届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案文.docx

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届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案文

第1课时　坐标系

最新考纲

考情考向分析

1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.

1．平面直角坐标系

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

（1）极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画（如图所示）．这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

（2）极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为（ρ，θ）．由图可知下面关系式成立：

或

这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

3．常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ<2π）

圆心为（r,0），半径为r的圆

ρ＝2rcosθ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsinθ（0≤θ<π）

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α（ρ∈R）或θ＝π＋α（ρ∈R）

过点（a,0），与极轴垂直的直线

ρcosθ＝a

过点，与极轴平行的直线

ρsinθ＝a（0<θ<π）

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．（　×　）

（2）若点P的直角坐标为（1，－），则点P的一个极坐标是.（　√　）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．（　√　）

（4）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线．（　×　）

题组二　教材改编

2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

答案　A

解析　∵y＝1－x（0≤x≤1），

∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1）；

∴ρ＝.

3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（　　）

A.B.

C．（1,0）D．（1，π）

答案　B

解析　方法一　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋（y＋1）2＝1，圆心坐标为（0，－1），其对应的极坐标为.

方法二　由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.

题组三　易错自纠

4．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是（　　）

A．ρsinθ＝1B．ρsinθ＝

C．ρcosθ＝1D．ρcosθ＝

答案　A

解析　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即（，1），过点（，1）且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.

5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．

答案　x2＋y2－2y＝0

解析　由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．

解　由ρ＝4sinθ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，

即x2＋（y－2）2＝4.

由ρsinθ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a（a>0）．

设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋（y－2）2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．

由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.

在Rt△DOB中，易求DB＝a，

∴B点的坐标为.

又∵B在x2＋y2－4y＝0上，

∴2＋a2－4a＝0，

即a2－4a＝0，解得a＝0（舍去）或a＝3.

题型一　极坐标与直角坐标的互化

1．（2016·北京改编）在极坐标系中，已知曲线C1：

ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：

ρ＝2cosθ.

（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；

（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．

解　

（1）∵C1：

ρcosθ－ρsinθ－1＝0，

∴x－y－1＝0，表示一条直线．

由C2：

ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，

∴x2＋y2＝2x，即（x－1）2＋y2＝1.

∴C2是圆心为（1,0），半径为1的圆．

（2）由

（1）知，点（1,0）在直线x－y－1＝0上，

∴直线C1过圆C2的圆心．

因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．

∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.

2．

（1）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x（0≤x≤1）的极坐标方程．

（2）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．

解　

（1）∵

∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，

即ρ＝.

∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内（含端点），∴0≤θ≤.

（2）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，

得ρ2sin2θ＝ρcosθ，

∴曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.

由ρsinθ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.

由得

故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为（1,1）．

思维升华

（1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：

①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．

（2）直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．

题型二　求曲线的极坐标方程

典例将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.

（1）求曲线C的标准方程；

（2）设直线l：

2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．

解　

（1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点（x，y），由题意，得

由x21＋y＝1，得x2＋2＝1，

即曲线C的标准方程为x2＋＝1.

（2）由解得或

不妨设P1（1,0），P2（0,2），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，

于是所求直线方程为y－1＝，

化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，

故所求直线的极坐标方程为ρ＝.

思维升华求曲线的极坐标方程的步骤

（1）建立适当的极坐标系，设P（ρ，θ）是曲线上任意一点．

（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．

（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

跟踪训练已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为θ＝.

（1）求圆C和直线l的极坐标方程；

（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

解　

（1）∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，

∴ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，

∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.

又直线l的参数方程为（t为参数），

消去t后得y＝x＋1，

∴直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝.

（2）当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，

∴点P的极坐标为，|OQ|＝＝，

∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.

题型三　极坐标方程的应用

典例（2017·全国Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．

解　

（1）设点P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），点M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ（ρ>0）．

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0）．

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，

于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB

＝4cosα·

＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

思维升华极坐标应用中的注意事项

（1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：

①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．

（2）若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．

（3）由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π），平面上的点（除去极点）与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应关系．

跟踪训练（2017·广州调研）在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．

解　由ρsin＝2，得（ρsinθ＋ρcosθ）＝2，可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，

圆心（0,0）到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，

由圆中的弦长公式，得弦长

l＝2＝2＝4.

故所求弦长为4.

1．（2018·武汉模拟）在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

解　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρsin＝，

即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，

即x－y＋1＝0.