数学建模习题与答案课后习题.docx
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数学建模习题与答案课后习题
第一部分课后习题
1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：
将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
1
2
3
4
5
…
A
235
117.5
78.3
58.75
…
B
333
166.5
111
83.25
…
C
432
216
144
108
86.4
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：
1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
身长（cm）
36.8
31.8
43.8
36.8
32.1
45.1
35.9
32.1
重量（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
胸围（cm）
24.8
21.3
27.9
24.8
21.6
31.8
22.9
21.6
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数
4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
6.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
7.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。
下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。
组别
最大体重（kg）
抓举 （kg）
挺举 （kg）
总成绩（kg）
1
54
132.5
155
287.5
2
59
137.5
170
307.5
3
64
147.5
187.5
335
4
70
162.5
195
357.5
5
76
167.5
200
367.5
6
83
180
212.5
392.5
7
91
187.5
213
402.5
8
99
185
235
420
9
108
195
235
430
10
〉108
197.5
260
457.5
第一部分课后习题答案
1.按照题目所给方法
（1），
（2），（3）的席位分配结果如下表：
宿舍
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
（3）
A
3
2
2
4
4
3
B
3
3
3
5
5
5
C
4
5
5
6
6
7
总计
10
10
10
15
15
15
2.
（1）生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其它成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都含有与w，s均无关的成分。
又因为形状一定时一般有，故商品的价格可表为（为大于0的常数）。
（2）单位重量价格，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长的立方成正比，即，为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。
如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。
利用数据估计模型中的系数可得=0.014，=0.0322，将实际数据与模型结果比较如下表：
实际重量（g）
765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
727
469
1226
727
483
1339
675
483
模型
730
465
1100
730
483
1471
607
483
基本上满意。
4.将管道展开如图：
可得，若d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0。
若管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为d/w，若考虑两端影响，则应加上dw/sin。
对于其它形状管道，只需将d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
方案一：
圆盘中心按正方形排列，如下图1，圆盘总数为=[a/2][b/2]
方案二：
圆盘中心按六角形排列，如下图2，行数m满足2+（m-1）a，于是m=
图1图2
列数（按图2第1行计数）n满足：
若[b]为奇数，则各行圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。
圆盘总数为
其中
（1）为：
m为偶数。
（2）为：
m为奇数，[b]为偶数。
两个方案的比较见下表（表中数字为/）：
3
5
8
10
14
20
4
2/2
4/4
8/7
10/9
14/13
20/19
7
3/3
6/6
12/11
15/14
21/20
30/29
10
5/5
10/10
20/18
25/23
35/33
50/48
15
7/8
14/16
28/28
35/36
49/52
70/76
20
10/11
20/22
40/39
50/50
70/72
100/105
当a，b较大时，方案二优于方案一。
其它方案，方案一、二混合，若a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。
6.假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸之间的关系是，所以饲养食物量。
7.假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积（是某特征尺寸），体重，于是。
用举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果用举重总成绩拟合，可得=0.57，结果如下图4。
图3图4
第二部分课后习题
1.Malthus模型预测的优缺点。
2.阻滞增长模型预测的优缺点。
3.简述动态模型和微分方程建模。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。
并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型（Logistic模型）和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分课后习题答案
1.优点:
短期预报比较准确;缺点:
不适合中长期预报;原因:
预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
2.优点:
中期预报比较准确;缺点:
理论上很好，实用性不强;原因:
预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。
实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。
3.动态模型:
描述对象特征随时间（空间）的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:
模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
5.不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,以雌性个体数量为对象（假设性别比为1:
1）,是一种差分方程模型。
6.连续形式:
表示某种群时刻的数量（人口）
离散形式:
表示某种群第代的数量（人口）
若,则,是平衡点;的平衡点为.的平衡点为,其中,此时的差分方程变为
.
由可得平衡点.
在平衡点处,由于,因此,不稳定.
在在平衡点处,因,所以
（i）当时,平衡点不稳定;
（ii）当时,平衡点不稳定.
第三部分课后习题
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。
（a,b,c为常数，x,y为变量）
2.将下述线性规划问题化为标准形式。
3.用单纯形法求解线性规划问题。
4.检验函数在处有正定，从而为极小点。
证明G为奇异当且仅当，从而证明对所有满足的x，G是正定的。
5.求出函数的所有平稳点；问哪些是极小点？
是否为全局极小点？
6.应用梯度法于函数取迭代求
第三部分课后习题答案
1.答案：
（1）是
（2）不是（3）是
2.答案：
（1）
（2）令
引入松弛变量可得到如下的标准形式：
（3）解：
（4）解：
3.答案：
在上述问题的约束条件中加入松弛变量，将原问题化成标准形式如下：
其现成可行基对应的单纯形表如下：
2
5
0
0
0
0
1
0
1
0
0
4
0
2
0
1
0
12
3
2
0
0
1
18
换基迭代，得
2
0
0
-5/2
0
-30
1
0
1
0
0
4
0
1
0
1/2
0
6
3
0
0
-1
1
6
换基迭代，得
0
0
0
-11/6
-2/3
-34
0
0
1
1/3
-1/3
2
0
1
0
1/2
0
6
1
0
0
-1/3
1/3
2
故最优解为，目标函数的最优值为.
4.证明：
，
，
经检验，正定，
奇异当且仅当即。
若，即时，正定，
所以若则，即，故正定。
5.解：
，故平稳点为极小点为且是全局极小点。
6.解：
第四部分课后习题
1.如果
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