N个M边形相交对最多交点的讨论.docx

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N个M边形相交对最多交点的讨论

1、n条直线相交最多有几个交点？

分解：

考虑N条直线相交交点最多的情况，那么就有：

A、N条直线当中任意两条直线都相交且不重合——有且只有一个交点。

B、任意两个交点都不重合。

那么在原有N-1条直线的情况下，在图中再加一条直线，并使这条直线满足A、B条件，那么就会增加（N-1）个交点。

用数列Sn表示n条直线相交最多的交点个数。

那么有：

Sn=（n-1）+Sn-1

Sn=（n-1）+（n-2）+Sn-2

Sn=（n-1）+（n-2）+（n+3）+Sn-3

…………

Sn=（n-1）+（n-2）+……+1+0

Sn=n（n-1）/2

2、n个圆相交最多有几个交点？

分解：

考虑N个圆相交交点最多的情况，那么就有：

A、N个圆当中任意两个圆都相交且不重合——有且只有两个交点。

B、任意两个交点都不重合。

那么在原有N-1个圆的情况下，在图中再加一个圆，并使这个圆满足A、B条件，那么就会增加2（N-1）个交点。

用数列Sn表示n个圆相交最多的交点个数。

那么有：

Sn=2（n-1）+Sn-1

Sn=2（n-1）+2（n-2）+Sn-2

Sn=2（n-1）+2（n-2）+2（n+3）+Sn-3

…………

Sn=2（n-1）+2（n-2）+……+2+0

Sn=n（n-1）

3、n个三角形相交最多有几个交点？

分解：

考虑N个三角形相交交点最多的情况，那么就有：

A、N个三角形当中任意两个相交都有最多的交点——6个交点。

B、任意两个交点都不重合。

用Sn表示最多的交点个数。

同1题的解法可得：

Sn=3（n-1）n

4、n个四边形相交最多有几个交点？

此题与上面的三个不同，如下图。

其中一个四边形的任意一条边都与另一个四边形的每一个边都相交。

此时为交点最多的情况，那么有4^2=16个交点。

解析：

N个四边形相交交点最多应满足：

任意两个四边形都有最多的交点（16个交点），且没有任意两个交点重合。

那么

在愿有N-1个四边形的情况下，加一条四边形在图中可增加

4^2（N-1）个交点。

用Sn表示N个四边形最多的交点个数。

Sn=4^2（n-1）+Sn-1

Sn=8n（n-1）

5、n个m边形相交最多有几个交点？

（排除有两个不同的M边形的边在同一直线的情况，因为那种情况可能会导致有无数个‘交点’）

先考虑m为偶数的情况：

类似第4题的分析：

两个M边形最多有M2个交点（其中一个M边形的任意一条边都与另一个M边形的所有边相交）。

再类似第4题的解法可得：

（在这个公式里M边形的任意一条边都和自身以外的所有M边形的所有边相交，由于不在同一条直线上的两条线段最多只能有一个交点。

所以这就是交点最多的情况了。

那么这种情况在实际作图中能不能实现，答案是肯定的！

如下图，如果把两个多边形变窄并拉长，使其外形趁向于一条直线，那么就容易画出来了！

）

再讨论M为奇数时的情况：

M为奇数时任意一条直线都不能同时和M边形的所有的边相交，对于这一论点，可以用一个移动点来证明：

如下图有一条直线和直线外一点A。

红色的是A点的沿任意线段的移动轨迹，一个M边形可以看做是一个点沿M条线段移动又回到原点的运动轨迹。

如果A在前（M-1）次移动都穿过蓝色直线上的某一点，那么在经过（M-1）移动后A点的位置和出发点的位置必然在蓝色直线的同侧,那么连接A,A'的线段就不和蓝色直线相交了！

所以一条直线和一个M边形最多只有（M-1）个交点。

下面来进一步讨论：

如图

红色为刚才A点移动轨迹形成的M边形。

B为M边形外一动点，让B点的每一次沿线段移动都与红色M边形有（M-1）个交点——上面已经证明这是最多的交点了！

那么经过（M-1）次移动后B点的位置B'有且只有两种情况：

第一种情况，B点与原点B在红色M边形某一边的同侧，如上图！

此时连接BB'与红色M边形不在增加交点！

共有（M-1）^2个交点。

第二种情况如下图：

B从红色M边形的边AA'外侧移动（M-1）次后的位置在AA'的临边AA''外侧，此时连接BB'可以增加两个交点！

既有[（M-1）^2+2]个交点。

对于[（M-1）^2+2]个交点是不是两个M边形（M是奇数）的最多的交点个数，现在来进行分析：

仍然看上图，在蓝色M边形的BB'以外的蓝色边上的交点个数都已经达到最大值（M-1）个。

所以如果移动顶点B或B'能使BB'上增加的交点个数大于别的蓝色边上的交点减少的交点个数,那么就能证明[（M-1）^2+2]不是最大交点个数。

否则[（M-1）^2+2]就是所求的最大交点个数！

B，B'可移动的位置不多,所有的可能都实验过,结果就是BB'上每增加一个交点就会使临边减少相同或更多的交点.（这是我个人的观察结果，不一定正确！

）

下图供大家分析：

以在下目前的推论和实验结果:

M为奇数时两个M边形最多有[（M-1）^2+2]个交点。

用Sn表示n个M边形，从而有：

综上所述：

n个M边形相交最多的交点公式：

（上公式同样适用于三角形。

另外，如果把圆看做“一边形”同样可以用这个公式求解。

）

下图是三个7边形相交时交点最多的情况，是支持上述数学式的一个图。

有兴趣的可以自己数一数！

！

！

共有114个交点。