空间中直线与直线之间的位置关系高中数学知识点讲解含答案.docx

1、空间中直线与直线之间的位置关系高中数学知识点讲解含答案空间中直线与直线之间的位置关系（北京习题集）（教师版）一选择题（共 7 小题）1（2019 春通州区期末）已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，且 ， ，那么下列命题m n / / m 中正确的是 ( )A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，n m / /n n / /m n / / n m n n 则 n m2（2016 秋西城区期末）如图， E 为正四棱锥 P ABCD 侧棱 PD 上异于 P ， D 的一点，给出下列结论：侧面 PBC 可以是正三角形；侧面 PBC 可以是直角三角形；侧面 PAB 上存在直线与CE 平行

2、；侧面 PAB 上存在直线与CE 垂直其中，所有正确结论的序号是 ( )A B C D3（2017 秋海淀区校级期中）如图，在正方体 ABCD A B C D 中， E 、 F 分别是棱 BC ， D C 的中点，1 1 1 1 1 1B G GC DF EG ( )1 2 1 ，直线 、 的位置关系是 A平行 B相交垂直 C相交不垂直 D异面4（2016 秋密云县期末）已知正方体 ABCD A B C D ，点 E ， F ，G 分别是线段 B B ， AB 和 AC 上的动点，观1 1 1 1 1 1察直线CE 与 D F ，CE 与 D G 给出下列结论：1 1第 1 页（共 17 页）

3、对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ；E F D F CE1对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ；F E CE D F1对于任意给定的点 ，存在点 ，使得 ；E G D G CE1对于任意给定的点G ，存在点 E ，使得CE D G 1其中正确结论的个数是 ( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个5（2015 秋石景山区期末）已知一个平面 ，那么对于空间内的任意一条直线 l ，在平面 内一定存在一条直线m l m( )，使得直线 与直线 A平行 B相交 C异面 D垂直6（2015 秋海淀区期末）在空间中，“直线 a ，b 没有公共点”是“直线 a ，b 互为异面直线”的 ( )A充分而不必

4、要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7（2016 秋朝阳区校级期中）在正方体 ABCD A B C D 的棱所在的直线中，与直线 AB 垂直的异面直线共有 ( 1 1 1 1)A1 条 B2 条 C4 条 D8 条二填空题（共 4 小题）8（2016 秋房山区校级期中）在正方体 ABCD A B C D 中，若 E 是 AC 的中点，则直线 CE 垂直于 （选择1 1 1 1 1 1正确序号填入横线）第 2 页（共 17 页） AC BD A D A D1 1 19（2014 秋大兴区校级月考）若直线 a ，b 同时和第三条直线垂直，则直线 a ，b 的位置关系是

5、10（2014海淀区校级模拟）给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设l ， m 是不同的直线， 是一个平面，若l ，l / /m ，则 m ；（3）已知 ， 表示两个不同平面， m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m ”的充要条件；（4） 、 表示直线， 、 、 表示平面，若 ， ， ，则 ；m n I m I n n m（5） m 表示直线， 、 表示平面，若 m ， m ，则 / / 其中正确的命题是 （只填序号）11（2012 秋海淀区校级期末）已知直线 m ， n ，平面 ， ，给出下列命题：若 ， ，则 ；m m 若 / / ， ，则 ；m m / /

6、/ / 若 ， ，则 ；m m / / 若异面直线 m ， n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直其中正确的命题的题号为 三解答题（共 4 小题）12（2019西城区校级模拟）如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， SA 底 ABCD ， SA AD 1，点 M 是 SD 的中点， AN SC ，交 SC 于点 N （1）求证： SC AM ；（2）求 AMN 的面积13（2017 秋西城区校级期中）若 P 为 ABC 所在平面外一点，且 PA 平面 ABC ，平面 PAC 平面 PBC 求证： BC AC 第 3 页（共 17 页）14（2016 秋西城区校级期

7、中）空间四边形 ABCD 中， AD BC a ，与直线 AD ， BC 都平行的平面分别交 AB ，AC CD BD E F G H， ， 于 ， ， ， （1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；（2）求四边形 EFGH 的周长15（2016 秋朝阳区校级期中）如图所示，在三棱柱 ABC A B C 中， AA B B 为正方形， BB C C 是菱形，平面1 1 1 1 1 1 1AA B B BB C C平面 1 1 1 1（）求证： BC / / 平面 AB C ；1 1（）求证： B C AC 1 1第 4 页（共 17 页）空间中直线与直线之间的位置关系（北京习题集）（教师版）

8、参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1（2019 春通州区期末）已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，且 ， ，那么下列命题m n / / m 中正确的是 ( )A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，n m / /n n / /m n / / n m n n 则n m【分析】在 中， 与 平行或异面；在 中， 或 ，或 ；在 中， 与 相交、平行或 ；A m n B n / / n n C n n 在 中，由线面垂直的性质定理得 D n m【解答】解：由 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，且 ， ，知：m n / / m 在 中，若 ，则 与 平行或异面，故 错误

9、；A n m n A在 中，若 ，则 或 ，或 ，故 错误；B n / /m n / / n n B在 中，若 ，则 与 相交、平行或 ，故 错误；C n m n n C在 D 中，若 n ，则由线面垂直的性质定理得 n m ，故 D 正确故选： D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题2（2016 秋西城区期末）如图， E 为正四棱锥 P ABCD 侧棱 PD 上异于 P ， D 的一点，给出下列结论：侧面 PBC 可以是正三角形；侧面 PBC 可以是直角三角形；侧面 PAB 上存在直线与CE 平行；侧面 PAB 上存在

10、直线与CE 垂直其中，所有正确结论的序号是 ( )第 5 页（共 17 页）A B C D【分析】在中，当侧棱 与底面边长相等时，侧面 是正三角形；在中，当侧面 是直角三角形时，PB PBC PBC PAB CE E DBPC CPD DPA APB 90 ，这不成立；在中，若侧面 上存在直线与 平行，则 与 点一定重合，与已知矛盾；在中，侧面 PAB 上一定存在直线与CE 垂直【解答】解：由 E 为正四棱锥 P ABCD 侧棱 PD 上异于 P ， D 的一点，知：在中，当侧棱 PB 与底面边长相等时，侧面 PBC 是正三角形，故正确；在中，Q正四棱锥 P ABCD 中 PB PC PA P

11、D ， PBC BPC CPD DPA APB 90 当侧面 是直角三角形时， ，Q BPC CPD DPA APB 90 不成立，故侧面 PBC 不可以是直角三角形，故错误；在中，若侧面 PAB 上存在直线与CE 平行，则 E 与 D 点一定重合，与已知为正四棱锥 P ABCD 侧棱 PD 上异于 P ， D 的一点矛盾，故侧面 PAB 上不存在直线与CE 平行，故错误；在中，侧面 PAB 上一定存在直线与CE 垂直，故正确故选： D 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的益关系的合理运用3（2017 秋海淀区校级期中）如图，在正方体 AB

12、CD A B C D 中， E 、 F 分别是棱 BC ， D C 的中点，1 1 1 1 1 1B G GC DF EG ( )1 2 1，直线 、 的位置关系是 A平行 B相交垂直 C相交不垂直 D异面【分析】以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD 为 z 轴建立空间直角系求出相关的坐标，利用向量的数量积1第 6 页（共 17 页）转化求解即可【解答】解：如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角系D DA x DC y DD z11 1 1设正方体边长为 1，则 D(0 ，0， 0) ， F(0, ,1) ， E( ,1, 0) ，G( ,1,1)

13、 ，2 2 4uuur uuur 1 uuur 1 1 1uuur1 DF (0, ,1) ( , 0,1) FG ( , ,0) DE ( ,1, 0)， EG ， ， 2 4 4 2 2Quuur uuur1FG DE2， FG / /DE ，即 D 、 E 、 F 、G 四点共面又由 DFgEG 1，且不存在 使 DF EG ，故 DF ， EG 相交但不垂直，即直线 DF 、 EG 相交但不垂直故选：C 【点评】本题考查空间几何体是直线与直线的位置关系的应用，向量的数量积的应用，考查空间想象力以及计算能力4（2016 秋密云县期末）已知正方体 ABCD A B C D ，点 E ， F

14、 ，G 分别是线段 B B ， AB 和 AC 上的动点，观1 1 1 1 1 1察直线CE 与 D F ，CE 与 D G 给出下列结论：1 1对于任意给定的点 E ，存在点 F ，使得 D F CE ；1对于任意给定的点 F ，存在点 E ，使得CE D F ；1对于任意给定的点 E ，存在点G ，使得 D G CE ；1对于任意给定的点G ，存在点 E ，使得CE D G 1其中正确结论的个数是 ( )第 7 页（共 17 页）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，分别分析选项，利用排除法能得出结论【解答】解：只有 平面 BCC B ，即 平

15、面 ADD A 时，D F D F 1 1 1 1 1 1才能满足对于任意给定的点 E ，存在点 F ，使得 D F CE ，1Q过 D 点于平面 DD A A垂直的直线只有一条 D C ，1 1 1 1 1而 1 1 / / ，D C AB 错误；当点 E 与 B 重合时，1CE AB ，且CE AD1， CE 平面 ABD ，1Q F D F 对于任意给定的点 ，都有 平面 ABD ，1 1 对于任意给定的点 F ，存在点 E ，使得CE D F ，1 正确；只有 垂直 D G 在平面 BCC B 中的射影时， D G CE ，CE1 1 1 1 正确；只有CE 平面 ACD 时，才正确，

16、1 1Q C过 点的平面 ACD 的垂线与 BB 无交点，1 1 1 错误故选：C 【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养5（2015 秋石景山区期末）已知一个平面 ，那么对于空间内的任意一条直线 l ，在平面 内一定存在一条直线m ，使得直线l 与直线 m( )A平行 B相交 C异面 D垂直第 8 页（共 17 页）【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：当直线 与平面 相交时，平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种：异面、相交，此时就a a不可能平行了，故 错A当直线 与平面 平行时，平面 内的任意一条直

17、线与直线 的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，a a故 错B当直线 在平面 内时，平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，a a故 c 错不管直线 a 与平面 的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面 内找到一条直线与直线b 垂直，因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故 D 正确故选： D 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用6（2015 秋海淀区期末）在空间中，“直线 a ，b 没有公共点”是“直线 a ，b 互为异面直线”的 ( )A充分而不必要条件 B必要

18、而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解【解答】解：“直线 ， 没有公共点” “直线 ， 互为异面直线或直线 ， 为平行线”，a b a b a b“直线 ， 互为异面直线” “直线 ， 没有公共点”，a b a b “直线 a ，b 没有公共点”是“直线 a ，b 互为异面直线”的必要不充分条件故选： B 【点评】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要注意充分条件、必要条件、充要条件的性质的合理运用7（2016 秋朝阳区校级期中）在正方体 ABCD A B C D 的棱所在的直线中，与直线 AB 垂直的异面直线共有 ( 1

19、 1 1 1)A1 条 B2 条 C4 条 D8 条第 9 页（共 17 页）【分析】由已知条件利用垂直和异面直线的概念，结合正方体的结构特征直接求解【解答】解：如图，在正方体 的棱所在的直线中，ABCD A B C D1 1 1 1与直线 AB 垂直的异面直线有：DD1、CC 、 A D ， B C ，共四条，1 1 1 1 1故选：C 【点评】本题考查异面直线的条数的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用二填空题（共 4 小题）8（2016 秋房山区校级期中）在正方体 ABCD A B C D 中，若 E 是 AC 的中点，则直线CE 垂直于（选择1 1 1 1 1 1正确序号填入横

20、线） AC BD A D A D 1 1 1【分析】推导出 BD AC ， BD AA ，从而 BD 平面 ACC A ，由此能证明直线CE 垂直于 BD 1 1 1【解答】解：Q在正方体 ABCD A B C D 中， E 是 AC 的中点，1 1 1 1 1 1 BD AC， ，BD AA1Q IAC AA A1， BD 平面 ACC A ，1 1Q CE 平面 ACC A ，1 1 直线CE 垂直于 BD 故答案为：第 10 页（共 17 页）【点评】本题考查两直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题9（2014

21、 秋大兴区校级月考）若直线 a ，b 同时和第三条直线垂直，则直线 a ，b 的位置关系是相交、平行或异面【分析】以正方体为载体，能判断直线 a ，b 的位置关系【解答】解：如图，在正方体 中，ABCD A B C D1 1 1 1AB BC BB AB BC和 都同时 垂直， 和 相交，1AB和 A B 都同时 垂直， 和 平行，BB AB A B1 1 1 1 1AB和 B C 都同时 垂直， 和 异面，BB AB B C1 1 1 1 1 若直线 a ，b 同时和第三条直线垂直，则直线 a ，b 的位置关系是相交、平行或异面故答案为：相交、平行或异面【点评】本题考查两条直线的位置关系的判

22、断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10（2014海淀区校级模拟）给出命题：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；（2）设l ， m 是不同的直线， 是一个平面，若l ，l / /m ，则 m ；（3）已知 ， 表示两个不同平面， 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ ”的充要条件； m m （4） 、 表示直线， 、 、 表示平面，若 ， ， ，则 ；m n I m I n n m（5） m 表示直线， 、 表示平面，若 m ， m ，则 / / 其中正确的命题是（2）（5）（只填序号）【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解第 11 页（共 17 页）【解

23、答】解：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故（1）错误；（2）设l ， m 是不同的直线， 是一个平面，若l ，l / /m ，则由直线与平南垂直的判定定理得 m ，故（2）正确；（3）已知 ， 表示两个不同平面， m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m ”的不充分不必要条件，故（3）错误；（4） m 、 n 表示直线， 、 、 表示平面，若 ， ， ，则 与 相交、平行或异面，故（4）错误； I m I n n m（5） m 表示直线， 、 表示平面，若 m ， m ，则由平面与平面平行的判定定理得 / / ，故（5）正确故答案为：（2）（5）【点评】本题考查命题真假的

24、判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11（2012 秋海淀区校级期末）已知直线 ， ，平面 ， ，给出下列命题：m n 若 ， ，则 ；m m 若 ， ，则 ；m / / m / / / / 若 ， ，则 ；m m / / 若异面直线 m ， n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直其中正确的命题的题号为【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若 ， ，则 ，m m 此命题不正确，因为由 ， ，可得出 ，故命题错误；m m / / 若 m / / ， m / / ，则 / / ，此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行；若 ，

25、 ，则 ，m m / / 此命题正确，因为 ，则一定存在直线 在 ，使得 ，m / / n m / /n又 可得出 ，由面面垂直的判定定理知， ；m n 若异面直线 m ， n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直，第 12 页（共 17 页）此命题正确，因为两异面直线一定存在一条公垂线，此公垂线与一条线所成的平面一定与两条异面直线中的另一条垂直，故若异面直线 m ， n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直是正确的综上知是正确命题故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养三解答题（共 4 小题）12（2019西城区校级模拟）如图，

26、在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， SA 底 ABCD ， SA AD 1，点 M 是 SD 的中点， AN SC ，交 SC 于点 N （1）求证： SC AM ；（2）求 AMN 的面积【分析】（1）推导出 SA CD ，从而CD 面 SAD ，进而 CD AM ，再推导出 AM SD ，从而 AM 面 SCD ，由此能证明 SC AM（2）推导出V V V ，由此能求出 AMN 的面积S ACM SD ACM M M ADC【解答】证明：（1）Q SA 底面 ABCD ，CD 平面 ABCD ， SA CD ， （1 分）Q ADI SA A CD SAD CD AD ， ， 面 （2 分）Q AM 面 SAD ， CD AM ， （3 分）又 SA AD 1，点 M 是 SD 的中点， AM SD ， （4 分）Q I AM SCDSD CD D ， 面 ， （5 分）Q SC 面 SDC ， SC AM （6 分）解：（2）Q M 是 SD 的中点， V V V ， （7 分） S ACM SD ACM M M ADC1 1 1 1 1 1 V S g SA g g （8 分） S ACM ACD3 2 3 2 2 12Q AN