福建省福州市届高三上学期期末质检数学理试题.docx

1、福建省福州市届高三上学期期末质检数学理试题福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D 2.若复数的模为，则实数（ ）A1 B C D 3.下列函数为偶函数的是（ ）A B C D4.若，则（ ）A B C D 5.已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（ ）A B C D 6.已知函数则函数的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著

2、名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数 除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）A23 B38 C44 D588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A14 B C D 9.已知圆，抛物线上两点与，若存在与直线平行的一条直线和与都相切，则的标准方程为（ ）A B C D 10.不等式组的解集记为.有下列四个命题： 其中真命题的是（ ）A B C D 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，线段交于点，且，则的离心率为（ ）A B C D 12.设数列的前项和为，且.若，则的最大值为（ ）A51 B52 C53 D5

3、4第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量满足，则的夹角为 14.设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 15.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为 16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列中，.设.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项的和.18.已知菱形的边长为2，.是边上一点

4、，线段交于点.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求.19.如图，在四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.20.已知为椭圆的右焦点，为上的任意一点. （1）求的取值范围；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若且，求证：. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的

5、值.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求 实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题13. 14. 112 15. 16. 三、解答题17.解：（1）证明：因为，所以，又因为， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，因为，所以，所以.18.解：解法一：（1）依题意，得， 因为的面积，所以，所以，解得，根据余弦定理，得.（2）依题意，得，设，则，在中，由正弦定理得，因为，所以，所以所以.解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得，设，则，在中，设，因

6、为，则，由余弦定理，得， 得， 解得，或. 又因为，所以，所以，所以，在中，由正弦定理，得，得.19.解：（1）证明：因为，所以.因为，所以， 所以，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知，平面，故以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，所以，设平面的法向量为，则，所以，取，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.20.解：解法一：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，所以，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）设三点坐标分别为，设直线斜率分别为，则直线方程为，由方程组消去，得，由

7、根与系数关系可得，故，同理可得，又，故，则，从而.即两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，由方程组得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以的中点在上，同理可证：的中点在上，所以点为线段的中点.根据椭圆的对称性，所以两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数的定义域为，若时，则，在上单调递减；若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増； 若时，当时，；当时，；当时，.

8、故在上，单调递减；在上，单调递増. （2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时， .故函数在上单调递增.所以. 设函数，则.设函数，则.当时，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，当时，故存在，使得，即当时，当时， 从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时， .故函数在上单调递增.所以. 设函数，因为，所以，所以， 又，所以，所以，即原不等式成立. 解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则，则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立. 22.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，所以，解得，故的取值范围为. （2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23.解：（1）因为，所以，或或解得或或， 所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立， 而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.