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1、第章离散数学习题解答第章离散数学习题解答 LELE was finally revised on the morning of December 16,2020 第章离散数学习题解答 习题 1.下列句子中，哪些是命题哪些不是命题如果是命题，指出它的真值。中国有四大发明。计算机有空吗 不存在最大素数。21+35。老王是山东人或河北人。2与 3 都是偶数。小李在宿舍里。这朵玫瑰花多美丽呀!请勿随地吐痰!圆的面积等于半径的平方乘以。只有 6是偶数，3 才能是 2的倍数。雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。如果天下大雨，他就乘班车上班。解：是命题，其中是真命题，是假命题，的真值目前无法确定；不是命题。2

2、.将下列复合命题分成若干原子命题。李辛与李末是兄弟。因为天气冷，所以我穿了羽绒服。天正在下雨或湿度很高。刘英与李进上山。王强与刘威都学过法语。如果你不看电影，那么我也不看电影。我既不看电视也不外出，我在睡觉。除非天下大雨，否则他不乘班车上班。解：本命题为原子命题；p：天气冷；q：我穿羽绒服；p：天在下雨；q：湿度很高；p：刘英上山；q：李进上山；p：王强学过法语；q：刘威学过法语；p：你看电影；q：我看电影；p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；p：天下大雨；q：他乘班车上班。3.将下列命题符号化。他一面吃饭，一面听音乐。3是素数或 2 是素数。若地球上没有树木，则人类不能生存。8是偶数的充分

3、必要条件是 8能被 3 整除。停机的原因在于语法错误或程序错误。四边形 ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。如果 a和 b 是偶数，则 a+b 是偶数。解：p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：pq p：3是素数；q：2 是素数；原命题符号化为：pq p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：pq p：8是偶数；q：8 能被 3整除；原命题符号化为：pq p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：qrp p：四边形 ABCD 是平行四边形；q：四边形 ABCD的对边平行；原命题符号化为：pq。p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：pqr 4

4、.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。如果 3+3=6，则雪是白的。如果 3+36，则雪是白的。如果 3+3=6，则雪不是白的。如果 3+36，则雪不是白的。是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。2+3=5的充要条件是 是无理数。(假定是 10 进制)若两圆 O1，O2 的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设 p：336。q：雪是白的。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为：pq；该命题是假命题。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题

5、符号化为：pq；该命题是假命题。p：2+35；q：是无理数；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：两圆 O1,O2 的面积相等；q：两圆 O1,O2的半径相等；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。习题 1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。(pqr)(p(qr)(pq)(rs)(pqrs)(p(qr)(qp)qr)。解：是合式公式；不是合式公式。2.设 p：天下雪。q：我将进城。r：我有时间。将下列命题符号化。天没有下雪，我也没有进城。如果我有时间，我将进城。如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解：

6、pq rq prq 3.设 p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。rq (rq)q(r p)(qr)(rq)解：我有时间并且我将进城。我没有时间并且我也没有进城。我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。4.试把原子命题表示为 p、q、r等，将下列命题符号化。或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。如果张三和李四都不去，他就去。我们不能既划船又跑步。如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解：p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p q)(pq)。p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：pqr。p：我们划船；

7、q：我们跑步；原命题符号化为：（pq）。p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p（qr）。5.用符号形式写出下列命题。假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。我今天进城，除非下雨。仅当你走，我将留下。解：p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（pq）（prs）。p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：qp。p：你走；q：我留下；原命题符号化为：qp。习题 1.设 A、B、C 是任意命题公式，证明：AA 若 AB，则 BA 若 AB，BC，则 AC 证明：由双条件的定义可知 AA是一个永真式，由等价式的定义可知 AA成立。因为

8、 AB，由等价的定义可知 AB是一个永真式，再由双条件的定义可知BA也是一个永真式，所以，BA成立。对 A、B、C 的任一赋值，因为 AB，则 AB是永真式，即 A 与 B具有相同的真值，又因为 BC，则 BC 是永真式，即 B与 C 也具有相同的真值，所以 A与C 也具有相同的真值；即 AC 成立。2.设 A、B、C 是任意命题公式，若 ACBC,AB一定成立吗 若 ACBC,AB一定成立吗？若 A B，AB一定成立吗？解：不一定有 AB。若 A为真，B为假，C 为真，则 ACBC 成立，但AB不成立。不一定有 AB。若 A为真，B为假，C 为假，则 ACBC 成立，但 AB不成立。一定有

9、AB。3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。q(pq)p p(qr)(pq)(qp)(pq)(rq)r (p(pq)r)(q r)解：q(pq)p 的真值表如表所示。表 p q pq q(pq)q(pq)p 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 使得公式 q(pq)p 成真的赋值是：00，10，11，使得公式 q(pq)p成假的赋值是：01。p(qr)的真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1

10、 1 1 1 1 1 使得公式 p(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式 p(qr)成假的赋值是：100。(pq)(qp)的真值表如表所示。表 p q pq qp(pq)(qp)0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 所有的赋值均使得公式(pq)(qp)成真，即(pq)(qp)是一个永真式。(pq)(rq)r的真值表如表所示。表 p q r q pq rq(pq)(rq)(pq)(rq)r 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1

11、 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 使得公式(pq)(rq)r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(pq)(rq)r成假的赋值是：100。(p(pq)r)(qr)的真值表如表所示。表 pqrpq p(pq)(p(pq)r qr(p(pq)r)(qr)0000 0 1 0 1 000 0 1 0 1 000 0 1 1 1 00 0 1 0 1 001 1 0 0 0 01 1 1 0 1 00 1 0 1 1 0 1 1 0 1 使得公式(p(pq)r

12、)(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p(pq)r)(qr)成假的赋值是：100。4.用真值表证明下列等价式：(pq)pq 证明：证明(pq)pq 的真值表如表所示。表 p q pq(pq)q pq 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 由上表可见：(pq)和 pq的真值表完全相同，所以(pq)pq。pqqp 证明：证明 pqqp的真值表如表所示。表 p q pq p q qp 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 由上表可见：

13、pq 和qp 的真值表完全相同，所以 pqqp。(pq)pq 证明：证明(pq)和 pq的真值表如表所示。表 p q pq(pq)q pq 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 由上表可见：(pq)和 pq的真值表完全相同，所以(pq)pq。p(qr)(pq)r 证明：证明 p(qr)和(pq)r的真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)pq(pq)r 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

14、 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 由上表可见：p(qr)和(pq)r的真值表完全相同，所以p(qr)(pq)r。p(qp)p(pq)证明：证明 p(qp)和p(pq)的真值表如表所示。表 p q qp p(qp)p q pq p(pq)0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由上表可见：p(qp)和p(pq)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p(qp)p(pq)。(pq)(pq)(pq)证明：证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。表 p q pq(pq)pq pq(pq)(pq)(p

15、q)0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 由上表可见：(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同，所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)证明：证明(pq)和(pq)(pq)的真值表如表所示。表 p q pq(pq)pq pq(pq)(pq)0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 由上表可见：(pq)和(pq)(pq)的真值表完全相同，所以(pq)(pq)(pq)。p(qr)(pq)r 证明：证明 p(qr)和(pq)r的

16、真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)q pq(pq)r 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 由上表可见：p(qr)和(pq)r的真值表完全相同，所以p(qr)(pq)r。5.用等价演算证明习题 4中的等价式。(pq)(pq)(条件等价式)pq(德 摩根律)qp qp(条件等价式)qp(双重否定律)pq(交换律)pq(条件等价式)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式

17、)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(qp)(德 摩根律)(pq)q)(pq)p)(分配律)(pq)(qp)(分配律)(pq)(qp)(交换律)(pq)(qp)(条件等价式)pq(双条件等价式)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德 摩根律)(pq)r(条件等价式)p(qp)p(qp)(条件等价式)T p(pq)p(pq)(条件等价式)T 所以 p(qp)p(pq)(pq)(pq)(pq)(例(pq)(pq)(德 摩根律)(pq)(pq)(德 摩根律)所以(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(qp)(双条件等价式)(pq)(qp)(条件等价式)(pq)(p

18、q)(德 摩根律)p(qr)p(qr)(条件等价式)(pq)r(结合律)(pq)r(德 摩根律)(pq)r(条件等价式)6.试用真值表证明下列命题定律。结合律：(pq)rp(qr)，(pq)rp(qr)证明：证明结合律的真值表如表和表所示。表 p q r pq(pq)r qr p(qr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 表 p q r pq(pq)r qr p(qr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

19、0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知结合律成立。分配律：p(qr)(pq)(pr)，p(qr)(pq)(pr)证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。表 p q r qr p(qr)pq pr(pq)(pr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1

20、1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 表 p q r qr p(qr)pq pr(pq)(pr)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知分配律成立。假言易位式：pqqp 证明：证明假言易位式的真值表如表所示。表 p q pq q p qp 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 由真值

21、表可知假言易位律成立。双条件否定等价式：pqpq 证明：证明双条件否定的真值表如表所示。表 p q pq p q pq 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 由真值表可知双条件否定等价式成立。习题 1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。(pq)q(pq)q（条件等价式）(pq)q（德 摩根律）q（可满足式）（吸收律）(pq)q(pq)q（条件等价式）(pq)q（德 摩根律）F（永假式）（结合律、矛盾律）(pq)pq(pq)pq（条件等价式）(pp)(qp)q（分配律）(qp)q（同一律、矛盾律）(qp)q（条件等价式）(qp)q

22、（德 摩根律）T(永真式)（零律、排中律）(pq)q(pq)q（条件等价式）q（可满足式）（吸收律）(pq)(qp)(pq)(pq)（假言易位式）T(永真式)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)（条件等价式）(pq)(qr)(pr)（德 摩根律）(pq)(pqr)(prr)（分配律）(pq)(pqr)（同一律、排中律、零律）(pqrp)(pqrq)（分配律）T(永真式)p(pq)p(pq)（条件等价式）T(永真式)p(pqr)p(pqr)（条件等价式）T(永真式)2.用真值表证明下列命题公式是重言式。(p(pq)q(p(pq)q的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q是重言式。

23、表 p q pq p(pq)(p(pq)q 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 (q(pq)p(q(pq)p 的真值表如表所示。由表可以看出(q(pq)p是重言式。表 p q pq q q(pq)p(q(pq)p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 (p(pq)q(p(pq)q 的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q 是重言式。表 p q pq p p(pq)(p(pq)q 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1

24、(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(qr)(pr)是重言式。表 p q r pq qr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(pr)(qr)r是重言式。表 pqr pq pr qr(pq)(pr)

25、(qr)(pq)(pr)(qr)r 0000 1 1 0 1 0010 1 1 0 1 0101 1 0 0 1 0111 1 1 1 1 1001 0 1 0 1 1011 1 1 1 1 1101 0 0 0 1 1111 1 1 1 1 (pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(rs)(pr)(qs)是重言式。表 pqrspq rs(pq)(rs)pr qs(pr)(qs)原公式 00001 1 1 0 0 1 1 0001 1 1 0 0 1 1 0001 0 0 0 0 1 1 001 1 1 0 0 1 1 0001 1

26、 1 0 0 1 1 001 1 1 0 1 1 1 001 0 0 0 0 1 1 01 1 1 0 1 1 1 0000 1 0 0 0 1 1 000 1 0 0 0 1 1 000 0 0 1 0 0 1 00 1 0 1 0 0 1 001 1 1 0 0 1 1 01 1 1 0 1 1 1 01 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)的真值表如表所示。由表可以看出(pq)(qr)(pr)是重言式。表 p q r pq qr(pq)(qr)pr(pq)(qr)(pr)0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0

27、 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3.用等价演算证明题 2中的命题公式是重言式。(p(pq)q(p(pq)q(p(pq)q(pp)(pq)q(pq)q T(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(q(pq)p(pq)(pq)(pq)(pq)T(p(pq)q(pq)q(pq)q pqq T(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(qr)(pr)(pq)(pqr)(prr)(pq)(pqr)(pqrp)(pqrq)

28、T(pq)(pr)(qr)r(pq)(pr)(qr)r(pq)(pq)r)r(pq)r)r(pq)r)r(pq)rr T(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(pr)(qs)(pq)(rs)(prq)(prs)(pq)(rs)(prq)(pq)(rs)(prs)(rs)(prqp)(prqq)(rs)(prsp)(prsq)(rs)T)(rs)(pqrs)(rs)(pqrs)(pqrsr)(pqrss)T(pq)(qr)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pq)(qp)(qr)(rq)(pr)(pr)(pq)(pr)(rq)(qr)(qp

29、)(pr)(p(qr)(qr)(rq)(qp)(pr)(qr)(qr)(p(qr)(rq)(qp)(pr)(T(p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(rq)(qp)(pr)p(qr)(qp)(pr)(rq)p(qr)(p(qr)(qr)p(qr)p(qr)T 4.证明下列等价式：(pr)(qr)(pr)(qr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)(pq)(pq)(pq)p(qq)pF p p(pq)p(pq)(pp)(pq)F(pq)pq 习题 1.求下列命题公式的析取范式。(pq)r(pq)r pqr(pq)r(pq)r(pq)r pqr p(pq)p(pq)(pp)(pq)pq(

30、pq)(qr)(pq)(qr)q(pr)(pq)(rt)(pq)(rt)(pqr)(pqt)2.求下列命题公式的合取范式。(pq)(pq)pq q(pqr)(qp)(qq)(qr)(qp)(qr)(pq)(pq)(pq)p)(pq)q)(pp)(qp)(pq)(qq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)r(pq)r(pq)r pqr 3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。(pq)(pr)作(pq)(pr)的真值表，如表所示。表 p q r pq pr(pq)(pr)0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1

31、0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 由真值表可知，原式(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)5,6,7 使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是：101，110，111。(pq)(pr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqp)(pqr)pqr(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)1,2,3,4,5,6,7 使得命题公式(pq)(pr)成真的赋值是：001，010、011，100，101，110，111。(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表，如表所示。表 p q p

32、 q pq pq(pq)(pq)0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 由真值表可知:原式(pq)(pq)(pq)(主析取范式)1,2,3 使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是：01，10，11。(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)(pqp)(pqq)pq(pq)(pq)(pq)(主析取范式)0,2,3 使得命题公式(pq)(pq)成真的赋值是：00,10,11。(p(qr)(p(qr)(p(qr)(p(qr)(pq)(pr)(pq)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)

33、(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(主析取范式)使得命题公式(p(qr)(p(qr)成真的赋值是：000,111。4.求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。(pq)r(pq)r(pqr)(pqr)(pr)(pr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)0,2,4,5,6 使得命题公式(pq)r 成假的赋值是：000,010,100,101,110。(pq)(pq)作(pq)(pq)的真值表，如表所示。表 p q pq(pq)q pq(pq)(pq)0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可知:原式(pq)(pq)0,1 使得命题公式(pq)(pq)成假的