北京市二次函数综合专题2含答案.docx

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北京市二次函数综合专题2含答案

二次函数综合专题

东城区

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴

交于A，B两点（点A在点B左侧）．

（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；

（2）求抛物线的对称轴；

求抛物线的顶点的纵坐标（用含的代数式表示）；

（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．

26.解：

（1）∵点在抛物线上，∴，.--------------------2分

（2）对称轴为直线；

顶点的纵坐标为.--------------------4分

（3）（）当

依题意，

解得

（）当

依题意，

解得

综上，，或.--------------------7分

西城区

26.在平面直角坐标系中，抛物线：

与轴交于点，抛物线的顶点为，直线：

．

（1）当时，画出直线和抛物线，并直接写出直线被抛物线截得的线段长．

（2）随着取值的变化，判断点，是否都在直线上并说明理由．

（3）若直线被抛物线截得的线段长不小于，结合函数的图象，直接写出的取值范围．

【解析】

（1）当时，抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线被抛物线截得的线段长为，画出的两个函数的图象如图所示：

（2）∵抛物线：

与轴交于点，

∴点的坐标为，

∵，

∴抛物线的顶点的坐标为，

对于直线：

，

当时，，

当时，，

∴无论取何值，点，都在直线上．

（3）的取值范围是或．

海淀区

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点在x轴上，，（）是此抛物线上的两点．

（1）若，

①当时，求，的值；

②将抛物线沿轴平移，使得它与轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；

（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是．

26．解：

抛物线的顶点在轴上，

.

.………………1分

（1），.

抛物线的解析式为.

1，，解得，.………………2分

②依题意，设平移后的抛物线为.

抛物线的对称轴是，平移后与轴的两个交点之间的距离是，

是平移后的抛物线与轴的一个交点.

，即.

变化过程是：

将原抛物线向下平移4个单位.………………4分

（2）.………………6分

丰台区

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最高点的纵坐标是2．

（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；

（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x=1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过（0，b）作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1（x1，y1），P2（x2，y2），求b的取值范围和x1+x2的值．

26．解：

（1）∵抛物线，

∴对称轴为x=2．………………………………………1分

∵抛物线最高点的纵坐标是2，

∴a=-2．………………………………………2分

∴抛物线的表达式为.……………3分

（2）由图象可知，或-6≤b<0.………………6分

由图象的对称性可得：

x1+x2=2．………………7分

石景山区

26．在平面直角坐标系中，将抛物线（）向右平移个单位长度后得到抛物线，点是抛物线的顶点．

（1）直接写出点的坐标；

（2）过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于，两点．

当时，求抛物线的表达式；

若，直接写出m的取值范围．

26．解:

（1）.…………………………………2分

（2）设抛物线的表达式为，

如图所示，由题意可得.

∵，，

∴.

∴.

∴点的坐标为.

∵点在抛物线上，

可得.

∴抛物线的表达式为，

即.…………………5分

.…………………7分

朝阳区

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.

（1）求点A，B的坐标；

（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间

（包括1，3），结合函数的图象，求a的取值范围.

26.解：

（1）．

∴A（0，－4），B（2，0）．……………………………………2分

（2）当抛物线经过点（1，0）时，．……………………4分

当抛物线经过点（2，0）时，．…………………………6分

结合函数图象可知，的取值范围为．………………7分

燕山区

24．如图，在平面直角坐标系中，直线l:

y=kx+k（k≠0）与x轴,y轴分别交于A,B两点，且点B（0,2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y=t．

（1）求k的值和点A的坐标；

（2）当t=4时，直线y=t与直线l交于点M，反比例函数

（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；

（3）当t<4时，若直线y=t与直线l和

（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围.

24.解：

（1）∵直线l:

y=kx+k经过点B（0,2），

∴k=2

∴y=2x+2

∴A（-1,0）……………………….2′

（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1

∴M（1,4）代入得，n=4

∴……………………….2′

（3）当t=2时，B（0,2）即C（0,2），而D（2,2）

如图，CD=2，当y=t向下运动但是不超过x轴时，符合要求

∴t的取值范围是0

门头沟区

26.有一个二次函数满足以下条件：

①函数图象与x轴的交点坐标分别为，（点B在点A的右侧）；

②对称轴是；

③该函数有最小值是-2.

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，

平行于x轴的直线与图象“G”相交于点、、（），结合画出的函数图象求的取值范围.

26.（本小题满分7分）

（1）解：

有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为:

设二次函数表达式为：

……………1分

∵该图象过

∴，解得……………2分

∴表达式为

（2）图象正确………………………………………………………3分

由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点

1当直线与x轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求

……………………………………4分

∴……………………………………5分

②当直线过的图象顶点时，有2个交点，

由翻折可以得到翻折后的函数图象为

∴令时，解得，舍去…………6分

∴

综上所述…………7分

大兴区

26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A,B，且.

（1）求的值；

（2）当m=时，将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边），求n的取值范围（直接写出答案即可）．

26.

（1）解关于x的一元二次方程，

得x=2m+1,x=m………………………………………………………2分

∵m＞0,x1＜x2

∴x1=m,x2=2m+1.……………………………………………………3分

2x1-x2+3=2m-2m-1+3=2……………………………………………4分

（2）符合题意的n的取值范围是.…………………………………7分

平谷区

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴为直线x=2．

（1）求b的值；

（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中．

当时，结合函数图象，求出m的值；

把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，，求m的取值范围．

26．解：

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=2，

∴b=2．1

（2）∴抛物线的表达式为．

∵A（x1，y），B（x2，y），

∴直线AB平行x轴．

∵，

∴AB=3．

∵对称轴为x=2，

∴AC=．2

∴当时，．3

当y=m=-4时，0≤x≤5时，；4

当y=m=-2时，0≤x≤5时，；5

∴m的取值范围为．6

怀柔区

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2-4nx+4n-1（n≠0），与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．

（1）求抛物线顶点M的坐标；

（2）若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；

（3）在

（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．

26.

（1）M（2，-1）；………………………………………………………………………………2分

（2）B（4，3）；…………………………………………………………………………………3分

（3）∵抛物线y=mx2-4mx+4m-1（m≠0）与y轴交于点A（0,3）,

∴4n-1=3.

∴n=1.……………………………………………………………………………………4分

∴抛物线的表达式为.

由.

由△=0，得:

……………………………………………………………………5分

∵抛物线与x轴的交点C的坐标为（1,0），

∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为（-1,0）.

把（-1,0）代入，得：

.……………………………………………6分

把（-4,3）代入，得：

.

∴所求m的取值范围是或＜m≤5.…………………………………………7分

延庆区

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．

（1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；

（2）点C（t，3）是抛物线上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C作x轴的垂线，垂足为点D．

①当时，求此时抛物线的表达式；

②当时，求t的取值范围．

26．

（1）对称轴：

x=2……1分

A（1，0）或B（3，0）……1分

（2）

①如图1，∵AD=CD

∴AD=3

∴C点坐标为（4，3）……3分

将C（4，3）代入

∴

∴a=1

∴抛物线的表达式为：

……4分

②……6分

过程略

顺义区

26．在平面直角坐标系中，若抛物线顶点A的横坐标是-1，且与y轴交于点B（0，-1），点P为抛物线上一点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若将抛物线向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q．如果OP=OQ，求点Q的坐标．

26．解：

（1）依题意，b=2,

由B（0，-1），得c=-1,

∴抛物线的表达式是．……………………2分

4

（2）向下平移4个单位得到，………………………3分

∵OP=OQ，

∴P、Q两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．

∴．

∴，．…………………………………………………5分

把，分别代入．

得出Q1（-3，-2），Q2（1，-2）．…………………………………7分