鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一上学期期中联考数学试题含答案.docx
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鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一上学期期中联考数学试题含答案
2021-2022学年
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷
考试时间:
2021年11月17日上午8:
00-10:
00试卷满分:
150分
一．选择题（共8小题）
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，4，7}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（ ）
A．{2，4，6}B．{3，5，6}C．{6}D．{2，3，4，5，6}
2．已知条件p：
2x﹣4＞0，条件q：
x2﹣5x+6＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则
5．若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，2]B．[﹣1，1）C．（1，3]D．[0，1）∪（1，2]
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
7．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（﹣∞，）
8．已知函数在区间[2，5]的最大值为2，则t的值为（ ）
A．2B．3C．2或3D．﹣1或6
二．多选题（共4小题）
9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数
C．f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]
10．下列说法错误的是（ ）
A．命题p：
∀x，y∈（0，1），x+y＜2，则￢p：
∃x0，y0∈（0，1），x0+y0≥2
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件
C．“|x|＞|y|是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件
11．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：
每月土地占地费y1（单位：
万元）与仓库到车站的距离x（单位：
km）成反比，每月库存货物费y2（单位：
万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论不正确的是（ ）
A．y1B．y2＝4x
C．y1+y2有最大值4D．y1﹣y2无最小值
12．有下列几个命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数
B．函数y在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是减函数
C．函数y的单调区间是[﹣2，+∞）
D．已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）
三．填空题（共4小题）
13．设函数f（x），则f（f（3））的值为 ．
14．已知a，b∈R，且a＞b＞0，a+b＝1，则a2+2b2的最小值为 ．
15．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝5x+1，则f（x）＝ ．
16．定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式1的x构成的区间的长度之和为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若m＝4，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
18．对于实数a，b，定义运算“*”，，
设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）关于x的方程f（x）＝m恰有三个互相不相等额实数根x1，x2，x3，求x1+x2+x3的取值范围．
19．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）；
（2）证明：
函数y＝f（x）是奇函数；
（3）证明：
函数f（x）是R上的减函数．
20．已知函数f（x）＝x2﹣（a+4）x+3a（a∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）+x＜0；
（2）若对∀x∈[2，6]，都有f（x）≥a﹣10成立，求a的最大值．
21．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：
千克）与施用发酵有机肥x（单位：
千克）满足如下关系：
，单株发酵有机肥及其它成本总投入为30x+100元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f（x）（单位：
元）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？
最大利润是多少？
22．[x]表示不超过x的最大整数，例[0]＝0，[π]＝3，[﹣1.3]＝﹣2．已知函数f（x）＝[x]，．
（1）求函数g[f（x）]的定义域；
（2）求证：
当x∈Z且x≠﹣1时，总有f[g（x）]≤g[f（x）]，并指出当x为何值时取等号；
（3）解关于x的不等式f[g（x）]＞g[f（x）]．
湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，4，7}，则（∁UA）∩（∁UB）＝（ ）
A．{2，4，6}B．{3，5，6}C．{6}D．{2，3，4，5，6}
解：
因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，4，7}，
所以∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{3，5，6}则（∁UA）∩（∁UB）＝{6}．故选：
C．
2．已知条件p：
2x﹣4＞0，条件q：
x2﹣5x+6＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解：
由2x﹣4＞0，解得：
x＞2；由x2﹣5x+6＜0，解得：
2＜x＜3，
则p是q的必要不充分条件，故选：
B．
3．在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
选项A，由y＝ax的图象知，a＞0，此时y＝xa在（0，+∞）上为增函数，而图中为减函数，即选项A错误；
选项B，由y＝ax的图象知，a＜0，此时y＝xa在（0，+∞）上为减函数，而图中为增函数，即选项B错误；
选项C，由y＝ax的图象知，a＞0，当a为偶数时，y＝xa为偶函数，即选项C正确；
选项D，由y＝ax的斜率知a＜0，由它在y轴上的截距知a＞0，互相矛盾，即选项D错误．故选：
C．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bcB．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则
解：
A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；
C．ab＞0，a＞b，则，正确．
D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．
故选：
C．
5．若函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，2]B．[﹣1，1）C．（1，3]D．[0，1）∪（1，2]
解：
由函数y＝f（x）的定义域是[0，2]，在函数中，
令，解得，所以g（x）的定义域是[﹣1，1）．故选：
B．
6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，f（﹣2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
解：
由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，
可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（﹣2）＝0，可得f
（2）＝0，
当2＞x＞0时，f（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，
∴xf（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选：
A．
7．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称．若不等式f（mx2+2m）+f（4x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（﹣∞，）
解：
函数y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）对称，
由y＝f（x）的图象可由y＝f（x﹣2）的图象向左平移2个单位可得，
则f（x）的图象关于原点对称，即f（x）为奇函数，且f（x）是定义在R上的增函数，
f（mx2+2m）+f（4x）＜0即为f（mx2+2m）＜﹣f（4x）＝f（﹣4x），
由f（x）为R上的增函数，可得mx2+2m＜﹣4x，
即有m对任意x∈[1，2]恒成立，
又2x3，有23，即，
即，则m，故选：
B．
8．已知函数在区间[2，5]的最大值为2，则t的值为（ ）
A．2B．3C．2或3D．﹣1或6
解：
x∈[2，5]，所以∈[1，4]，
函数在区间[2，5]的最大值为2，∴2，∴±2，
当1时，t＝3，当4时，t＝2，或t＝6，但是函数的最大值为2，t＝6，不满足题意所以t＝2或t＝3时，满足题意，故选：
C．
二．多选题（共2小题）
9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）上是增函数
C．f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]
解：
根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x﹣（﹣x）2＝﹣x﹣x2，
又由f（x）是偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣x，
则f（x），其大致图象如图：
依次分析选项：
对于A，f（x）的最大值为f（）＝f（），A错误，
对于B，f（x）在区间（，0）上是减函数，B错误，
对于C，f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），C正确，
对于D，f（x）+2x≥0，即或，解可得0≤x≤3，即不等式的解集为[0，3]，D正确，故选：
CD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题p：
∀x，y∈（0，1），x+y＜2，则￢p：
∃x0，y0∈（0，1），x0+y0≥2
B．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件
C．“|x|＞|y|是“x＞y”的必要条件
D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件
解：
命题p：
∀x，y∈（0，1），x+y＜2，则￢p：
∃x0，y0∈（0，1），x0+y0≥2满足命题的否定形式，所以A正确；
“a＞1，b＞1”能够说明“ab＞1”成立，反之不成立，所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件，所以B正确；
“|x|＞|y|”推不出“x＞y”，例如x＝﹣2，y＝1；反之不成立，例如x＝1，y＝﹣2，所以“|x|＞|y|是“x＞y”的既不充分也不必要条件，所以C不正确；
“m＜0”说明“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”，反之成立，所以“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件，所以D正确；故选：
ABD．
11．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：
每月土地占地费y1（单位：
万元）与仓库到车站的距离x（单位：
km）成反比，每月库存货物费y2（单位：
万元）与x成正比，若在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论不正确的是（ ）
A．y1B．y2＝4xC．y1+y2有最大值4D．y1﹣y2无最小值
解：
由题意，设y1，y2＝k2x（x＞0，k1，k2≠0），
因为在距离车站10km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，
所以，解得k1＝10，k2＝0.4，
所以（x＞0），
则，
当且仅当，即x＝5时取等号，
故选项B正确，选项C正确，选项A错误；
因为在（0，+∞）上单调递减，
所以y1﹣y2无最小值，故选项D正确．故选：
BCD．
12．有下列几个命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数
B．函数y在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上是减函数
C．函数y的单调区间是[﹣2，+∞）
D．已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）
解：
由y＝2x2+x+1＝2（x）2在[，+∞）上单调递增可知，
函数y＝2x2+x+1在（0，+∞）上是增函数，故A正确；
y在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上均是减函数，但在（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）上不是减函数，如﹣2＜0，但，故B错误；y在[﹣2，﹣1）上无意义，从而在[﹣2，+∞）上不是单调函数，故C错误；由a+b＞0得a＞﹣b，又f（x）在R上递增，所以f（a）＞f（﹣b），同理，f（b）＞f（﹣a），
所以f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b），故D正确．故选：
AD．
三．填空题（共4小题）
13．设函数f（x），则f（f（3））的值为 ．
解：
∵函数，3＞1∴f（3），
∴f（）＝（）2+11，故答案为；
14．已知a，b∈R，且a＞b＞0，a+b＝1，则a2+2b2的最小值为 ．
解：
a＞b＞0，a+b＝1，则，
则，当且仅当时取等号，
故a2+2b2的最小值为．故答案为：
．
15．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝5x+1，则f（x）＝ ﹣5x﹣1 ．
解：
函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝5x+1，…①，
可得f（﹣x）+2f（x）＝﹣5x+1…②，
①﹣2×②可得：
﹣3f（x）＝15x+3，可得f（x）＝﹣5x﹣1．故答案为：
﹣5x﹣1．
16．定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式1的x构成的区间的长度之和为 2 ．
解：
∵1，实数a＞b，∴1，即，
设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b＝0的根为x1和x2，则由求根公式可得，
x1，x2，把不等式的根排在数轴上，
穿根得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1﹣b）+（x2﹣a）
＝（x1+x2）﹣a﹣b＝（a+b+2）﹣a﹣b＝2，
四．解答题（共6小题）
17．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若m＝4，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解：
（1）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，
当m＝4时，B＝{x|5≤x≤7}，∴A∪B＝{x|﹣2≤x≤7}．
（2）∵A∩B＝∅，∴当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，
当B≠∅时，或，
解得m＞4，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，2）∪（4，+∞）．
18．对于实数a，b，定义运算“*”，，设
f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）关于x的方程f（x）＝m恰有三个互相不相等额实数根x1，x2，x3，求x1+x2+x3的取值范围．
解：
（1）∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x），
（2）画出函数的图象，
从图象上观察当关于x的方程为f（x）＝m（m∈R）
恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，）；
（2）由
（1）得：
当﹣x2+x＝m时，有x1+x2＝1，
当2x2﹣x＝m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，
得到x3，m∈（0，），
显然m＝0时，x3＝0，m时，x3，故x1+x2+x3∈（1，）．
19．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），
且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）；
（2）证明：
函数y＝f（x）是奇函数；
（3）证明：
函数f（x）是R上的减函数．
解：
（1）f（0）＝2f（0），则f（0）＝0．
（2）令a＝x，b＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数y＝f（x）是奇函数；
（3）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则f（x2﹣x1）＜0，
∴f（x1）+f（x2﹣x1）＝f（x2）＜f（x1），∴函数y＝f（x）是R上的减函数．
20．已知函数f（x）＝x2﹣（a+4）x+3a（a∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）+x＜0；
（2）若对∀x∈[2，6]，都有f（x）≥a﹣10成立，求a的最大值．
解：
（1）f（x）+x＜0即为x2﹣（a+3）x+3a＜0，
可得（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a＝3时，（x﹣3）2＜0，可得x∈∅；
当a＞3时，解得3＜x＜a；当a＜3时，解得a＜x＜3．
所以a＝3时，解集为∅；a＜3时，解集为（a，3）；a＞3时，解集为（3，a）；
（2）∀x∈[2，6]，都有f（x）≥a﹣10成立，
可得x2﹣（a+4）x+3a≥a﹣10，即a（x﹣2）≤x2﹣4x+10对x∈[2，6]恒成立，
可令t＝x﹣2（0≤t≤4），当x＝2即t＝0时，原不等式显然成立；
当0＜t≤4时，at≤（t+2）2﹣4（t+2）+10，即a≤t对0＜t≤4恒成立，
由t2，当且仅当t∈（0，4]时，取得等号，
所以t的最小值为2，
则a≤2，即a的最大值为2．
21．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：
千克）与施用发酵有机肥x（单位：
千克）满足如下关系：
，单株发酵有机肥及其它成本总投入为30x+100元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为f（x）（单位：
元）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？
最大利润是多少？
解：
（I）f（x）＝75U（x）﹣（30x+100），
即，化简．
（II）当0≤x≤2时，f（x）＝75x2﹣30x+125，f（x）max＝f
（2）＝365，
当2＜x≤5时，（x＝4取等号），
综上所述，当x＝4时，单株利润最大，为380元．
22．[x]表示不超过x的最大整数，例[0]＝0，[π]＝3，[﹣1.3]＝﹣2．已知函数f（x）＝[x]，．
（1）求函数g[f（x）]的定义域；
（2）求证：
当x∈Z且x≠﹣1时，总有f[g（x）]≤g[f（x）]，并指出当x为何值时取等号；
（3）解关于x的不等式f[g（x）]＞g[f（x）]．
解：
，，
（1）∵[x]+1≠0即[x]≠﹣1，∴该函数定义域为（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）；
（2）证明：
当x∈Z且x≠﹣1时，
而，即f[g（x）]≤g[f（x）]．当为整数，即x＝﹣3，﹣2，0，1时取等号；
（3）解不等式，其中x∈（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）．
当0≤x＜1时，则且[x]＝0，故左边＝﹣1＝右边，不符合题意；
当x≥1时，则且[x]≥1，故左边＝0，右边≥0，左边≤右边，不符合题意；
当﹣2≤x＜﹣1时，则[x]＝﹣2，故右边＝3，∴，即，解得：
；当
﹣3≤x＜﹣2时，且[x]＝﹣3，故左边＝2＝右边，不符合题意；当x＜﹣3时，，故左边＝1，而[x]≤﹣4，显然，左＜右，不符合题意．综上所述，符合题意的．
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