空间中直线与直线之间的位置关系高中数学知识点讲解含答案.docx
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空间中直线与直线之间的位置关系高中数学知识点讲解含答案
空间中直线与直线之间的位置关系（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共7小题）
1．（2019春•通州区期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，且，，那么下列命题
mn//m
中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，
nm//nn//mn//nmnn
则nm
2．（2016秋•西城区期末）如图，E为正四棱锥PABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：
①侧面PBC可以是正三角形；
②侧面PBC可以是直角三角形；
③侧面PAB上存在直线与CE平行；
④侧面PAB上存在直线与CE垂直．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①④
3．（2017秋•海淀区校级期中）如图，在正方体ABCDABCD中，E、F分别是棱BC，DC的中点，
111111
BGGCDFEG（）
121，直线、的位置关系是
A．平行B．相交垂直C．相交不垂直D．异面
4．（2016秋•密云县期末）已知正方体ABCDABCD，点E，F，G分别是线段BB，AB和AC上的动点，观
111111
察直线CE与DF，CE与DG．给出下列结论：
11
第1页（共17页）
①对于任意给定的点，存在点，使得；
EFDFCE
1
②对于任意给定的点，存在点，使得；
FECEDF
1
③对于任意给定的点，存在点，使得；
EGDGCE
1
④对于任意给定的点G，存在点E，使得CEDG．
1
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．（2015秋•石景山区期末）已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面内一定存在一条直线
mlm（）
，使得直线与直线
A．平行B．相交C．异面D．垂直
6．（2015秋•海淀区期末）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2016秋•朝阳区校级期中）在正方体ABCDABCD的棱所在的直线中，与直线AB垂直的异面直线共有（
1111
）
A．1条B．2条C．4条D．8条
二．填空题（共4小题）
8．（2016秋•房山区校级期中）在正方体ABCDABCD中，若E是AC的中点，则直线CE垂直于 ．（选择
111111
正确序号填入横线）
第2页（共17页）
①②③④．
ACBDADAD
111
9．（2014秋•大兴区校级月考）若直线a，b同时和第三条直线垂直，则直线a，b的位置关系是 ．
10．（2014•海淀区校级模拟）给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，l//m，则m；
（3）已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的充要条件；
（4）、表示直线，、、表示平面，若，，，则；
mnImInnm
（5）m表示直线，、表示平面，若m，m，则//．
其中正确的命题是 （只填序号）．
11．（2012秋•海淀区校级期末）已知直线m，n，平面，，给出下列命题：
①若，，则；
mm
②若//，，则；
mm////
③若，，则；
mm//
④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．
其中正确的命题的题号为 ．
三．解答题（共4小题）
12．（2019•西城区校级模拟）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底ABCD，SAAD1，
点M是SD的中点，ANSC，交SC于点N．
（1）求证：
SCAM；
（2）求AMN的面积．
13．（2017秋•西城区校级期中）若P为ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC．
求证：
BCAC．
第3页（共17页）
14．（2016秋•西城区校级期中）空间四边形ABCD中，ADBCa，与直线AD，BC都平行的平面分别交AB，
ACCDBDEFGH
，，于，，，．
（1）求证：
四边形EFGH是平行四边形；
（2）求四边形EFGH的周长．
15．（2016秋•朝阳区校级期中）如图所示，在三棱柱ABCABC中，AABB为正方形，BBCC是菱形，平面
1111111
AABBBBCC
平面．
1111
（Ⅰ）求证：
BC//平面ABC；
11
（Ⅱ）求证：
BCAC．
11
第4页（共17页）
空间中直线与直线之间的位置关系（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2019春•通州区期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，且，，那么下列命题
mn//m
中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，
nm//nn//mn//nmnn
则
nm
【分析】在中，与平行或异面；在中，或，或；在中，与相交、平行或；
AmnBn//nnCnn
在中，由线面垂直的性质定理得．
Dnm
【解答】解：
由，是两条不同直线，，是两个不同平面，且，，知：
mn//m
在中，若，则与平行或异面，故错误；
AnmnA
在中，若，则或，或，故错误；
Bn//mn//nnB
在中，若，则与相交、平行或，故错误；
CnmnnC
在D中，若n，则由线面垂直的性质定理得nm，故D正确．
故选：
D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，
是中档题．
2．（2016秋•西城区期末）如图，E为正四棱锥PABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：
①侧面PBC可以是正三角形；
②侧面PBC可以是直角三角形；
③侧面PAB上存在直线与CE平行；
④侧面PAB上存在直线与CE垂直．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
第5页（共17页）
A．①②③B．①③④C．②④D．①④
【分析】在①中，当侧棱与底面边长相等时，侧面是正三角形；在②中，当侧面是直角三角形时，
PBPBCPBC
PABCEED
BPCCPDDPAAPB90，这不成立；在③中，若侧面上存在直线与平行，则与点一
定重合，与已知矛盾；在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE垂直．
【解答】解：
由E为正四棱锥PABCD侧棱PD上异于P，D的一点，知：
在①中，当侧棱PB与底面边长相等时，侧面PBC是正三角形，故①正确；
在②中，Q正四棱锥PABCD中PBPCPAPD，
PBCBPCCPDDPAAPB90
当侧面是直角三角形时，，
QBPCCPDDPAAPB90
不成立，
故侧面PBC不可以是直角三角形，故②错误；
在③中，若侧面PAB上存在直线与CE平行，则E与D点一定重合，
与已知为正四棱锥PABCD侧棱PD上异于P，D的一点矛盾，
故侧面PAB上不存在直线与CE平行，故③错误；
在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE垂直，故④正确．
故选：
D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的益关系的合
理运用．
3．（2017秋•海淀区校级期中）如图，在正方体ABCDABCD中，E、F分别是棱BC，DC的中点，
111111
BGGCDFEG（）
121
，直线、的位置关系是
A．平行B．相交垂直C．相交不垂直D．异面
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立空间直角系．求出相关的坐标，利用向量的数量积
1
第6页（共17页）
转化求解即可．
【解答】解：
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角系．
DDAxDCyDDz
1
111
设正方体边长为1，则D（0，0，0），F（0,,1），E（,1,0），G（,1,1），
224
uuuruuur1uuur111
uuur
1
DF（0,,1）（,0,1）FG（,,0）DE（,1,0）
，EG，，．
24422
Q
uuuruuur
1
FGDE
2
，FG//DE，即D、E、F、G四点共面．
又由DFgEG1，且不存在使DFEG，故DF，EG相交但不垂直，
即直线DF、EG相交但不垂直．
故选：
C．
【点评】本题考查空间几何体是直线与直线的位置关系的应用，向量的数量积的应用，考查空间想象力以及计算能
力．
4．（2016秋•密云县期末）已知正方体ABCDABCD，点E，F，G分别是线段BB，AB和AC上的动点，观
111111
察直线CE与DF，CE与DG．给出下列结论：
11
①对于任意给定的点E，存在点F，使得DFCE；
1
②对于任意给定的点F，存在点E，使得CEDF；
1
③对于任意给定的点E，存在点G，使得DGCE；
1
④对于任意给定的点G，存在点E，使得CEDG．
1
其中正确结论的个数是（ ）
第7页（共17页）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，分别分析选项，利用排除法能得出结论．
【解答】解：
①只有平面BCCB，即平面ADDA时，
DFDF
111111
才能满足对于任意给定的点E，存在点F，使得DFCE，
1
Q
过D点于平面DDAA垂直的直线只有一条DC，
11111
而11//，
DCAB
①错误；
②当点E与B重合时，
1
CEAB，且CEAD1，
CE
平面ABD，
1
QFDF
对于任意给定的点，都有平面ABD，
11
对于任意给定的点F，存在点E，使得CEDF，
1
②正确；
③只有垂直DG在平面BCCB中的射影时，DGCE，
CE
1111
③正确；
④只有CE平面ACD时，④才正确，
11
QC
过点的平面ACD的垂线与BB无交点，
111
④错误．
故选：
C．
【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
5．（2015秋•石景山区期末）已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面内一定存在一条直线
m，使得直线l与直线m（ ）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
第8页（共17页）
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：
当直线与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：
异面、相交，此时就
aa
不可能平行了，故错．
A
当直线与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：
异面、平行，此时就不可能相交了，
aa
故错．
B
当直线在平面内时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：
平行、相交，此时就不可能异面了，
aa
故c错．
不管直线a与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线b垂直，
因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确．
故选：
D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的
合理运用．
6．（2015秋•海淀区期末）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．
【解答】解：
“直线，没有公共点”“直线，互为异面直线或直线，为平行线”，
ababab
“直线，互为异面直线”“直线，没有公共点”，
abab
“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．
故选：
B．
【点评】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要注意充分条件、必要条件、充要条件的性
质的合理运用．
7．（2016秋•朝阳区校级期中）在正方体ABCDABCD的棱所在的直线中，与直线AB垂直的异面直线共有（
1111
）
A．1条B．2条C．4条D．8条
第9页（共17页）
【分析】由已知条件利用垂直和异面直线的概念，结合正方体的结构特征直接求解．
【解答】解：
如图，在正方体的棱所在的直线中，
ABCDABCD
1111
与直线AB垂直的异面直线有：
DD
1
、CC、AD，BC，共四条，
11111
故选：
C．
【点评】本题考查异面直线的条数的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用．
二．填空题（共4小题）
8．（2016秋•房山区校级期中）在正方体ABCDABCD中，若E是AC的中点，则直线CE垂直于 ② ．（选择
111111
正确序号填入横线）
①AC②BD③AD④AD．
111
【分析】推导出BDAC，BDAA，从而BD平面ACCA，由此能证明直线CE垂直于BD．
111
【解答】解：
Q在正方体ABCDABCD中，E是AC的中点，
111111
BDAC
，，
BDAA
1
QI
ACAAA
1
，
BD
平面ACCA，
11
QCE
平面ACCA，
11
直线CE垂直于BD．
故答案为：
②．
第10页（共17页）
【点评】本题考查两直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解
能力，考查函数与方程思想，是中档题．
9．（2014秋•大兴区校级月考）若直线a，b同时和第三条直线垂直，则直线a，b的位置关系是 相交、平行或异
面 ．
【分析】以正方体为载体，能判断直线a，b的位置关系．
【解答】解：
如图，在正方体中，
ABCDABCD
1111
ABBCBBABBC
和都同时垂直，和相交，
1
AB
和AB都同时垂直，和平行，
BBABAB
11111
AB
和BC都同时垂直，和异面，
BBABBC
11111
若直线a，b同时和第三条直线垂直，则直线a，b的位置关系是相交、平行或异面．
故答案为：
相交、平行或异面．
【点评】本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．（2014•海淀区校级模拟）给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，是一个平面，若l，l//m，则m；
（3）已知，表示两个不同平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的充要条件；
mm
（4）、表示直线，、、表示平面，若，，，则；
mnImInnm
（5）m表示直线，、表示平面，若m，m，则//．
其中正确的命题是
（2）（5） （只填序号）．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
第11页（共17页）
【解答】解：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故
（1）错误；
（2）设l，m是不同的直线，是一个平面，
若l，l//m，则由直线与平南垂直的判定定理得m，故
（2）正确；
（3）已知，表示两个不同平面，m为平面内的一条直线，
则“”是“m”的不充分不必要条件，故（3）错误；
（4）m、n表示直线，、、表示平面，
若，，，则与相交、平行或异面，故（4）错误；
ImInnm
（5）m表示直线，、表示平面，若m，m，
则由平面与平面平行的判定定理得//，故（5）正确．
故答案为：
（2）（5）
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11．（2012秋•海淀区校级期末）已知直线，，平面，，给出下列命题：
mn
①若，，则；
mm
②若，，则；
m//m////
③若，，则；
mm//
④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．
其中正确的命题的题号为 ③④ ．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：
①若，，则，
mm
此命题不正确，因为由，，可得出，故命题错误；
mm//
②若m//，m//，则//，
此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行；
③若，，则，
mm//
此命题正确，因为，则一定存在直线在，使得，
m//nm//n
又可得出，由面面垂直的判定定理知，；
mn
④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直，
第12页（共17页）
此命题正确，因为两异面直线一定存在一条公垂线，
此公垂线与一条线所成的平面一定与两条异面直线中的另一条垂直，
故若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直是正确的．
综上知③④是正确命题．
故答案为：
③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
三．解答题（共4小题）
12．（2019•西城区校级模拟）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底ABCD，SAAD1，
点M是SD的中点，ANSC，交SC于点N．
（1）求证：
SCAM；
（2）求AMN的面积．
【分析】
（1）推导出SACD，从而CD面SAD，进而CDAM，再推导出AMSD，从而AM面SCD，由
此能证明．
SCAM
（2）推导出VVV，由此能求出AMN的面积．
SACMSDACMMMADC
【解答】证明：
（1）QSA底面ABCD，CD平面ABCD，
SACD，（1分）
QADISAACDSAD
CDAD，，面（2分）
QAM面SAD，CDAM，（3分）
又SAAD1，点M是SD的中点，AMSD，（4分）
QIAMSCD
SDCDD，面，（5分）
QSC面SDC，SCAM．（6分）
解：
（2）QM是SD的中点，VVV，（7分）
SACMSDACMMMADC
111111
VSgSAgg
（8分）SACMACD
3232212
QAN
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