(分配律)(pq)(qp)(分配律)(pq)(qp)(交换律)(pq)(qp)(条件等价式)pq(双条件等价式)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德 摩根律)(pq)r(条件等价式)p(qp)p(qp)(条件等价式)T p(pq)p(pq)(条件等价式)T 所以 p(qp)p(pq)(pq)(pq)(pq)(例(pq)(pq)(德 摩根律)(pq)(pq)(德 摩根律)所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(p
18、q)(德 摩根律)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德 摩根律)(pq)r(条件等价式)6.试用真值表证明下列命题定律。结合律:(pq)rp(qr),(pq)rp(qr)证明:证明结合律的真值表如表和表所示。表 p q r pq(pq)r qr p(qr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 表 p q r pq(pq)r qr p(qr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
19、0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知结合律成立。分配律:p(qr)(pq)(pr),p(qr)(pq)(pr)证明:证明合取对析取的分配律的真值表如表所示,析取对合取的的分配律的真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)pq pr(pq)(pr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
20、1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 表 p q r qr p(qr)pq pr(pq)(pr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知分配律成立。假言易位式:pqqp 证明:证明假言易位式的真值表如表所示。表 p q pq q p qp 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 由真值
21、表可知假言易位律成立。双条件否定等价式:pqpq 证明:证明双条件否定的真值表如表所示。表 p q pq p q pq 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 由真值表可知双条件否定等价式成立。习题 1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。(pq)q(pq)q(条件等价式)(pq)q(德 摩根律)q(可满足式)(吸收律)(pq)q(pq)q(条件等价式)(pq)q(德 摩根律)F(永假式)(结合律、矛盾律)(pq)pq(pq)pq(条件等价式)(pp)(qp)q(分配律)(qp)q(同一律、矛盾律)(qp)q(条件等价式)(qp)q
22、(德 摩根律)T(永真式)(零律、排中律)(pq)q(pq)q(条件等价式)q(可满足式)(吸收律)(pq)(qp)(pq)(pq)(假言易位式)T(永真式)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(条件等价式)(pq)(qr)(pr)(德 摩根律)(pq)(pqr)(prr)(分配律)(pq)(pqr)(同一律、排中律、零律)(pqrp)(pqrq)(分配律)T(永真式)p(pq)p(pq)(条件等价式)T(永真式)p(pqr)p(pqr)(条件等价式)T(永真式)2.用真值表证明下列命题公式是重言式。(p(pq)q(p(pq)q的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q是重言式。
23、表 p q pq p(pq)(p(pq)q 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 (q(pq)p(q(pq)p 的真值表如表所示。由表可以看出(q(pq)p是重言式。表 p q pq q q(pq)p(q(pq)p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 (p(pq)q(p(pq)q 的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q 是重言式。表 p q pq p p(pq)(p(pq)q 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
24、(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(qr)(pr)是重言式。表 p q r pq qr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(pr)(qr)r是重言式。表 pqr pq pr qr(pq)(pr)
25、(qr)(pq)(pr)(qr)r 0000 1 1 0 1 0010 1 1 0 1 0101 1 0 0 1 0111 1 1 1 1 1001 0 1 0 1 1011 1 1 1 1 1101 0 0 0 1 1111 1 1 1 1 (pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(rs)(pr)(qs)是重言式。表 pqrspq rs(pq)(rs)pr qs(pr)(qs)原公式 00001 1 1 0 0 1 1 0001 1 1 0 0 1 1 0001 0 0 0 0 1 1 001 1 1 0 0 1 1 0001 1
26、 1 0 0 1 1 001 1 1 0 1 1 1 001 0 0 0 0 1 1 01 1 1 0 1 1 1 0000 1 0 0 0 1 1 000 1 0 0 0 1 1 000 0 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 0 1 001 1 1 0 0 1 1 01 1 1 0 1 1 1 01 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(qr)(pr)是重言式。表 p q r pq qr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0
27、 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3.用等价演算证明题 2中的命题公式是重言式。(p(pq)q(p(pq)q(p(pq)q(pp)(pq)q(pq)q T(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(pq)(pq)(pq)(pq)T(p(pq)q(pq)q(pq)q pqq T(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(pqr)(prr)(pq)(pqr)(pqrp)(pqrq)
28、T(pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r(pq)(pq)r)r(pq)r)r(pq)r)r(pq)rr T(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(prq)(prs)(pq)(rs)(prq)(pq)(rs)(prs)(rs)(prqp)(prqq)(rs)(prsp)(prsq)(rs)T)(rs)(pqrs)(rs)(pqrs)(pqrsr)(pqrss)T(pq)(qr)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pr)(pq)(pr)(rq)(qr)(qp
29、)(pr)(p(qr)(qr)(rq)(qp)(pr)(qr)(qr)(p(qr)(rq)(qp)(pr)(T(p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(qp)(pr)(rq)p(qr)(p(qr)(qr)p(qr)p(qr)T 4.证明下列等价式:(pr)(qr)(pr)(qr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)(pq)(pq)(pq)p(qq)pF p p(pq)p(pq)(pp)(pq)F(pq)pq 习题 1.求下列命题公式的析取范式。(pq)r(pq)r pqr(pq)r(pq)r(pq)r pqr p(pq)p(pq)(pp)(pq)pq(
30、pq)(qr)(pq)(qr)q(pr)(pq)(rt)(pq)(rt)(pqr)(pqt)2.求下列命题公式的合取范式。(pq)(pq)pq q(pqr)(qp)(qq)(qr)(qp)(qr)(pq)(pq)(pq)p)(pq)q)(pp)(qp)(pq)(qq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)r(pq)r(pq)r pqr 3.求下列命题公式的主析取范式,并求命题公式的成真赋值。(pq)(pr)作(pq)(pr)的真值表,如表所示。表 p q r pq pr(pq)(pr)0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
31、0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知,原式(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)5,6,7 使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是:101,110,111。(pq)(pr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqp)(pqr)pqr(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)1,2,3,4,5,6,7 使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是:001,010、011,100,101,110,111。(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表,如表所示。表 p q p
32、 q pq pq(pq)(pq)0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 由真值表可知:原式(pq)(pq)(pq)(主析取范式)1,2,3 使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是:01,10,11。(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pqp)(pqq)pq(pq)(pq)(pq)(主析取范式)0,2,3 使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是:00,10,11。(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
33、(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)使得命题公式(p(qr)(p(qr)成真的赋值是:000,111。4.求下列命题公式的主合取范式,并求命题公式的成假赋值。(pq)r(pq)r(pqr)(pqr)(pr)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)0,2,4,5,6 使得命题公式(pq)r 成假的赋值是:000,010,100,101,110。(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表,如表所示。表 p q pq(pq)q pq(pq)(pq)0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可知:原式(pq)(pq)0,1 使得命题公式(pq)(pq)成假的
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