请说明理由.
（2）当△ABC和厶ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在
（1）中的位置关系仍
然成立？
不必说明理由.
甲:
AB:
AC=AD
AE=1，/BAC=/DAE却0°
乙:
AB:
AC=AD
AE为，/BAC=/DAE=90°°
丙:
AB:
AC=AD
AE鬥，/BAC=/DAE為0°
（1）若AB=AC，请探究下列数量关系:
1在图②中，BD与CE的数量关系是;
2在图③中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=k?
AC（k>1）,按上述操作方法，得到图④，请继续探究：
AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.
6.
CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且
（2008?
台州）CD经过/BCA顶点C的一条直线,/BEC=/CFA=/a.
（1）若直线CD经过/BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：
1如图1,若/BCA=90°/«=90°
则BECF;EF|BE-AF|（填>”，Z”或=”）；
2如图2,若0°v/BCAv180°请添加一个关于/a与/BCA关系的条件__，使①中的两
个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
（2）如图3，若直线CD经过/BCA的外部，/a=/BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.
7.（2007?
绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1,己知四边形ABCD中，AC平分
/DAB，/DAB=60°/B与/D互补，求证：
AB+AD=.小敏反复探索，不得其解.她想，若将
四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.
（1）特殊情况入手添加条件：
2B=/D”，如图2，可证AB+AD=J|AC;（请你完成此证明）
（2）
解决原来问题受到
（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：
如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）
&（2007?
常德）如图，已知AB=AC,
（1）若CE=BD，求证：
GE=GD;
（2）若CE=m?
BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）
9.（2006?
泰安）
（1）已知：
如图①，在△AOB和厶COD中，OA=OB，OC=OD，2AOB=2COD=60°求证：
①AC=BD;②2APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和厶COD中，若OA=OB，OC=OD，2AOB=2COD=a，贝UAC与BD间的等量
关系式为;2APB的大小为;
（3）如图③，在△AOB和厶COD中，若OA=k?
OB，OC=k?
OD（k>1），2AOB=2COD=a，贝UAC与
BD间的等量关系式为;2APB的大小为
图CD
昌I
图③
10.（2005?
南宁）（A类）如图，DE丄AB、DF丄AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）
①AB=AC;②BD=CD;③BE=CF
已知：
DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD求证：
BE=CF
已知：
DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF
求证：
BD=CD
已知：
DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF
求证：
AB=AC
（B类）如图，EG//AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正
确的命题（只需写出一种情况）①AB=AC;②DE=DF;③BE=CF已知：
EG//AF,AB=AC,DE=DF求证：
BE=CF
参考答案与试题解析
一.解答题（共10小题）
1.（2013?
泉州）如图，已知AD是厶ABC的中线，分别过点B、C作BE丄AD于点E,CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：
BE=CF.
考点：
全等三角形的判定与性质.
专题：
证明题.
分析：
根据中线的定义可得BD=CD，然后利用角角边”证明△BDE和厶CDF全等，根据全等三角形对应
边相等即可得证.
解答：
证明：
•••AD是厶ABC的中线，
•••BD=CD,
•/BE丄AD,CF丄AD,
•••/BED=/CFD=90°在厶BDE和厶CDF中,fZBED-ZCra=90°\ZBDE-ZCDF,
Ibd=cd
•••△BDE◎△CDF（AAS）,
•BE=CF.
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，并灵活运用.
利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握
2.（2013?
可南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/C=90°ZB=/E=30°
（1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：
1线段DE与AC的位置关系是DE//AC;
2设厶BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是Sj=S2.
A（D）C
图1
（2）猜想论证
当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想
（1）中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
（3）拓展探究
已知/ABC=60。
，点D是角平分线上一点，BD=CD=4,DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA
上存在点F,使S^dcf=Sabde，请直接写出相应的BF的长.
考点：
全等三角形的判定与性质.
专题：
几何综合题；压轴题.
分析：
（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得/ACD=60°然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半求
出AC=2aB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC
2
的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（2）根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出/ACN=/DCM,然后利用角角边”证明△ACN和厶DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相
等证明；
（3）过点D作DFi/BE，求出四边形BEDFi是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DFi，然后根
据等底等高的三角形的面积相等可知点Fi为所求的点，过点D作DF2丄BD，求出/FiDF2=60°
从而得到△DFiF2是等边三角形，然后求出DF仁DF2，再求出/CDF仁/CDF2，利用边角边”证明△CDFi和厶CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE
中求出be的长，即可得解.
解答:
解：
（I）①•••△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，
•••AC=CD,
•••/BAC=90°-ZB=90°-30°60°
•△ACD是等边三角形，
•••/ACD=60°
又•••/CDE=/BAC=60°
•••/ACD=/CDE,
•DE//AC；②•••/B=30°/C=90°
•CD=AC=」AB,
2
•bd=ad=ac,
根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，
•••△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）即Sl=S2；
故答案为：
DE//AC;Si=S2；
（2）如图，•••△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
•BC=CE,AC=CD,
•••/ACN+/BCN=90°/DCM+/BCN=180°-90°90°
•••/ACN=/DCM,
•••在△ACN和厶DCM中，
rZACN=ZDCM
“ZCHD二ZN二90",
[qcd
•••△ACN◎△DCM（AAS）,
•AN=DM,
•△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）即S1=S2；
（3）如图，过点D作DFi//BE，易求四边形BEDFi是菱形，所以BE=DFi,且BE、DFi上的高相等，
此时S^DCF=S^BDE,
过点D作DF2丄BD,
•••/ABC=60°
FiDF2=ZABC=60°
DFiF2是等边三角形，
•-DFi=DF2,
•••BD=CD，/ABC=60°点D是角平分线上一点，
•••/DBC=/DCB=>60°=30°
•••/CDFi=i80°-30°i50°
/CDF2=360°-i50°-60°i50°
•/CDFi=/CDF2,
•/在△CDFi和厶CDF2中，
rDF^DFj
Zcdf1=Zcdf2,
lcd=cd
•••△CDFiBACDF2（SAS）,
••点F2也是所求的点
•••/ABC=60°点D是角平分线上一点，DE//AB,
•••/DBC=/BDE=/ABD=>60°=30°
2
又•••BD=4,
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形
的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个.
3.（2013?
大庆）如图，把一个直角三角形ACB（/ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H.
（1）求证：
CF=DG;
（2）求出/FHG的度数.
考点：
全等三角形的判定与性质.
分析：
（1）在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得/DHF=/CBF=60°从而求解.
解答：
（1）证明：
•••在△CBF和厶DBG中，
Ibf=bg
•••△CBF◎△DBG（SAS）,
•••CF=DG;
（2）解：
•••△CBF也厶DBG,
•••/BCF=/BDG,
又•••/CFB=/DFH,
•••/DHF=/CBF=60）
•••/FHG=180°-ZDHF=180°-60°120）
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.
4.（2012?
阜新）
（1）如图，在△ABC和厶ADE中，AB=AC,AD=AE，/BAC=/DAE=90°
1当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？
直接写出你猜想的结论；
2将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转％角（0°请说明理由.
（2）当△ABC和厶ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在
（1）中的位置关系仍
然成立？
不必说明理由.
甲:
AB:
AC=AD
AE=1,/BAC=/DAE却0°
乙:
AB:
AC=AD
AE为，/BAC=/DAE=90°°
丙:
AB:
AC=AD
AE鬥，/BAC=/DAE為0°
考点：
全等三角形的判定与性质.
专题：
几何综合题；压轴题.
分析：
（1）①BD=CE,BD丄CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD◎△ACE,然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等/ABF=/ECA;然后在△ABD和厶CDF中，由三角形内角和定理可以求得/CFD=90°即BD丄CF;
②BD=CE,BD丄CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD◎△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等/ABF=/ECA;作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角/ABF=/HCF，再根据三角形内角和定理证得/BHC=90°
（2）根据结论①、②的证明过程知，/BAC=/DFC（或/FHC=90°时，该结论成立了，所以本条件中的/BAC=/DAE却0。
不合适.
解答：
解：
（1）①结论：
BD=CE,BD丄CE;
②结论：
BD=CE,BD丄CE…1分
理由如下：
I/BAC=/DAE=90°
•••/BAC-/DAC=/DAE-/DAC，即/BAD=/CAET分在厶ABD与厶ACE中，
rAB=AC
•••*ZBAD=ZCAE
.AD二AE
•△ABD◎△ACE（SAS）
•BD=CE…1分
延长BD交AC于F,交CE于H.
在厶ABF与厶HCF中，
•//ABF=/HCF,/AFB=/HFC
•••/CHF=/BAF=90°
•BD丄CE•••3分
（2）结论：
乙.AB:
AC=AD:
AE,/BAC=/DAE=90°2-分
本题考查了全等三角形的判定与性质.SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作为判定三角形全等的定
理.注意：
在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：
直角三角形为HL,
因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS）,因为这两种情况
都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全
绕A点顺时针旋转一定角度，得到图
②，然后将BD、CE分另延长至M、N，使DM-丄BD,EN-丄CE,
22
5.（2009?
仙桃）如图所示，在厶ABC中，D、E分别是AB、AC上的点,
DE//BC,如图①，然后将△ADE
得到图③，请解答下列问题:
（1）若AB=AC，请探究下列数量关系:
1在图②中，BD与CE的数量关系是;
2在图③中，猜想AM与AN的数量关系、/MAN与/BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=k?
AC（k>1）,按上述操作方法，得到图④，请继续探究：
AM与AN的数量关系、/MAN
与/BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.
考点：
全等三角形的判定.
专题：
分析：
压轴题；探究型.
（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC◎△ADB，所以BD-CE;
②根据题意可知/CAE-BAD,AB-AC,AD-AE,所以得到△BAD◎△CAE,在厶ABM和厶ACN中，DM-^BD,EN-gcE，可证△ABMACN，所以AM-AN，即/MAN-/BAC.
（2）直接类比
（1）中结果可知AM-k?
AN，/MAN-/BAC.
解答：
解:
（1）①BD-CE;
②AM-AN，/MAN-/BAC,•••/DAE-/BAC,
•••/CAE=/BAD,
在△BAD和△CAE中
‘AE二AD
ZCAE=ZBAD•△CAEBAD（SAS）,he二AB
•••/ACE=/ABD,
•/DM=2bd,EN=丄CE,
22
•BM=CN,
在厶ABM和厶ACN中，
Hcn
•-*ZACN=ZABM
lab=ac
•••△ABM◎△ACN（SAS）,
•AM=AN,
•••/BAM=/CAN，即/MAN=/BAC;
（2）AM=k?
AN,/MAN=/BAC.
点评：
本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、
AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件•本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.
6.（2008?
台州）CD经过/BCA顶点C的一条直线，CA=CB.E,F分别是直线CD上两点，且/BEC=/CFA=/a.
（1）若直线CD经过/BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：
1如图1,若/BCA=90°/«=90°
则BE=CF;EF=|BE-AF|（填、”，Z”或=”）；
2如图2,若0°v/BCAv180°请添加一个关于/a与/BCA关系的条件/a/BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
（2）如图3，若直线CD经过/BCA的外部，/a=/BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）•考点：
直角三角形全等的判定；三角形内角和定理.
专题：
几何综合题；压轴题.
分析：
由题意推出/CBE=/ACF，再由AAS定理证△BCE◎△CAF，继而得答案.
解答：
解：
（1）①BCA=90°/«=90°
•••/BCE+/CBE=90°,/BCE+/ACF=90°,
•••/CBE=/ACF,
•/CA=CB，/BEC=/CFA;
•••△BCE◎△CAF,
•BE=CF;EF=|BE-AF|.
②所填的条件是：
/a+ZBCA=180°
证明：
在△BCE中，ZCBE+ZBCE=180。
-ZBEC=180。
-Za.
vZBCA=180°-Za,
•ZCBE+ZBCE=ZBCA.
又vZACF+ZBCE=ZBCA,
•ZCBE=ZACF,
又vBC=CA,ZBEC=ZCFA,
•••△BCE◎△CAF（AAS）
•BE=CF,CE=AF,
又vEF=CF-CE,
•EF=|BE-AF|.
（2）EF=BE+AF.
点评：
本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等，相似的综合应用.
7.（2007?
绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1,己知四边形ABCD中，AC平分
ZDAB,ZDAB=60°ZB与ZD互补，求证：
AB+AD=■:
AC.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.
（1）特殊情况入手添加条件：
2B=ZD”，如图2，可证AB+AD=二AC;（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到
（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：
如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F.（请你补全证明）
考点：
直角三角形全等的判定.
专题：
证明题；压轴题；开放型.
分析:
（1）如果：
2B=/D”，根据/B与/D互补，那么/B=/D=90°又因为/DAC=/BAC=30°因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=J3aC,那么AD+AB^^AC.
2
（2）按
（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到
（1）的条件.根据AAS可证两三角形全等，DF=BE.然后按照
（1）的解法进行计算即可.
解答：
证明：
（1）vZB与/D互补，/B=2D,
•••/B=2D=90°
2CAD=2CAB=丄2DAB=30°
2
•••在△ADC中，cos30°=—,
AC
在厶ABC中，cos30°翌,
AC
•••AB^JaC,AD=^駅.
22甌
•AB+AD=后蚯.
（2）由
（1）知，AE+AF^3AC,
•/AC为角平分线，CF丄CD,CE丄AB,
•CE=CF.
而2ABC与2D互补，
2ABC与2CBE也互补，
•2D=2CBE.
•••在Rt△CDF与Rt△CBE中，
rZCEB=ZCFD
”ZD^ZCBE
I.CE=CF
•Rt△CDF也Rt△CBE.
•DF=BE.
•AB+
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