数学建模零件参数的优化设计.docx

1、数学建模零件参数的优化设计;零件参数的优 化设计Company number 1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108零 件 参 数 的 优 化 设 计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件 参数= 27）决定，参数“的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y 偏离刃造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳 搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预 先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.釆用穷 举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最 小。

2、在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础 上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要 一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时 间。经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。最 终计算出的各个零件的标定值为：X厂,等级为：d = B、B、B、C、C、B、B一台粒子分离器的总费用为：元与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为,结果是 令人满意的。为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解 进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我们还对模型进

3、行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件 的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一 批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零 件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差 通常规定为均方差的3倍。进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因 素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会 造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造

4、成 本，容差设计得越小，成本越高。试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作xx, x2,.,x7）决 定，经验公式为：y的目标值（记作y0）为。当y偏离y+时，产品为次品，质量损失为1,000 元；当y偏离+时，产品为废品，损失为9, 000元。零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为A、B、C三个等级，用 与标定值的相对值表示，A等为+1%, B等为+5%, C等为+10%。7个零件参数 标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无 此等级零件）：标定值容许 范围C等B等A等X1,/25/X：J2050/X3,

5、2050200Xi,50100500X5,50/X612,201025100X;,/25100现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值 为：X1二,X2=, X3二,X|=, Xs= X6=16, X；二；容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y。造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括 标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少二、 模型假设1、 将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、 假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、 假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围 内；4、 在大批量生产过程

6、中，整批零件都处于同一等级，。本题可认为1000 各零件都为A等、B等或C等；5、 生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、 在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。三、 符号说明第i类零件参数的标定值（i二1,27）；加,：第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i二1,27）:/：第i类零件参数的容差（i二1,2,7）；6 ：第i类零件参数的方差（i二1,2,7）；%勺:标定值兀的上、下限；y：离子分离器某参数的实际值；儿：离子分离器该参数的目标值；八离子分离器某参数的均值；Ay：离子分离器某参数的实际值y相对平均值亍的偏差；离子分离器某参数的方差；片：一批产品中正品的概率；

7、A ：一批产品中次品的概率；4： 一批产品中废品的概率；W: 批产品的总费用(包括损失和成本费)；C.：第i类零件对应容差等级为j的成本(j=A, B,C)单位:元/个。四、问题分析由简单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。要求出损失 费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从Ngb冷, 可假设y也服从正态分布，联想正态分布的性质一一当各变量均服从正态分布 时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公 式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其 线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和

8、各类零件的标定值孑便可知道给类零件的容差最后，便将问题转化为兀、rf 关于总目标函数的最优解的问题上。在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定 值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其 制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。合理的设计方案 应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1） 设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预 先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。（2） 零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失

9、对费用的影 响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质 量来达到减少费用的目的。五、模型建立为了确定原设计中标定值（兀（=1,2,7）的期望值）及已给的容差对产 品性能参数影响而导致的总损失w,即确定y偏离目标值儿所造成的损失和零 件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：当然，为了确定总损失W,必须知道片、PP.（即正品、次品及废品的概率）。为此，将经验公式用泰勒公式在X=x& = l,27）处展开并略去二次以上高次项后来研究y的概率分布，设/ =，则将标定值兀 = 1,27）带入经验公式即得由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即 且山1相互

10、独立，由正态分布性质可知由误差传递公式得由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则y的分布密度函数为y偏离儿0.1的概率，即次品的概率为p2 = f（y）d（y）+（ 2）y偏离儿0.3的概率，即废品的概率为p、0（刃（刃 +匚0（y）（y） 由于y偏离儿越远，损失越大，所以在a固定时，调整y使之等于目标值儿可 降低损失。取-儿即亍=儿，贝00为标准正态分布函数。综合考虑y偏离y。造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如 下: 目标函数min W = 1000 x（工C”+10004+9000出）. /T xr （, = 1,2 7）六、模b求解初略分析对于原给定的设计

11、方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如下:正品率次品率废品率成本费损失费总费用200由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合 理。进一步分析发现，参数均值亍二偏离目标值儿二太远，致使损失过大。尽管 原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过 低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。模型的实现过程：本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解 过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数 fmincon,通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。最初，我们设定的 fmincon函数的目标函

12、数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许范围，以 及各零件标定值带入产品参数表达式应为儿，即。然而，在迭代过程中我们发 现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要 将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需 要大概12小时。显然这是不合理的。因此，我们在仔细对mat lab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函 数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。所以，为了提高求解速度，我 们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后 得到多个带参表达式，利用int函数对y

13、的概率密度函数进行积分，分别得到 出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过 程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大 大减少。离子分离器参数均值亍二离子分离器参数方差二模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分如随机数发生器在每种零件参数允许范围内产生1000个随机数参与真实值旺的计算随机模拟 N次后结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用275143418根据最优解的亍二，二画出y的概率分布图，再对x随机取样画出y的概 率分布图（见图），由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进 一步确保了模

14、型的正确性。图概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由（元/个）降低到 （元/个），降幅为,结果是令人满意的。七、误差分析1、 在建模过程中，通过泰勒公式将y = f（X）展开并略去二次及以上项使线 性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似 关系式。但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由 于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。在函数关系式较复杂的情况下， 将其线性化更具有明显的优势。2、 本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允 范围内，即旺-3巧0 +3巧。现实中，小概率事件仍有发生的可能性，

15、但在大 批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每 个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。八、模型的评价及推广1.优点（1） 建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从 满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。（2） 本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。通过建立一 个反映设计要求的数学模型，利用MATLAB软件，经过编程来实现对设计方案 参数的调整，将总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅达到,结果还是 令人十分满意的。（3） 本模型在程序

16、运算的过程中，做了适当处理，将每次循环本该由计算机 求偏导和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大 大节约了运算时间，将运行时间由儿个小时缩短为。2.缺点（1） 本模型在模型的求解过程中，对一些可接受范围内的误差直接进行了忽 略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。（2） 本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产 中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。在已假定的条件下，本 模型的优化结果是好的。3推广此模型有较强的应用价值。工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响 产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。所以需综合考虑零件成本和质

17、量，以求获得最大的经济效益。本模型具有广泛的适用性，很容易加以推广。模型中的设计变量兀(心1,2,7)可以推广到“个的情形，即设计变量“(心1，2丿)已川，其中设 计空间川是一个”维空间。本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可 用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样 可推广应用。参考文献1韩之俊，姚平中，概率与统计，国防工业出版社,19852陈宝林，最优化理论与算法，清华大学出版社,1989【3】裘宗燕，数学软件系统的应用及程序设计，北京大学出版社，1994【4】 许波，Matlab工程数学应用，清华大学出版社，2001附录：mat lab代码：functi

18、on f=resuIt%穷举108种容错等级组合求解全局最优解fval=inf;tic%Bmin=2 333332;%XminB(l)=2;B(5)=3;for i=2:3for j=l:3B 二j;for t二1:3B 二t;for g二1:3B(6)=g;for m二1:2B(7)=m;fv, x二getcost (B);if fvfvalXmin二x;Bmin=B;fval=fv;end;end;end;end;end;end;f=fval, Xmin, Bmin, p=getP (Xmin, Bmin)toesimulation (Xmin, Bmin) ;%用随机法和计算的结果进行模

19、拟比i function f二Simulation(IU, B)%用随机法和计算的结果进行模拟比较for i=l:10000y(i) =Yfun(getparaX(MU, B);end;f,xi = ksdensity (y);plot(xi,f) ; %画经验概率密度曲线hold on;yO=Yfun(MU);fc=getfcY (MU, B);%x = normrnd (yO, fc, 1, 10000);fl,xj = ksdensity (x):plot (xj, fl, r?);%x0=min(y):max(y);y=(2*pi) *fc)(-1)*exp(-(x0-y0). 2/2

20、/fc 2);plot (xO, y, r);%x=min(y):max(y);yg二gaussmf(x,fc,y0_);plot (x, yg, r);% title(对照图);gtextC注:蓝线为对x随机取样求得的y分祐);gtextC红线为根据模型计算出的y分布);xlabel ( )；ylabel ( y的概率密度)；hold off;function f,x二getcost(B)%在给定容差等级的情况下求最优的标定值，使得Y的均值为yO的情况下，方差最小MU= 16 ;%给定初始的标定值options=optimset( LargeScale，, off , Display, of

21、f )Tolx,;x, fval =fmincon ( getfcY , MU, , , , , , , mycon , options, B);x, B, f=cost (x, B)function c, ceq=mycon(MU, B)%求最优标定值时的约束条件%c为不等式约束%ceq为等式约束c(l)=MU ；c (2) = (1);c=MU； c (4) = (2);c (5) =MU ；c (6) = (3);c二MU；c (8) = (4);c=MU；c(10) = (5);c(ll)=MU(6)-20;c(12)=12-MU；c(13)=MU(7);c(14) = (7);ceq

22、(l)=Yfun(MU);function f=cost(MU, B)%当标定值为MU,容差等级为B时，求费用 f=25;p=getP (MU, B) ;%求正品、次品、废品的槪if(B =2)f=f+50;elsef=f+20;end;switch (B(3)case 1f=f+200;case 2f=f+50;case 3f=f+20;end;switch (B(4)case 1 f=f+500;case 2 f=f+100;case 3 f=f+50;end;f=f+50;switch (B (6)case 1 f=f+100;case 2 f=f+25;case 3f二f+10;end

23、;if (B(7)=l)f=f+100;elsef=f+25;end;f=f+p(2)*1000+p(3)*9000:function f=getfcY(MU, B)%对于所给的标定值和容差求Y的方差 f 二0;B=int32 (B);for i=l:7辻 B(i)=lsigma (i) =MU (i) *3;end;if B(i)=2sigma(i) =MU (i) *3;end;if B(i)=3sigma (i)=MU (i)*3;end;end; xl二MU(1) ;x2=MU(2) ;x3=MU(3) :x4=MU (4) ; x5=MU(5) ;x6二MU ；x7RIU(7);%求

24、丫对各变量的偏导的评分与对应的方差乘积之和f= (pdl (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7) *sigma(l) 2; f=f+ (pd2 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)*sigma(2) 2;f=f+ (pd3 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7) *sigma (3) 2: f=f+ (pd4 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7) *sigma (4) 2;f=f+(pd5 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7) *sigma(5) 2; f二f+(pd6 (xl, x2, x3, x

25、4, x5, x6,x7)*sigma(6)2;f=f+(pd7(xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)*sigma(7) 2;f=abs (f;function f=pdl (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)%丫对迅的偏导f=8721/50/x5*(x3/(x2-xl)-(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/.(x4/x2厂(14/25)厂(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7厂(1/2)+.148257/1000*xl/x5/(x3/(x2-xl)厂(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2).-(14/

26、25)(3/2)*(x4/x2厂(29/25)/x6/x7厂(1/2)*x3/(x2-xl)2function f二pd2 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)%丫对边的偏导f=-148257/1000*xl/x5/(x3/(x2-xl) .(3/20) * (1-131/50* (1-9/25/ (x4/x2厂(14/25)(.3/2)*(x4/x2) (29/25)/x6/x7) (1/2)*x3/(x2-xl) .2+8721/100*xl/x5*(x3/(x2-xl)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/.(x4/x2厂(14/25)厂(3/2)* (

27、x4/x2厂(29/25)/x6/x7)，(1/2)*(24759/31250*.(1-9/25/(x4/x2厂(14/25)(1/2)/(x4/x2厂(2/5)*x4/x22+3799/1250*(1-9/25/.(x4/x2厂(14/25) (3/2)*(x4/x2)* (4/25)*x4/x2 2)/x6/x7;function f二pd3 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)%丫对対的偏导f=148257/1000*xl/x5/(x3/(x2-xl)Y (3/20)*(1-131/50*.(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2厂(29/

28、25)/x6/x7)(1/2)/(x2-xl);function f二pd4 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)%丫对対的偏导f=8721/100*xl/x5*(x3/(x2-xl)*(17/20)/ (1-131/50* (1-9/25/(x4/x2厂(14/25)“.(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*(-24759/31250* (1-9/25/(x4/x2厂(14/25).(1/2)/(x4/x2)* (2/5)/x2-3799/1250* (1-9/25/ (x4/x2) (14/25) (3/2)*(x4/x2) (4/25) /

29、x2) /x6/x7;function f二pd5 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)f=-8721/50*xl/x52*(x3/(x2-xl)厂(17/20)* (1-131/50* (1-9/25/ (x4/x2厂(14/25) (3/2)* (x4/x2厂(29/25)/x6/x7)“(1/2);function f二pd6 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)%丫对朋的偏导f=-8721/100*xl/x5*(x3/(x2-xl)厂(17/20)/(1-131/50* (1-9/25/(x4/x2 厂(14/25)；.(3/2)*(x4/x2) (29/25)/x6/x7) (1/2)*(1-131/50* (1-9/25/(x4/x2厂(14/25)(3/2)* (x4/x2厂(29/25)/x62/x7;function f二pd7 (xl, x2, x3, x4, x5, x6, x7)%丫对*7的偏导f=-8721/100*xl/x5*(x3/(x2-xl)厂(17/20)/(1-131/50* (1-9/25/. (x4/x2厂(14/25)厂(3/2)*(x4/x2厂(29/25)/x6/x7厂(1/2)*.(1-131/50*(1-9/25/ (x4/x2厂(