命题点2 切线的性质与判定（2018年9考，2017年8考，2016年10考）
3．（2016·河池12题3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0,2），B（0,8），则圆心P的坐标是（ D ）
A．（5,3） B．（5,4）
C．（3,5） D．（4,5）
4．（2018·百色25题10分）已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.
（1）求证：
△ABM∽△MCD；
（2）若AD＝8，AB＝5，求ME的长．
（1）证明：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AMD＝90°.
∵∠BMC＝180°，
∴∠2＋∠3＝90°.
∵∠ABM＝∠MCD＝90°，
∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3，
∴△ABM∽△MCD.
（2）解：
如答图，连接OM.
∵BC是⊙O的切线，∴OM⊥BC.又∵AB⊥BC，
∴sin∠E＝＝，∴＝.
∵AD＝8，AB＝5，
∴＝，∴OE＝16，
∴ME＝＝＝4.
5．（2018·玉林23题9分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.
（1）求证：
AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
（2）解：
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，
在Rt△ABC中，∵tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4.
在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，
∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.
6．（2018·河池25题10分）如图，⊙O的直径为AB，点C在⊙O上，点D，E分别在AB，AC的延长线上，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝∠CDE.
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的长．
（1）证明：
连接OC，
∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠DCE＋∠CDE＝90°.
又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.
∵∠A＝∠CDE，∴∠ACO＝∠CDE，
∴∠DCE＋∠ACO＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
（2）解：
由
（1）可得OC⊥CD，∵AB＝4，BD＝3，
∴OC＝OB＝AB＝2，OD＝OB＋BD＝5，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得，
CD＝＝＝.
7．（2018·贵港24题8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝BC＝CD，AB∥CD，连接BD.
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，cos∠BAC＝，求BD的长及⊙O的半径．
（1）证明：
如答图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC，OC，则∠BCE＝90°，∴∠OCE＋∠OCB＝90°.
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠A＝∠D.
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE.
∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠D.
∵∠A＝∠E，∴∠CBD＝∠D＝∠A＝∠OCE.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＋∠CBD＝90°，即∠EBD＝90°，
∴BD是⊙O的切线．
第7题答图
（2）解：
如答图2，∵cos∠BAC＝cos∠E＝＝，
∴设EC＝3x，EB＝5x，则BC＝4x，
∵AB＝BC＝10＝4x，x＝，
∴EB＝5x＝，∴⊙O的半径为.
过C作CG⊥BD于G，
∵BC＝CD＝10，∴BG＝DG，
在Rt△CGD中，cos∠D＝cos∠BAC＝＝，
∴＝，∴DG＝6，∴BD＝12.
8．（2018·贺州25题10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE.
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．
（1）证明：
∵OA＝OB，DB＝DE，
∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE.
∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，
∴∠A＋∠DEB＝90°，∴∠OBA＋∠DBE＝90°，
∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD.
∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线．
（2）解：
如答图，过点D作DF⊥AB于点F，连接OE.
∵点E是AB的中点，AB＝12，
∴AE＝EB＝6，OE⊥AB.
又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，
∴EF＝BF＝3，
∴DF＝＝＝4.
∵∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF.
∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO＝∠DFE＝90°，
∴△AEO∽△DFE，∴＝，
即＝，解得EO＝，
∴S△AOB＝AB·EO＝×12×＝27.
9．（2017·河池25题10分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.
（1）求证：
∠FEB＝∠ECF；
（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．
（1）证明：
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO＝∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO＋∠COB＝90°.
∵EF⊥OG，∴∠FEB＋∠FOE＝90°，而∠COB＝∠FOE，∴∠FEB＝∠ECF.
（2）解：
连接OD，如答图．
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD＝CB＝6，OD⊥CE，
CE＝CD＋DE＝6＋4＝10.
在Rt△BCE中，BE＝＝8.
设⊙O的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝8－r.
在Rt△ODE中，r2＋42＝（8－r）2，解得r＝3，
∴OE＝8－3＝5，
∴在Rt△OBC中，OC＝＝3.
∵∠COB＝∠FOE，∴△OEF∽△OCB，
∴＝，即＝，∴EF＝2.
10．（2017·百色25题10分）已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图1.
第10题图
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．
解：
（1）△ABC为等腰三角形．
证明：
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°.
∵＝，
∴∠EOF＝∠DOE.
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）连接OB，OC，OD，OF，如答图．
∵等腰△ABC中，AE⊥BC，
∴BE＝CE.
在Rt△AOF和Rt△AOD中，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD（HL），∴AF＝AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，
同理Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，
∴AD＝AF，BD＝CF，∴DF∥BC，∴＝.
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝.
11．（2018·柳州25题10分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.
（1）求证：
△DAC∽△DBA；
（2）过点C作⊙O的切线CE交AD于点E，求证：
CE＝AD；
（3）若点F为直径AB下方半圆的中点，连接CF交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．
（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°.
∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，
∴∠ACD＝∠DAB＝90°.
∵∠CDA＝∠ADB，∴△DAC∽△DBA.
（2）证明：
∵EA，EC是⊙O的切线，
∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA.
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＋∠DCE＝90°，∠DAC＋∠D＝90°，
∴∠D＝∠DCE，∴DE＝CE，
∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE，∴CE＝AD.
（3）解：
在Rt△ABD中，AD＝6，
AB＝3，∴tan∠ABD＝＝2.
如答图，过点G作GH⊥BD于点H，
∴tan∠ABD＝＝2，∴GH＝2BH.
∵点F是直径AB下方半圆的中点，∴∠BCF＝45°，
∴∠CGH＝∠CHG－∠BCF＝45°，
∴CH＝GH＝2BH，∴BC＝BH＋CH＝3BH.
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝2，∴AC＝2BC，
根据勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∴4BC2＋BC2＝9，∴BC＝，
∴3BH＝，∴BH＝，∴GH＝2BH＝.
在Rt△CHG中，∵∠BCF＝45°，
∴CG＝GH＝.
12．（2018·北部湾经济区25题10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG＝∠A，CD为直径，
第12题图
OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD.
（1）求证：
PG与⊙O相切；
（2）若＝，求的值；
（3）在
（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD＝OD，求OE的长．
（1）证明：
如答图，连接OB，则OB＝OD，
∴∠BDC＝∠DBO.
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠GBC＝∠BDC.
∵CD是⊙O的直径，∴∠DBO＋∠OBC＝90°，
∴∠GBC＋∠OBC＝90°，
∴∠GBO＝90°，∴PG与⊙O相切．
第12题答图
（2）解：
如答图，过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，
则∠AOM＝∠COM＝∠AOC.
∵A＝A，∴∠ABC＝∠AOC.
又∵∠EFB＝∠OMA＝90°，
∴△BEF∽△OAM，∴＝.
∵AM＝AC，OA＝OC，∴＝.
又∵＝，∴＝2×＝2×＝.
（3）解：
∵PD＝OD，∠PBO＝90°，∴BD＝OD＝8，
在Rt△DBC中，BC＝＝8.
又∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，
∴∠DOB＝60°.
∵∠DOB＝∠OBC＋∠OCB，OB＝OC，
∴∠OCB＝30°，∴＝，＝，
∴设EF＝x，则EC＝2x，FC＝x，
∴BF＝8－x.
在Rt△BEF中，BE2＝EF2＋BF2，
∴100＝x2＋（8－x）2，解得x＝6±.
∵6＋>8，舍去，∴x＝6－，
∴EC＝12－2，
∴OE＝8－（12－2）＝2－4.
13．（2018·桂林25题10分）如图1，已知⊙O是△ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点C，连接AC，BC.
（1）求证：
AC＝BC；
（2）如图2，在图1的基础上作⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点A作⊙O的切线AH，若AH∥BC，求∠ACF的度数；
（3）在
（2）的条件下，若△ABD的面积为6，△ABD与△ABC的面积比为2∶9，求CD的长．
第13题图
（1）证明：
∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC，∴A＝B，∴AC＝BC.
第13题答图
（2）解：
如答图，连接AO并延长
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