泰勒公式与麦克劳林公式推导证明.docx

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泰勒公式与麦克劳林公式推导证明

泰勒公式与麦克劳林公式推导证明

泰勒公式及麦克劳林公式推导证明

麦克劳林公式 是泰勒公式（在x。

=0下）的一种特殊形式。

若函数f（x）在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f（x）=f（0）+f'（0）x+f''（0）/2!

·x^2,+f'''（0）/3!

·x^3+……+f（n）（0）/n!

·x^n+Rn

其中Rn是公式的余项，可以是如下：

1.佩亚诺（Peano）余项：

Rn（x）=o（x^n）

2.尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

Rn（x）=f（n+1）（θx）（1-θ）^（n+1-p）x^（n+1）/（n!

p）

[f（n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

3.拉格朗日（Lagrange）余项：

Rn（x）=f（n+1）（θx）x^（n+1）/（n+1）!

[f（n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

4.柯西（Cauchy）余项：

Rn（x）=f（n+1）（θx）（1-θ）^nx^（n+1）/n!

[f（n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

5.积分余项：

Rn（x）=[f（n+1）（t）（x-t）^n在a到x上的积分]/n!

[f（n+1）是f的n+1阶导数]

泰勒公式

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式（Taylor'sformula）

带Peano余项的Taylor公式（

Maclaurin公式）：

可以反复利用L'Hospital法则来推导，

f（x）=f（x0）+f'（x0）/1!

*（x-x0）+f''（x0）/2!

*（x-x0）^2+…+f^（n）（x0）/n!

（x-x0）^n+o（（x-x0）^n）

泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：

若函数f（x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0）多项式和一个余项的和：

f（x）=f（x0）+f'（x0）*（x-x0）+f''（x0）/2!

*（x-x0）^2,+f'''（x0）/3!

*（x-x0）^3+……+f（n）（x0）/n!

*（x-x0）^n+Rn（x）

其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）/（n+1）！

*（x-x0）^（n+1），这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：

f（n）（x0）是f（x0）的n阶导数，不是f（n）与x0的相乘。

）

使用Taylor公式的条件是：

f（x）n阶可导。

其中o（（x-x0）^n）表示比无穷小（x-x0）^n更高阶的无穷小。

Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。

Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等

推导证明

我们知道f（x）=f（x.）+f'（x.）（x-x.）+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0f（x.+Δx）-f（x.）=f'（x.）Δx），其中误差α是在limΔx→0即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P（x）=A0+A1（x-x.）+A2（x-x.）^2+……+An（x-x.）^n

来近似地表示函数f（x）且要写出其误差f（x）-P（x）的具体表达式。

设函数P（x）满足P（x.）=f（x.）,P'（x.）=f'（x.）,P''（x.）=f''（x.），……，P（n）（x.）=f（n）（x.），于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。

显然，P（x.）=A0，所以A0=f（x.）；P'（x.）=A1,A1=f'（x.）；P''（x.）=2!

A2,A2=f''（x.）/2！

……P（n）（x.）=n!

An,An=f（n）（x.）/n！

。

至此，多项的各项系数都已求出，得：

P（x）=f（x.）+f'（x.）（x-x.）+f''（x.）/2!

（x-x.）^2+……+f（n）（x.）/n!

（x-x.）^n.

接下来就要求误差的具体表达式了。

设Rn（x）=f（x）-P（x），于是有Rn（x.）=f（x.）-P（x.）=0。

所以可以得出Rn（x.）=Rn'（x.）=Rn''（x.）=……=Rn（n）（x.）=0。

根据柯西中值定理可得Rn（x）/（x-x.）^（n+1）=（Rn（x）-Rn（x.））/（（x-x.）^（n+1）-0）=Rn'（ξ1）/（n+1）（ξ1-x.）^n（注：

（x.-x.）^（n+1）=0），这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'（x.））/（（n+1）（ξ1-x.）^n-0）=Rn''（ξ2）/n（n+1）（ξ2-x.）^（n-1）这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn（x）/（x-x.）^（n+1）=Rn（n+1）（ξ）/（n+1）！

，这里ξ在x.和x之间。

但Rn（n+1）（x）=f（n+1）（x）-P（n+1）（x），由于P（n）（x）=n!

An,n!

An是一个常数，故P（n+1）（x）=0，于是得Rn（n+1）（x）=f（n+1）（x）。

综上可得，余项Rn（x）=f（n+1）（ξ）/（n+1）！

（x-x.）^（n+1）。

一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn（x）写为Rn。

麦克劳林展开式：

若函数f（x）在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f（x）=f（0）+f'（0）x+f''（0）/2!

x^2,+f'''（0）/3!

x^3+……+f（n）（0）/n!

x^n+Rn

其中Rn=f（n+1）（θx）/（n+1）！

x^（n+1），这里0<；；θ<1。

证明：

如果我们要用一个多项式P（x）=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f（x）且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：

f（x）=f（0）+f'（0）x+f''（0）/2!

x^2,+f'''（0）/3!

x^3+……+f（n）（0）/n!

x^n+f（n+1）（ξ）/（n+1）！

x^（n+1）

由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<；；θ<1。

麦克劳林展开式的应用：

1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：

根据导数表得：

f（x）=sinx,f'（x）=cosx,f''（x）=-sinx,f'''（x）=-cosx,f⑷（x）=sinx……

于是得出了周期规律。

分别算出f（0）=0，f'（0）=1,f''（x）=0,f'''（0）=-1,f⑷=0……

最后可得：

sinx=x-x^3/3!

+x^5/5!

-x^7/7!

+x^9/9!

-……（这里就写成无穷级数的形式了。

）

类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=limx→∞（1+1/x）^x。

解：

对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!

+x^3/3!

+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!

+1/3!

+……+1/n!

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

3、欧拉公式：

e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）

证明：

这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。

过程具体不写了，就把思路讲一下：

先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。

由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。

然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。

有兴趣的话可自行证明一下。

公式展开

原理

e的发现始于微分，当h逐渐接近零时，计算之值，其结果无限接近一定值2.71828...，这个定值就是e，最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉，他以自己姓名的字头小写e来命名此无理数.

计算对数函数 的导数，得，当a=e时，的导数为，因而有理由使用以e为底的对数，这叫作自然对数.

若将指数函数ex作泰勒展开，则得

以x=1代入上式得

此级数收敛迅速，e近似到小数点后40位的数值是

将指数函数ex扩大它的定义域到复数z=x+yi时，由

透过这个级数的计算，可得

由此，DeMoivre定理，三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说，z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,

另方面，

所以，

我们不仅可以证明e是无理数，而且它还是个超越数，即它不是任何一个整系数多项式的根，这个结果是Hermite在1873年得到的.

甲）差分.

考虑一个离散函数（即数列）R，它在n所取的值u（n）记成un，通常我们就把这个函数书成或（un）.数列u的差分还是一个数列，它在n所取的值以定义为

以后我们干脆就把简记为

（例）：

数列1,4,8,7,6,-2,...的差分数列为3,4,-1,-1,-8...

注：

我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中，这样的说法就很恶劣.但在此地，却很恰当，因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.

差分算子的性质

（i）[合称线性]

（ii）（常数）[差分方程根本定理]

（iii）

其中，而（n（k）叫做排列数列.

（iv）叫做自然等比数列.

（iv）'一般的指数数列（几何数列）rn之差分数列（即「导函数」）为rn（r-1）

（乙）.和分

给一个数列（un）.和分的问题就是要算和.怎么算呢我们有下面重要的结果：

定理1（差和分根本定理）如果我们能够找到一个数列（vn），使得，则

和分也具有线性的性质：

甲）微分

给一个函数f，若牛顿商（或差分商）的极限存在，则我们就称此极限值为f为点x0的导数，记为f'（x0）或Df（x），亦即

若f在定义区域上每一点导数都存在，则称f为可导微函数.我们称为f的导函数，而叫做微分算子.

微分算子的性质：

（i）[合称线性]

（ii）（常数）[差分方程根本定理]

（iii）Dxn=nxn-1

（iv）Dex=ex

（iv）'一般的指数数列ax之导函数为

（乙）积分.

设f为定义在[a,b]上的函数，积分的问题就是要算阴影的面积.我们的办法是对[a,b]作分割：

；其次对每一小段[xi-1,xi]取一个样本点；再求近似和；最后再取极限（让每一小段的长度都趋近于0）.

若这个极限值存在，我们就记为的几何意义就是阴影的面积.

（事实上，连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.）

积分算子也具有线性的性质：

定理2若f为一连续函数，则存在.（事实上，连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.）

定理3（微积分根本定理）设f为定义在闭区间[a,b]上的连续函数，我们欲求积分如果我们可以找到另一个函数g，使得g'=f，则

注：

⑴⑵两式虽是类推，但有一点点差异，即和分的上限要很小心！

上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分，微分与积分，是两个互逆的操作，就好像加法与减法，乘法与除法是互逆的操作一样.

我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了，而上面定理1及定理3告诉我们，要计算（un）的和分及f的积分，只要去找另一个（vn）及g满足，g'=f（这是差分及微分的问题），那么对vn及g代入上下限就得到答案了.换句话说，我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作，这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.

甲）Taylor展开公式

这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的：

给一个函数f，我们要研究f的行为，但f本身可能很复杂而不易对付，于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数g，使其跟f很「靠近」，那么我们就用g来取代f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出，要使用逼近想法，我们还需要澄清

两个问题：

即如何选取简单函数及逼近的尺度.

（一）对于连续世界的情形，Taylor展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数，并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点，给一个直到到n阶都可导微的函数f，我们要找一个n次多项函数g，使其跟f在点x0具有n阶的「切近」，即，答案就是

此式就叫做f在点x0的n阶Taylor展式.

g在x0点附近跟f很靠近，于是我们就用g局部地来取代f.从而用g来求得f的一些局部的定性行为.因此Taylor展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数，即是所谓解析的函数时，则f可展成Taylor级数，而且这个Taylor级数就等于f自身.

值得注意的是，一阶Taylor展式的特殊情形，此时g（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）的图形正好是一条通过点（x0,f（x0））而且切于f的图形之直线.因此f在点x0的一阶Taylor展式的意义就是，我们用过点（x0,f（x0））的切线局部地来取代原来f曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神，是微分学的精义所在.

利用Taylor展式，可以帮忙我们做很多事情，比如判别函数的极大值与极小值，求积分的近似值，作函数表（如三角函数表，对数表等），这些都是意料中事.事实上，我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.

复次我们注意到，我们选取多项函数作为逼近的简单函数，理由很简单：

在众多初等函数中，如三角函数，指数函数，对数函数，多项函数等，从算术的观点来看，以多项函数最为简单，因为要计算多项函数的值，只牵涉到加减乘除四则运算，其它函数就没有这么简单.

当然，从别的解析观点来看，在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如，三角多项式，再配合上某种逼近尺度，我们就得到Fourier级数展开，这在应用数学上占有举足轻重的地位.（事实上，Fourier级数展开是采用最小方差的逼近尺度，这在高等数学中经常出现，而且在统计学中也有应用.）

注：

取x0=0的特例，此时Taylor展式又叫做Maclaurin展式.不过只要会做特例的展开，欲求一般的Taylor展式，作一下平移（或变数代换）就好了.因此我们大可从头就只对x=0点作Taylor展式.

（二）对于离散的情形，Taylor展开就是：

给一个数列，我们要找一个n次多项式数列（gt），使得gt与ft在t=0点具有n阶的「差近」.所谓在0点具有n阶差近是指：

答案是此式就是离散情形的Maclaurin公式.

乙）分部积分公式与Abel分部和分公式的类推

（一）分部积分公式：

设u（x）,v（x）在[a,b]上连续，则

（二）Abel分部和分公式：

设（un）,（v）为两个数列，令sn=u1+......+un，则

上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式D（uv）=（Du）v+u（Dv），及莱布尼慈差分公式的结论.注意到，这两个莱布尼慈公式，一个很对称，另一个则不然.

（丁）复利与连续复利（这也分别是离散与连续之间的类推）

（一）复利的问题是这样的：

有本金y0，年利率r，每年复利一次，要问n年后的本利和yn=显然这个数列满足差分方程yn+1=yn（1+r）

根据（丙）之

（二）得知yn=y0（1+r）n这就是复利的公式.

（二）若考虑每年复利m次，则t年后的本利和应为

令，就得到连续复利的概念，此时本利和为y（t）=y0ert

换句话说，连续复利时，t时刻的本利和y（t）=y0ert就是微分方程 y'=ry的解答.

由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述，而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程，解方程式的整个要点就是叠合原理，因此求解的办法具有完全平行的类推.

（戊）Fubini重和分定理与Fubini重积分定理（也是离散与连续之间的类推）

（一）Fubini重和分定理：

给一个两重指标的数列（ars），我们要从r=1到m,s=1到n，对（ars）作和，则这个和可以这样求得：

光对r作和再对s作和（反过来亦然）.亦即我们有

（二）Fubini重积分定理：

设f（x,y）为定义在上之可积分函数，则

当然，变数再多几个也都一样.

（己）Lebesgue积分的概念

（一）离散的情形：

给一个数列（an），我们要估计和，Lebesgue的想法是，不管这堆数据指标的顺序，我们只按数值的大小来分堆，相同的分在一堆，再从每一堆中取一个数值，乘以该堆的个数，整个作和起来，这就得到总和.

（二）连续的情形：

给一个函数f，我们要定义曲线y=f（x）跟X轴从a到b所围出来的面积.

Lebesgue的想法是对f的影域作分割：

函数值介yi-1到yi之间的x收集在一齐，令其为，于是[a,b]就相应分割成，取样本点，作近似和

让影域的分割加细，上述近似和的极限若存在的话，就叫做f在[a,b]上的Lebesgue积分.

余项

泰勒公式的余项f（x）=f（a）+f'（a）（x-a）/1!

+f''（a）（x-a）^2/2!

+……+f（n）（a）（x-a）^n/n!

+Rn（x）[其中f（n）是f的n阶导数]

泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：

⒈佩亚诺（Peano）余项：

Rn（x）=o（（x-a）^n）

⒉施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

Rn（x）=f（n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^（n+1-p）（x-a）^（n+1）/（n!

p）

[f（n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

⒊拉格朗日（Lagrange）余项：

Rn（x）=f（n+1）（a+θ（x-a））（x-a）^（n+1）/（n+1）！

[f（n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

⒋柯西（Cauchy）余项：

Rn（x）=f（n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^n（x-a）^（n+1）/n!

[f（n+1）是f的n+1阶导数，θ∈（0,1）]

⒌积分余项：

Rn（x）=[f（n+1）（t）（x-t）^n在a到x上的积分]/n!

[f（n+1）是f的n+1阶导数]