N个M边形相交对最多交点的讨论.docx

1、N个M边形相交对最多交点的讨论1、n条直线相交最多有几个交点？分解：考虑N条直线相交交点最多的情况，那么就有：A、N条直线当中任意两条直线都相交且不重合有且只有一个交点。B、任意两个交点都不重合。那么在原有N-1条直线的情况下，在图中再加一条直线，并使这条直线满足A、B条件，那么就会增加（N-1）个交点。用数列Sn表示n条直线相交最多的交点个数。那么有： Sn=(n-1)+Sn-1 Sn=(n-1)+(n-2)+Sn-2 Sn=(n-1)+(n-2)+(n+3)+Sn-3 Sn=(n-1)+(n-2)+1+0 Sn=n(n-1)/22、n个圆相交最多有几个交点？分解：考虑N个圆相交交点最多的情

2、况，那么就有：A、N个圆当中任意两个圆都相交且不重合有且只有两个交点。B、任意两个交点都不重合。那么在原有N-1个圆的情况下，在图中再加一个圆，并使这个圆满足A、B条件，那么就会增加2（N-1）个交点。用数列Sn表示n个圆相交最多的交点个数。那么有： Sn=2(n-1)+Sn-1 Sn=2(n-1)+2(n-2)+Sn-2 Sn=2(n-1)+2(n-2)+2(n+3)+Sn-3 Sn=2(n-1)+2(n-2)+2+0 Sn=n(n-1)3、n个三角形相交最多有几个交点？分解：考虑N个三角形相交交点最多的情况，那么就有：A、N个三角形当中任意两个相交都有最多的交点6个交点。B、任意两个交点都

3、不重合。用Sn表示最多的交点个数。同1题的解法可得： Sn=3(n-1)n4、n个四边形相交最多有几个交点？ 此题与上面的三个不同，如下图。其中一个四边形的任意一条边都与另一个四边形的每一个边都相交。此时为交点最多的情况，那么有42=16个交点。解析：N个四边形相交交点最多应满足：任意两个四边形都有最多的交点（16个交点），且没有任意两个交点重合 。那么在愿有N-1个四边形的情况下，加一条四边形在图中可增加42（N-1）个交点。 用Sn表示N个四边形最多的交点个数。 Sn=42(n-1)+Sn-1 Sn=8n(n-1) 5、n个m边形相交最多有几个交点？（排除有两个不同的M边形的边在同一直线的

4、情况，因为那种情况可能会导致有无数个交点）先考虑m为偶数的情况：类似第4题的分析：两个M边形最多有M2个交点（其中一个M边形的任意一条边都与另一个M边形的所有边相交）。再类似第4题的解法可得：（在这个公式里M边形的任意一条边都和自身以外的所有M边形的所有边相交，由于不在同一条直线上的两条线段最多只能有一个交点。所以这就是交点最多的情况了。那么这种情况在实际作图中能不能实现，答案是肯定的！如下图，如果把两个多边形变窄并拉长，使其外形趁向于一条直线，那么就容易画出来了！）再讨论M为奇数时的情况：M为奇数时任意一条直线都不能同时和M边形的所有的边相交，对于这一论点，可以用一个移动点来证明：如下图有一

5、条直线和直线外一点A。红色的是A点的沿任意线段的移动轨迹，一个M边形可以看做是一个点沿M条线段移动又回到原点的运动轨迹。如果A在前（M-1）次移动都穿过蓝色直线上的某一点，那么在经过（M-1）移动后A点的位置和出发点的位置必然在蓝色直线的同侧,那么连接A,A的线段就不和蓝色直线相交了！所以一条直线和一个M边形最多只有（M-1）个交点。 下面来进一步讨论：如图红色为刚才A点移动轨迹形成的M边形。B为M边形外一动点，让B点的每一次沿线段移动都与红色M边形有（M-1)个交点上面已经证明这是最多的交点了！那么经过（M-1）次移动后B点的位置B 有且只有两种情况： 第一种情况，B点与原点B在红色M边形某

6、一边的同侧，如上图！此时连接BB与红色M边形不在增加交点！共有（M-1）2个交点。 第二种情况如下图：B从红色M边形的边AA 外侧移动（M-1）次后的位置在AA的临边AA外侧，此时连接BB可以增加两个交点！既有（M-1）2+2个交点。 对于（M-1）2+2个交点是不是两个M边形（M是奇数）的最多的交点个数，现在来进行分析：仍然看上图，在蓝色M边形的BB以外的蓝色边上的交点个数都已经达到最大值(M-1)个。所以如果移动顶点B或B能使BB上增加的交点个数大于别的蓝色边上的交点减少的交点个数,那么就能证明（M-1）2+2不是最大交点个数。否则（M-1）2 +2就是所求的最大交点个数！B，B可移动的位置不多,所有的可能都实验过,结果就是BB上每增加一个交点就会使临边减少相同或更多的交点.(这是我个人的观察结果，不一定正确！)下图供大家分析： 以在下目前的推论和实验结果: M为奇数时两个M边形最多有（M-1）2+2个交点。用Sn表示n个M边形，从而有： 综上所述：n个M边形相交最多的交点公式： （上公式同样适用于三角形。另外，如果把圆看做“一边形”同样可以用这个公式求解。） 下图是三个7边形相交时交点最多的情况，是支持上述数学式的一个图。有兴趣的可以自己数一数！共有114个交点。