《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc
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《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设事件仅发生一个的概率为０．３,且，则至少有一个不发生的概率为＿＿__＿_____.
答案:
0.3
解：
即
所以
.
2．设随机变量服从泊松分布，且，则____＿＿.
答案:
解答:
由 知
即 解得 ,故
3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为______＿__.
答案：
解答:
设的分布函数为的分布函数为,密度为则
因为，所以,即
故
另解在上函数严格单调,反函数为
所以
4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则＿________，=_________.
答案:
，
解答：
，故
.
5．设总体的概率密度为
．
是来自的样本,则未知参数的极大似然估计量为＿＿_______.
答案：
解答：
似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
.
二、单项选择题（每小题３分，共15分）
1.设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是
（A）若，则与也独立.
（B）若，则与也独立.
（Ｃ）若,则与也独立.
（D）若,则与也独立. （）
答案:
（D）.
解答：
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以（A），（B）,（C）都是正确的,只能选（D）.
S
A
B
C
事实上由图 可见Ａ与C不独立.
２.设随机变量的分布函数为，则的值为
（A）. （B）.
（C）． （Ｄ）. （ ）
答案:
（A）
解答:
所以
应选（Ａ）.
３．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是
（A）与独立. （B）.
（C）. （D）.（ ）
答案:
（B）
解答:
由不相关的等价条件知,
应选（Ｂ）．
4．设离散型随机变量和的联合概率分布为
若独立,则的值为
（A）． （A）.
（C） （D）. （ ）
答案:
（A）
解答：
若独立则有
Y
X
，
故应选（A）．
５．设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中
正确的是
（A）是的无偏估计量． （Ｂ）是的极大似然估计量.
（C）是的相合（一致）估计量. （D）不是的估计量．（）
答案:
（A）
解答:
所以是的无偏估计,应选（A）.
三、（７分）已知一批产品中９0%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.０5,一个次品被误认为是合格品的概率为0．02,
求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率．
解：
设‘任取一产品,经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则
（1）
（２）.
四、（12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数,
求的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解:
的概率分布为
即
的分布函数为
.
五、（１０分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求
（1）关于的边缘概率密度;
（2）的分布函数与概率密度.
1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解：
（1）的概率密度为
（2）利用公式
其中
当或时
x
z
z=x
时
故的概率密度为
的分布函数为
或利用分布函数法
六、（10分）向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布. 求
（1）命中环形区域的概率；（２）命中点到目标中心距离的数学期望.
x
y
0
1
2
解:
（1）
;
（2）
.
七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：
cm）,今抽取容量为１6的样本,测得样本均值，样本方差.
（1）求的置信度为０．95的置信区间；
（2）检验假设（显著性水平为０.0５）.
（附注）
解：
（1）的置信度为下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为（9．７８68,1０.2132）
（2）的拒绝域为.
,
因为 ，所以接受．
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级:
姓名:
学号:
一、单项选择题（每题3分 共18分）
１.D 2.Ａ３．B4.A5.A６．B
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
一、单项选择题（每题３分 共18分）
（1）
（2）设随机变量X其概率分布为X-１0 1２
P0．２0.30.10．4
则（ ）。
（A）0.6 （Ｂ）1 （C）0 （D）
（3）
设事件与同时发生必导致事件发生,则下列结论正确的是（ ）
（Ａ） （B）
（C） （D）
（4）
（５）设为正态总体的一个简单随机样本，其中
未知,则（ ）是一个统计量。
（A） （B）
（Ｃ） （D）
（6）设样本来自总体未知。
统计假设
为 则所用统计量为（）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题（每空3分共１5分）
（1）如果，则 .
（2）设随机变量的分布函数为
则的密度函数 , .
（3）
（4）设总体和相互独立,且都服从,是来自总体的
样本,是来自总体的样本,则统计量
服从 分布（要求给出自由度）。
二、填空题（每空３分共15分）
1.２., ３. ４.
三、（6分）设相互独立，，,求.
解:
０．8８=
=（因为相互独立）…….．２分
= …………３分
则 ………….4分
…………６分
四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在
运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解：
用表示时刻运行的电梯数,则~ ……….．.2分
所求概率 …………４分
=0．９91９ ………….6分
五、（6分）设随机变量Ｘ的概率密度为 ,
求随机变量Y=2X+１的概率密度。
解:
因为是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分
当时， ………….2分
由, 得 …………4分
从而的密度函数为 …………．.5分
=………….．6分
五、（6分）设随机变量X的概率密度为 ,
求随机变量Y=2Ｘ+1的概率密度。
解：
因为是单调可导的,故可用公式法计算………….１分
当时, …………．2分
由，得 …………4分
从而的密度函数为…………．.5分
＝…………..6分
六、（8分）已知随机变量和的概率分布为
而且.
（1）求随机变量和的联合分布;
（2）判断与是否相互独立?
解：
因为，所以
（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
-101
0
1
0
0
0
………….４分
（2）因为
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