福建省福州市届高三上学期期末质检数学理试题.docx
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福建省福州市届高三上学期期末质检数学理试题
福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.若复数
的模为
，则实数
（）
A．1B．
C．
D．
3.下列函数为偶函数的是（）
A．
B．
C．
D．
4.若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
5.已知圆锥的高为3，它的底面半径为
，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）
A．
B．
C．
D．
6.已知函数
则函数
的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．3
7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的
表示正整数
除以正整数
后的余数为
，例如
.执行该程序框图，则输出的
等于（）
A．23B．38C．44D．58
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．14B．
C．
D．
9.已知圆
，抛物线
上两点
与
，若存在与直线
平行的一条直线和
与
都相切，则
的标准方程为（）
A．
B．
C．
D．
10.不等式组
的解集记为
.有下列四个命题：
其中真命题的是（）
A．
B．
C．
D．
11.已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
上，
，线段
交
于点
，且
，则
的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
12.设数列
的前
项和为
，
，且
.若
，则
的最大值为（）
A．51B．52C．53D．54
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知单位向量
满足
，则
的夹角为．
14.设
为正整数，
展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．
15.将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
的值为．
16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料
，
为半圆的圆心，
.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在
上，则裁出三角形面积的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列
中，
.设
.
（1）证明：
数列
是等比数列；
（2）设
，求数列
的前
项的和
.
18.已知菱形
的边长为2，
.
是边
上一点，线段
交
于点
.
（1）若
的面积为
，求
的长；
（2）若
，求
.
19.如图，在四棱锥
中，
，
.
（1）证明：
平面
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
20.已知
为椭圆
的右焦点，
为
上的任意一点.
（1）求
的取值范围；
（2）
是
上异于
的两点，若直线
与直线
的斜率之积为
，证明:
两点的横坐标之和为常数.
21.已知函数
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若
且
，求证：
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
（
为参数，
）.在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
.
（1）若
与曲线
没有公共点，求
的取值范围；
（2）若曲线
上存在点到
距离的最大值为
，求
的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
设函数
.
（1）求不等式
的解集；
（2）已知关于
的不等式
的解集为
，若
，求实数
的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:
BCBCB6-10:
CADCA11、12：
BA
二、填空题
13.
14.11215.
16.
三、解答题
17.解：
（1）证明：
因为
，
，
所以
，
又因为
，
所以数列
是以1为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由
（1）知
，
因为
，
所以
，
所以
.
18.解：
解法一：
（1）依题意，得
，
因为
的面积
，
所以
，
所以
，
解得
，
根据余弦定理，得
.
（2）依题意，得
，设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
所以
所以
.
解法二：
（1）同解法一.
（2）依题意，得
，设
，则
，
在
中，设
，因为
，则
，
由余弦定理，得
，
得
，
解得
，或
.
又因为
，所以
，所以
，
所以
，
在
中，由正弦定理，得
，
得
.
19.解：
（1）证明：
因为
，
所以
.
因为
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
平面
.
因为
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由
（1）知，
平面
，故以点
为坐标原点，分别以
的方向为
轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.
所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
所以
，
取
，则
，
又因为平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以二面角
的余弦值为
.
20.解：
解法一：
（1）依题意得
，所
，
所以
的右焦点
坐标为
，
设
上的任意一点
的坐标为
，
则
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
的取值范围为
.
（2）设
三点坐标分别为
，
设直线
斜率分别为
，则直线
方程为
，
由方程组
消去
，得
，
由根与系数关系可得
，
故
，
同理可得
，
又
，
故
，
则
，
从而
.
即
两点的横坐标之和为常数.
解法二：
（1）依题意得
，所
，
所以
的右焦点
坐标为
，
设
上的任意一点
的坐标为
，
设
上的任意一点
的坐标为
，
则
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
的取值范围为
.
（2）设
两点坐标分别为
，线段
的中点分别为
，点
的坐标为
，直线
的斜率分别为
，
由方程组
得
，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
所以
的中点在
上，
同理可证：
的中点在
上，
所以点
为线段
的中点.
根据椭圆的对称性，
所以
两点的横坐标之和为常数.
21.解：
解法一：
（1）函数
的定义域为
，
，
①若
时，则
，
在
上单调递减；
②若
时，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
故在
上，
单调递减；在
上，
单调递増；
③若
时，当
时，
；
当
时，
；当
时，
.
故在
上，
单调递减；在
上，
单调递増.
（2）若
且
，
欲证
，
只需证
，
即证
.
设函数
，则
.
当
时，
.故函数
在
上单调递增.
所以
.
设函数
，则
.
设函数
，则
.
当
时，
，
故存在
，使得
，
从而函数
在
上单调递增；在
上单调递减.
当
时，
，当
时，
故存在
，使得
，
即当
时，
，当
时，
从而函数
在
上单调递增；在
上单调递减.
因为
，
故当
时，
所以
，
即
.
解法二：
（1）同解法一.
（2）若
且
，
欲证
，
只需证
，
即证
.
设函数
，则
.
当
时，
.故函数
在
上单调递增.
所以
.
设函数
，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
即原不等式成立.
解法三：
（1）同解法一.
（2）若
且
，
欲证
，
只需证
，
由于
，则只需证明
，
只需证明
，令
，
则
，
则函数
在
上单调递减，则
，
所以
成立，
即原不等式成立.
22.解：
（1）因为直线
的极坐标方程为
，即
，
所以直线
的直角坐标方程为
；
因为
（
参数，
）
所以曲线
的普通方程为
，
由
消去
得，
，
所以
，
解得
，
故
的取值范围为
.
（2）由
（1）知直线
的直角坐标方程为
，
故曲线
上的点
到
的距离
，
故
的最大值为
由题设得
，
解得
.
又因为
，所以
.
23.解：
（1）因为
，所以
，
，
或
或
解得
或
或
，
所以
，
故不等式
的解集为
.
（2）因为
，
所以当
时，
恒成立，
而
，
因为
，所以
，即
，
由题意，知
对于
恒成立，
所以
，故实数
的取值范围
.
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