数学建模零件参数的优化设计.docx
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数学建模零件参数的优化设计
;零件参数的优化设计
Companynumber[1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108]
零件参数的优化设计
摘要
本文建立了一个非线性多变量优化模型。
已知粒子分离器的参数y由零件参数=2…7）决定，参数“的容差等级决定了产品的成本。
总费用就包括y偏离刃造成的损失和零件成本。
问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。
我们将问题的解决分成了两个步骤：
1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。
2.釆用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。
在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。
但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。
经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。
最终计算出的各个零件的标定值为：
X厂,
等级为：
d=B、B、B、C、C、B、B
一台粒子分离器的总费用为：
元
与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为％,结果是令人满意的。
为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。
最后，我们还对模型进
行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。
关键字：
零件参数非线性规划期望方差
一、问题重述
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
零件参数包括标定值和容差两部分。
进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。
若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。
这时要考虑两方面因素：
一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作xx,x2,...,x7）决定，经验公式为：
y的目标值（记作y0）为。
当y偏离y°+时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离％+时，产品为废品，损失为9,000元。
零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为+1%,B等为+5%,C等为+10%。
7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无此等级零件）：
标定值容许范围
C等
B等
A等
X1
[,]
/
25
/
X：
[J
20
50
/
X3
[,]
20
50
200
Xi
[,]
50
100
500
X5
[,]
50
/
/
X6
[12,20]
10
25
100
X;
[,]
/
25
100
现进行成批生产，每批产量1,000个。
在原设计中，7个零件参数的标定值为：
X1二,X2=,X3二,X|=,Xs=>X6=16,X；二；容差均取最便宜的等级。
请你综合考虑y偏离y。
造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少
二、模型假设
1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；
2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；
3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；
4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。
本题可认为1000各零件都为A等、B等或C等；
5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；
6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。
三、符号说明
第i类零件参数的标定值（i二1,2……7）；
加,：
第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i二1,2……7）:
/•：
第i类零件参数的容差（i二1,2,……7）；
6：
第i类零件参数的方差（i二1,2,……7）；
%勺:
标定值兀的上、下限；
y：
离子分离器某参数的实际值；
儿：
离子分离器该参数的目标值；
八离子分离器某参数的均值；
Ay：
离子分离器某参数的实际值y相对平均值亍的偏差；
离子分离器某参数的方差；
片：
一批产品中正品的概率；
A：
一批产品中次品的概率；
4：
一批产品中废品的概率；
W:
—批产品的总费用（包括损失和成本费）；
C.：
第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位:
元/个。
四、问题分析
由简单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。
要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从Ngb冷,可假设y也服从正态分布，联想正态分布的性质一一当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。
题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。
而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。
由容差等级和各类零件的标定值孑便可知道给类零件的容差最后，便将问题转化为兀、rf关于总目标函数的最优解的问题上。
在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。
合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：
（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。
（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。
此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。
五、模型建立
为了确定原设计中标定值（兀（=1,2,…,7）的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失w,即确定y偏离目标值儿所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：
当然，为了确定总损失W,必须知道片、P「P.（即正品、次品及废品的
概率）。
为此，将经验公式用泰勒公式在X=x&=l,2…7）处展开并略去二次以
上高次项后来研究y的概率分布，设/«=〉，，则
将标定值兀《=1,2…7）带入经验公式即得
由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即且山1相互独立，由正态分布性质可知
由误差传递公式得
由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则
y的分布密度函数为
y偏离儿±0.1的概率，即次品的概率为
p2=f》（y）d（y）+
（2）
y偏离儿±0.3的概率，即废品的概率为
p、0（刃〃（刃+匚0（y）〃（y）⑶
由于y偏离儿越远，损失越大，所以在a固定时，调整y使之等于目标值儿可降低损失。
取-儿即亍=儿，贝0
0⑴为标准正态分布函数。
综合考虑y偏离y。
造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下:
目标函数
minW=1000x（工C”+10004+9000出）
./T六、模b求解
初略分析
对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如
下:
正品率
次品率
废品率
成本费
损失费
总费用
200
由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。
进一步分析发现，参数均值亍二偏离目标值儿二太远，致使损失过大。
尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。
所以我们应综合考虑成本费和损失费。
模型的实现过程：
本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：
在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon,通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。
最初，我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为儿，即。
然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。
显然这是不合理的。
因此，我们在仔细对matlab实现代码研
究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。
所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。
离子分离器参数均值亍二
离子分离器参数方差％二
模型检验
对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分
如随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值旺的
计算随机模拟N次后结果如下：
正品率
次品率
废品率
成本费
损失费
总费用
275
143
418
根据最优解的亍二，％二画出y的概率分布图，再对x随机取样画出y的概率分布图（见图），由图可知：
两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。
图概率分布图对比图
通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为％,结果是令人满意的。
七、误差分析
1、在建模过程中，通过泰勒公式将y=f（X）展开并略去二次及以上项使线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。
但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。
在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。
2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允范围内，即［旺-3巧0+3巧］。
现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。
3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。
八、模型的评价及推广
1.优点
（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。
（2）本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。
通过建立一个反映设计要求的数学模型，利用MATLAB软件，经过编程来实现对设计方案参数的调整，将总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅达到％,结果还是令人十分满意的。
（3）本模型在程序运算的过程中，做了适当处理，将每次循环本该由计算机求偏导和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大大节约了运算时间，将运行时间由儿个小时缩短为。
2.缺点
（1）本模型在模型的求解过程中，对一些可接受范围内的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。
（2）本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。
在已假定的条件下，本模型的优化结果是好的。
3推广
此模型有较强的应用价值。
工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。
所以需综合考虑零件成
本和质量，以求获得最大的经济效益。
本模型具有广泛的适用性，很容易加以推广。
模型中的设计变量
兀（心1,2,…,7）可以推广到“个的情形，即设计变量“（心1，2「丿）已川，其中设计空间川是一个”维空间。
本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。
参考文献
[1]韩之俊，姚平中，《概率与统计》，国防工业出版社,1985
[2]陈宝林，《最优化理论与算法》，清华大学出版社,1989
【3】裘宗燕，《数学软件系统的应用及程序设计》，北京大学出版
社，1994
【4】许波，《Matlab工程数学应用》，清华大学出版社，2001
附录：
matlab代码：
functionf=resuIt
%穷举108种容错等级组合求解全局最优解
fval=inf;
tic
%Bmin=[2333332];
%Xmin
B（l）=2;
B（5）=3;
fori=2:
3
forj=l:
3
B⑶二j;
fort二1:
3
B⑷二t;
forg二1:
3
B（6）=g;
form二1:
2
B（7）=m;
[fv,x]二getcost（B）;
iffvXmin二x;
Bmin=B;
fval=fv;
end;
end;
end;
end;
end;
end;
f=fval,Xmin,Bmin,p=getP（Xmin,Bmin）
toe
simulation（Xmin,Bmin）;%用随机法和计算的结果进行模拟比i<
functionf二Simulation（\IU,B）
%用随机法和计算的结果进行模拟比较
fori=l:
10000
y（i）=Yfun（getparaX（MU,B））;
end;
[f,xi]=ksdensity（y）;
plot（xi,f）;%画经验概率密度曲线
holdon;
yO=Yfun（MU）;
fc=getfcY（MU,B）;
%{
x=normrnd（yO,fc,1,10000）;
[fl,xj]=ksdensity（x）:
plot（xj,fl,'r?
）;
%}
x0=min（y）:
:
max（y）;
y=（（2*pi）*fc）"（-1）*exp（-（x0-y0）.2/2/fc2）;
plot（xO,y,'r'）;
%{
x=min（y）:
:
max（y）;
yg二gaussmf（x,[fc,y0_）;
plot（x,yg,'r'）;
%}title（'对照图'）;
gtextC注:
蓝线为对x随机取样求得的y分祐'）;
gtextC红线为根据模型计算出的y分布'）;
xlabel（'）；
ylabel（'y的概率密度'）；
holdoff;
function[f,x]二getcost（B）
%在给定容差等级的情况下求最优的标定值，使得Y的均值为yO的情况下，方差
最小
MU=[16];%给定初始的标定值
options=optimset（LargeScale，,'off','Display',off）'Tolx',;
[x,fval]=fmincon（getfcY',MU,[],[],[],[],[],[],'mycon,options,B）;
x,B,f=cost（x,B）
function[c,ceq]=mycon（MU,B）
%求最优标定值时的约束条件
%c为不等式约束
%ceq为等式约束
c（l）=MU⑴；
c
（2）=
（1）;
c⑶=MU⑵；c（4）=
（2）;
c（5）=MU⑶；
c（6）=（3）;
c⑺二MU⑷；
c（8）=（4）;
c⑼=MU⑸；
c（10）=（5）;
c（ll）=MU（6）-20;
c（12）=12-MU⑹；
c（13）=MU（7）;
c（14）=（7）;
ceq（l）=Yfun（MU）;
functionf=cost（MU,B）
%当标定值为MU,容差等级为B时，求费用f=25;
p=getP（MU,B）;%求正品、次品、废品的槪
if（B⑵=2）
f=f+50;
else
f=f+20;
end;
switch（B（3））
case1
f=f+200;
case2
f=f+50;
case3
f=f+20;
end;
switch（B（4））
case1f=f+500;
case2f=f+100;
case3f=f+50;
end;
f=f+50;
switch（B（6））
case1f=f+100;
case2f=f+25;
case3
f二f+10;
end;
if（B（7）==l）
f=f+100;
else
f=f+25;
end;
f=f+p
（2）*1000+p（3）*9000:
functionf=getfcY（MU,B）
%对于所给的标定值和容差求Y的方差f二0;
B=int32（B）;
fori=l:
7
辻B（i）==l
sigma（i）=MU（i）*3;
end;
ifB（i）==2
sigma（i）=MU（i）*3;
end;
ifB（i）==3
sigma（i）=MU（i）*3;
end;
end;xl二MU
（1）;x2=MU
（2）;x3=MU（3）:
x4=MU（4）;x5=MU（5）;x6二MU⑹；x7RIU（7）;
%求丫对各变量的偏导的评分与对应的方差乘积之和
f=（pdl（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（l））2;f=f+（pd2（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma
（2））2;
f=f+（pd3（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（3））2:
f=f+（pd4（xl,x2,x3,x4,x5,x
6,x7）*sigma（4））2;
f=f+（pd5（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（5））2;f二f+（pd6（xl,x2,x3,x4,x5,x
6,x7）*sigma（6））"2;
f=f+（pd7（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（7））2;
f=abs（f";
functionf=pdl（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
%丫对迅的偏导
f=8721/50/x5*（x3/（x2-xl））-（17/20）*（（1-131/50*（1-9/25/...
（x4/x2厂（14/25）厂（3/2）*（x4/x2）"（29/25））/x6/x7厂（1/2）+...
148257/1000*xl/x5/（x3/（x2-xl）厂（3/20）*（（1-131/50*（1-
9/25/（x4/x2）...
-（14/25））'（3/2）*（x4/x2厂（29/25））/x6/x7厂（1/2）*x3/（x2-xl）2
functionf二pd2（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
%丫对边的偏导
f=-148257/1000*xl/x5/（x3/（x2-xl））\..
（3/20）*（（1-131/50*（1-9/25/（x4/x2厂（14/25））"（...
3/2）*（x4/x2）（29/25））/x6/x7）（1/2）*x3/（x2-xl）...
2+8721/100*xl/x5*（x3/（x2-xl））'（17/20）/（（1-131/50*（1-9/25/...
（x4/x2厂（14/25）厂（3/2）*（x4/x2厂（29/25））/x6/x7），（1/2）*（24759/31250*...
（1-
9/25/（x4/x2厂（14/25））'（1/2）/（x4/x2厂（2/5）*x4/x2"2+3799/1250*（1-
9/25/...
（x4/x2厂（14/25））"（3/2）*（x4/x2）*（4/25）*x4/x22）/x6/x7;
functionf二pd3（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
%丫对対的偏导
f=148257/1000*xl/x5/（x3/（x2-xl）Y（3/20）*（（1-131/50*...
（1-
9/25/（x4/x2）"（14/25））"（3/2）*（x4/x2厂（29/25））/x6/x7）"（1/2）/（x2-xl）;
functionf二pd4（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
%丫对対的偏导
f=8721/100*xl/x5*（x3/（x2-xl））*（17/20）/（（1-131/50*（1-
9/25/（x4/x2厂（14/25））“...
（3/2）*（x4/x2）"（29/25））/x6/x7）"（1/2）*（-24759/31250*（1-
9/25/（x4/x2厂（14/25））'...
（1/2）/（x4/x2）*（2/5）/x2-3799/1250*（1-
9/25/（x4/x2）"（14/25））"（3/2）*（x4/x2）"（4/25）/x2）/x6/x7;
functionf二pd5（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
f=-8721/50*xl/x5"2*（x3/（x2-xl）厂（17/20）*（（1-131/50*（1-
9/25/（x4/x2厂（14/25））"（3/2）*（x4/x2厂（29/25））/x6/x7）“（1/2）;
functionf二pd6（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
%丫对朋的偏导
f=-8721/100*xl/x5*（x3/（x2-xl）厂（17/20）/（（1-131/50*（1-
9/25/（x4/x2厂（14/25））；..
（3/2）*（x4/x2）"（29/25））/x6/x7）'（1/2）*（1-131/50*（1-
9/25/（x4/x2厂（14/25））'（3/2）*（x4/x2厂（29/25））/x6"2/x7;
functionf二pd7（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）
%丫对*7的偏导
f=-8721/100*xl/x5*（x3/（x2-xl）厂（17/20）/（（1-131/50*（1-9/25/...（x4/x2厂（14/25）厂（3/2）*（x4/x2厂（29/25））/x6/x7厂（1/2）*...
（1-131/50*（1-
9/25/（x4/x2厂（
升级会员 