人教A版高中数学必修2教案第三章.docx

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人教A版高中数学必修2教案第三章

_3.1

直线的倾斜角与斜率

3．1.1　倾斜角与斜率

直线的倾斜角

[提出问题]

在平面直角坐标系中，直线l经过点P.

问题1：

直线l的位置能够确定吗？

提示：

不能．

问题2：

过点P可以作与l相交的直线多少条？

提示：

无数条．

问题3：

上述问题中的所有直线有什么区别？

提示：

倾斜程度不同．

[导入新知]

1.倾斜角的定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.

2．倾斜角的范围：

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

3．倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

直线

[化解疑难]

对直线的倾斜角的理解

（1）倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

（2）从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

（3）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．

（4）平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.

直线的斜率

[提出问题]

日常生活中，常用坡度（坡度＝）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.

问题1：

对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？

提示：

可以．

问题2：

由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？

提示：

可以．

问题3：

通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？

提示：

与倾斜角的正切值相等．

[导入新知]

1．斜率的定义：

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.

2．斜率公式：

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

3．斜率作用：

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

[化解疑难]

1．倾斜角α与斜率k的关系

（1）直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴（平行于y轴或与y轴重合）．

（2）直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

2．斜率公式

（1）直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝.

（2）用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

直线的倾斜角

[例1]　

（1）若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为（　　）

A．30°　　　　　　　B．60°

C．30°或150°D．60°或120°

（2）下列说法中，正确的是（　　）

A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sinα＞0

D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα

[解析]　

（1）如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.

（2）对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，故选D.

[答案]　

（1）D　

（2）D

[类题通法]

求直线的倾斜角的方法及两点注意

（1）方法：

结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角．

（2）两点注意：

①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

[活学活用]

1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是（　　）

A．[0°，90°）　　　　　　　　　　B．[90°，180°）

C．（90°，180°）D．（0°，180°）

解析：

选C　直线倾斜角的取值范围是[0°，180°），又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是（90°，180°）．

2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　　）

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°

解析：

选D　当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°，故应选D.

直线的斜率

[例2]　

（1）已知过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为135°，则y＝________；

（2）过点P（－2，m），Q（m,4）的直线的斜率为1，则m的值为________；

（3）已知过A（3,1），B（m，－2）的直线的斜率为1，则m的值为________．

[解析]　

（1）直线AB的斜率k＝tan135°＝－1，

又k＝，由＝－1，得y＝－5.

（2）由斜率公式k＝＝1，得m＝1.

（3）当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．

当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.

[答案]　

（1）－5　

（2）1　（3）0

[类题通法]

利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

[活学活用]

3．（2012·河南平顶山高一调研）若直线过点（1,2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

解析：

选A　设直线的倾斜角为α，

直线斜率k＝＝，

∴tanα＝.

又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.

直线的斜率的应用

[例3]　已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

[解]　如图所示，由于点（x，y）满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A（2,4），B（3,2）．

由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为2，最小值为.

[类题通法]

根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义（即直线的斜率），再利用图形的直观性来分析解决问题．

[活学活用]

4．点M（x，y）在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

解：

＝的几何意义是过M（x，y），N（－1，－1）两点的直线的斜率．

∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，

∴设该线段为AB且A（2,4），B（5，－2）．

∵kNA＝，kNB＝－，

∴－≤≤.

∴的取值范围为[－，]．

[典例]　已知两点A（－3,4），B（3,2），过点P（1,0）的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围________；直线l的斜率k的取值范围________．

[解析]　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，

∴直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.

[答案]　45°≤α≤135°　k≤－1或k≥1

[易错防范]

1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.

2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．

[成功破障]

已知直线l过点P（3,4），且与以A（－1,0），B（2,1）为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

解：

∵直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，∴要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1,3]．

[随堂即时演练]

1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（　　）

A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率

B．倾斜角为135°的直线的斜率为1

C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα

D．直线斜率的取值范围是（－∞，＋∞）

解析：

选D　任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．

2．已知经过两点（5，m）和（m,8）的直线的斜率等于1，则m的值是（　　）

A．5　　　　　　　　　　B．8

C.D．7

解析：

选C　由斜率公式可得＝1，解之得m＝.

3．直线l经过原点和（－1,1），则它的倾斜角为________．

解析：

kl＝＝－1，

因此倾斜角为135°.

答案：

135°

4．已知三点A（a,2），B（3,7），C（－2，－9a）在同一条直线上，实数a的值为________．

解析：

∵A、B、C三点共线，

∴kAB＝kBC，即＝，∴a＝2或.

答案：

2或

5．已知A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1,4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．

解：

由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.

∴kAC＝，kBC＝.

∴＝3·.

整理得：

－m－1＝（m－5）（m＋1），

即（m＋1）（m－4）＝0，

∴m＝4或m＝－1（舍去）．

∴m＝4.

[课时达标检测]

一、选择题

1．给出下列说法，正确的个数是（　　）

①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；

②一条直线的倾斜角为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条；

④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选A　若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°），②错；所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．

2．过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为45°，则y＝（　　）

A．－B.

C．－1D．1

解析：

选C　tan45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.

3.如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为（　　）

A．k1＜k2＜k3

B．k1＜k3＜k2

C．k2＜k1＜k3

D．k3＜k2＜k1

解析：

选A　根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A正确．

4．经过两点A（2,1），B（1，m2）的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（　　）

A．m＜1B．m＞－1

C．－1＜m＜1D．m＞1或m＜－1

解析：

选C　∵直线l的倾斜角为锐角，

∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1.

5．（2012·广州高一检测）如果直线l过点（1,2），且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（　　）

A．[0,1]B．[0,2]

C.D．（0,3]

解析：

选B　过点（1,2）的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．

二、填空题

6．已知a＞0，若平面内三点A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a＝________.

解析：

若平面内三点共线，则kAB＝kBC，即＝，整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋，或a＝1－（舍去）．

答案：

1＋

7．如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．

解析：

因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°.

答案：

30°

8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．

解析：

的几何意义是过M（x，y），N（2,1）两点的直线的斜率，因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是∪.

答案：

∪

三、解答题

9．已知直线l过点A（1,2），B（m,3），求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．

解：

设l的斜率为k，倾斜角为α，

当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°，

当m≠1时，k＝＝，

当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，

当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，

90°＜α＜180°.

所以α∈（0°，180°），k∈（－∞，0）∪（0，＋∞）．

10．已知A（3,3），B（－4,2），C（0，－2），

（1）求直线AB和AC的斜率．

（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．

解：

（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.

（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.

3．1.2　两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行

[提出问题]

平面几何中，两条直线平行同位角相等．

问题1：

在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？

提示：

相等．

问题2：

若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？

提示：

不一定，可能相等，也可能都不存在．

问题3：

若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？

提示：

不一定．可能平行也可能重合．

[导入新知]

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.

[化解疑难]

对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.

（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：

l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.

两条直线垂直

[提出问题]

已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.

问题1：

上述问题中，l1，l2的斜率是多少？

提示：

k1＝，k2＝－.

问题2：

上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？

提示：

k1k2＝－1.

问题3：

若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？

提示：

一定．

[导入新知]

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

[化解疑难]

对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.

（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．

（3）判定两条直线垂直的一般结论为：

l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．

两条直线平行的判定

[例1]　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

（1）l1经过点A（2,1），B（－3,5），l2经过点C（3，－3），D（8，－7）；

（2）l1经过点E（0,1），F（－2，－1），l2经过点G（3,4），H（2,3）；

（3）l1的倾斜角为60°，l2经过点M（1，），N（－2，－2）；

（4）l1平行于y轴，l2经过点P（0，－2），Q（0,5）．

[解]　

（1）由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.

（2）由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．

（3）由题意知，k1＝tan60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．

（4）由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.

[类题通法]

判断两条不重合直线是否平行的步骤

[活学活用]

1．试确定m的值，使过点A（m＋1,0），B（－5，m）的直线与过点C（－4,3），D（0,5）的直线平行．

解：

由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.

两条直线垂直的问题

[例2]　已知直线l1经过点A（3，a），B（a－2，－3），直线l2经过点C（2,3），D（－1，a－2），如果l1⊥l2，求a的值．

[解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.

∵直线l2经过点C（2,3），D（－1，a－2），且2≠－1，

∴l2的斜率存在．

当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，

由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.

综上可知，a的值为5或－6.

[类题通法]

使用斜率公式判定两直线垂直的步骤

（1）一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．

（2）二用：

就是将点的坐标代入斜率公式．

（3）求值：

计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

总之，l1与l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1⊥l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k2＝－1.

[活学活用]

2．已知定点A（－1,3），B（4,2），以A、B为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是________．

解析：

以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C（x,0），则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C（1,0）或（2,0）．

答案：

（1,0）或（2,0）

平行与垂直的综合应用

[例3]　已知A（－4,3），B（2,5），C（6,3），D（－3,0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．

[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，

kCD＝＝，kAD＝＝－3，

kBC＝＝－.

所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，

所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．

又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1，

所以AB⊥AD，

故四边形ABCD为直角梯形．

[类题通法]

1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．

2．证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，注意排除两直线重合的情况．

[活学活用]

3．已知A（1,0），B（3,2），C（0,4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．

解：

设D（x，y），则kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝.因为AB⊥CD，AD∥BC，

所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以

解得即D（10，－6）．

[典例]　已知直线l1经过A（3，m），B（m－1,2），直线l2经过点C（1,2），D（－2，m＋2）．

（1）若l1∥l2，求m的值；

（2）若l1⊥l2，求m的值．

[解题流程]

先求l2的斜率―→由l1∥l2得k1＝k2列关系式检验―→由l1⊥l2讨论k2＝0或k2≠0，再由k1·k2＝－1得出结论

当k2≠0②时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，（10分）

所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l.（12分）

[名师批注]

①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m值，解答过程不严谨

②处讨论k2＝0和k2≠0两种情况

③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范

[活学活用]

已知A（－m－3,2），B（－2m－4,4），C（－m，m），D（3,3m＋2），若直线AB⊥CD，求m的值．

解：

因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.

当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．

当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB＝＝，kCD＝＝.

因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.

综上，m的值为1或－1.

[随堂即时演练]

1．下列说法正确的有（　　）

①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；

②若l1∥l2，则k1＝k2；

③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；

④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．

A．1个　　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

解析：

选A　若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．

2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　）

A．平行B．重合

C．相交但不垂直D．垂直

解析：

选D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.

3．已知△ABC中，A（0,3）、B（2，－1），E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．

解析：

∵E、F分别为AC、BC的中点，

∴EF∥AB.

∴kEF＝kAB＝＝－2.

答案：

－2

4．经过点（m,3）和（2，m）的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．

解析：

由题意可知kl＝，又因为kl＝，所以