第三节函数的奇偶性与周期性.docx

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第三节函数的奇偶性与周期性

第三节

函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数

关于原点对称

口诀记忆

奇偶性有特征，定义域要对称；

奇函数，有中心，偶函数，有对称.

2.函数的周期性

（1）周期函数

对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．

（2）最小正周期

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

并不是所有周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.

[熟记常用结论]

1．奇偶性的5个重要结论

（1）如果一个奇函数f（x）在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.

（2）如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（－x）＝f（|x|）．

（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

2．周期性的4个常用结论

设函数y＝f（x），x∈R，a>0.

（1）若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a；

（2）若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a；

（3）若f（x＋a）＝

，则函数的周期为2a；

（4）若f（x＋a）＝－

，则函数的周期为2a.

3．对称性的3个常用结论

（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，即f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，即f（－x＋b）＋f（x＋b）＝0，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．

[小题查验基础]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）函数y＝x2，x∈（0，＋∞）是偶函数．（　　）

（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．（　　）

（3）如果函数f（x），g（x）为定义域相同的偶函数，则F（x）＝f（x）＋g（x）是偶函数．（　　）

（4）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（　　）

（5）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√　（5）√

二、选填题

1．下列函数中为偶函数的是（　　）

A．y＝x2sinx　　　　　　B．y＝x2cosx

C．y＝|lnx|D．y＝2－x

解析：

选B　A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.

2．下列函数为奇函数的是（　　）

A．y＝

B．y＝ex

C．y＝|x|D．y＝ex－e－x

解析：

选D　A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.

3．若y＝f（x）（x∈R）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f（x）图象上的是（　　）

A．（a，－f（a））B．（－a，－f（a））

C．（－a，－f（－a））D．（a，f（－a））

解析：

选B　因为（a，f（a））是函数y＝f（x）图象上的点，且y＝f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，所以点（－a，f（－a）），即（－a，－f（a））一定在y＝f（x）的图象上．

4．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析：

∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝

.

又f（－x）＝f（x），∴b＝0，∴a＋b＝

.

答案：

5．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1）时，f（x）＝

则f

＝________.

解析：

∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，

∴f

＝f

＝f

＝－4×

2＋2＝－1＋2＝1.

答案：

1

考点一

[基础自学过关]

函数奇偶性的判定

[题组练透]

判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝（x＋1）

；

（2）f（x）＝

（3）f（x）＝

；

（4）f（x）＝loga（x＋

）（a>0且a≠1）．

解：

（1）因为f（x）有意义，则满足

≥0，

所以－1＜x≤1，

所以f（x）的定义域不关于原点对称，

所以f（x）为非奇非偶函数．

（2）法一：

定义法

当x>0时，f（x）＝－x2＋2x＋1，

－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2（－x）－1＝x2－2x－1＝－f（x）；

当x＜0时，f（x）＝x2＋2x－1，

－x>0，f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＋1＝－x2－2x＋1＝－f（x）．

所以f（x）为奇函数．

法二：

图象法

作出函数f（x）的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f（x）为奇函数．

（3）因为

所以－2≤x≤2且x≠0，

所以定义域关于原点对称．

又f（－x）＝

＝

，

所以f（－x）＝f（x）．故函数f（x）为偶函数．

（4）函数的定义域为R，

因为f（－x）＋f（x）

＝loga[－x＋

]＋loga（x＋

）

＝loga（

－x）＋loga（

＋x）

＝loga[（

－x）（

＋x）]

＝loga（x2＋1－x2）＝loga1＝0.

即f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数．

[名师微点]

判断函数奇偶性的3种常用方法

（1）定义法：

确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f（－x）＝±f（x）或其等价形式f（－x）±f（x）＝0是否成立．

（2）图象法：

（3）性质法：

设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

[提醒]　分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x＜0来寻找等式f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

考点二

[师生共研过关]

函数奇偶性的应用

[典例精析]

（1）（2019·广州调研）已知函数f（x）＝

＋a为奇函数，则实数a＝________.

（2）函数f（x）在R上为奇函数，且x>0时，f（x）＝x＋1，则当x＜0时，f（x）＝________.

（3）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x－1），则f（2017）＋f（2019）的值为________．

[解析]　

（1）易知f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），即

＋a＝－

－a，所以2a＝－

－

＝－

－

＝－1，所以a＝－

.

（2）∵f（x）为奇函数，x>0时，f（x）＝x＋1，

∴当x＜0时，－x>0，

f（x）＝－f（－x）＝－（－x＋1）＝x－1，

即x＜0时，f（x）＝x－1.

（3）由题意得，g（－x）＝f（－x－1），

∵f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，

∴g（－x）＝－g（x），f（－x）＝f（x），

∴f（x－1）＝－f（x＋1），

即f（x－1）＋f（x＋1）＝0.

∴f（2017）＋f（2019）＝f（2018－1）＋f（2018＋1）＝0.

[答案]　

（1）－

（2）x－1　（3）0

[解题技法]

与函数奇偶性有关的问题及解题策略

（1）求函数的值：

利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．

（2）求函数解析式：

先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．

（3）求解析式中的参数值：

在定义域关于原点对称的前提下，利用f（x）为奇函数⇔f（－x）＝－f（x），f（x）为偶函数⇔f（x）＝f（－x），列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解．

[过关训练]

1．设f（x）－x2＝g（x），x∈R，若函数f（x）为偶函数，则g（x）的解析式可以为（　　）

A．g（x）＝x3　　　　　　B．g（x）＝cosx

C．g（x）＝1＋xD．g（x）＝xex

解析：

选B　因为f（x）＝x2＋g（x），且函数f（x）为偶函数，所以有（－x）2＋g（－x）＝x2＋g（x），即g（－x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.

2．设函数f（x）＝

若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（　　）

A．1B．3

C．－3D．－1

解析：

选C　∵函数f（x）＝

f（x）是奇函数，∴f（－3）＝－f（3），∴log2（1＋3）＝－（g（3）＋1），则g（3）＝－3.故选C.

3．若关于x的函数f（x）＝

（t≠0）的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝________.

解析：

f（x）＝

＝t＋

，

设g（x）＝

，则g（x）为奇函数，g（x）max＝a－t，g（x）min＝b－t.∵g（x）max＋g（x）min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.

答案：

1

考点三

[师生共研过关]

函数的周期性

[典例精析]

（1）已知函数f（x）＝

如果对任意的n∈N*，定义fn（x）＝

，那么f2019

（2）的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

（2）设定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，则f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2019）＝________.

[解析]　

（1）∵f1

（2）＝f

（2）＝1，f2

（2）＝f

（1）＝0，f3

（2）＝f（0）＝2，

∴fn

（2）的值具有周期性，且周期为3，

∴f2019

（2）＝f3×673

（2）＝f3

（2）＝2，故选C.

（2）∵f（x＋2）＝f（x），

∴函数f（x）的周期T＝2，

∵当x∈[0,2）时，f（x）＝2x－x2，

∴f（0）＝0，f

（1）＝1，

∴f（0）＝f

（2）＝f（4）＝…＝f（2018）＝0，

f

（1）＝f（3）＝f（5）＝…＝f（2019）＝1.

故f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2019）＝1010.

[答案]　

（1）C　

（2）1010

[解题技法]

函数周期性有关问题的求解策略

（1）求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．

（2）周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性（注意：

对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴），那么这个函数一定具有周期性．

[过关训练]

1．[口诀第2句]已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＝x3－1；当－1≤x≤1时，f（－x）＝－f（x）；当x>

时，f

＝f

，则f（6）等于（　　）

A．－2B．－1

C．0D．2

解析：

选D　当x>

时，f

＝f

，即周期为1，则f（6）＝f

（1）＝－f（－1）＝－[（－1）3－1]＝2.

2．[口诀第3、4句]已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（　　）

A．6B．7

C．8D．9

解析：

选B　当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.

当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），

所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），

所以当2≤x＜4时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.

同理可得，当4≤x＜6时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.

当x7＝6时，也符合要求．

综上可知，共有7个交点．

3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f（x）＝log2（x＋1），则下列不等式正确的是（　　）

A．f（log27）＜f（－5）＜f（6）

B．f（log27）＜f（6）＜f（－5）

C．f（－5）＜f（log27）＜f（6）

D．f（－5）＜f（6）＜f（log27）

解析：

选C　因为奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（1＋x）＝f（1－x），f（－x）＝－f（x），所以f（2＋x）＝f（－x）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（－5）＝f（－1）＝－f

（1）＝－1，f（6）＝f

（2）＝f（0）＝0.于是，结合题意可画出函数f（x）在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f（log27）＜0，故f（－5）＜f（log27）＜f（6），故选C.

考点四

[全析考法过关]

函数性质的综合应用

[考法全析]

考法

（一）　单调性与奇偶性综合

[例1]　（2018·石家庄质检）已知f（x）为奇函数，且当x>0时，f（x）单调递增，f

（1）＝0，若f（x－1）>0，则x的取值范围为（　　）

A．{x|0＜x＜1或x>2}　B．{x|x＜0或x>2}

C．{x|x＜0或x>3}D．{x|x＜－1或x>1}

[解析]　因为函数f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f

（1）＝0，又函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以可作出函数f（x）的示意图，如图，则不等式f（x－1）>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.

[答案]　A

考法

（二）　奇偶性与周期性综合

[例2]　（2019·赣州月考）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x）．若f

（2）>1，f（7）＝a，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，－3）B．（3，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（1，＋∞）

[解析]　∵f（x＋3）＝f（x），

∴f（x）是定义在R上的以3为周期的函数，

∴f（7）＝f（7－9）＝f（－2）．

又∵函数f（x）是偶函数，

∴f（－2）＝f

（2），∴f（7）＝f

（2）>1，

∴a>1，即a∈（1，＋∞）．故选D.

[答案]　D

考法（三）　单调性、奇偶性与周期性结合

[例3]　（2019·达州模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且在[－1,0]上单调递减，设a＝f（－2.8），b＝f（－1.6），c＝f（0.5），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a>b>cB．c>a>b

C．b>c>aD．a>c>b

[解析]　∵偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），∴函数的周期为2.∴a＝f（－2.8）＝f（－0.8），b＝f（－1.6）＝f（0.4）＝f（－0.4），c＝f（0.5）＝f（－0.5）．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f（x）在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.

[答案]　D

[规律探求]

看个性

考法

（一）是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性；

考法

（二）是已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

考法（三）是函数周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解

找共性

对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题

[过关训练]

1．（2018·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A．－50　　　　　　　　　B．0

C．2D．50

解析：

选C　∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（1－x）＝－f（x－1）．

由f（1－x）＝f（1＋x），得－f（x－1）＝f（x＋1），

∴f（x＋2）＝－f（x），

∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

∴函数f（x）是周期为4的周期函数．

由f（x）为奇函数得f（0）＝0.

又∵f（1－x）＝f（1＋x），

∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴f

（2）＝f（0）＝0，∴f（－2）＝0.

又f

（1）＝2，∴f（－1）＝－2，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝f

（1）＋f

（2）＋f（－1）＋f（0）＝2＋0－2＋0＝0，

∴f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（49）＋f（50）

＝0×12＋f（49）＋f（50）

＝f

（1）＋f

（2）＝2＋0＝2.

2．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋1）＝－f（x），若f（x）在[－1,0]上单调递减，则f（x）在[1,3]上是（　　）

A．增函数B．减函数

C．先增后减的函数D．先减后增的函数

解析：

选D　根据题意，∵f（x＋1）＝－f（x），∴f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），∴函数f（x）的周期是2.又∵f（x）在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f（x）在[0,1]上是增函数，∴函数f（x）在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f（x）在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

3．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f（2|a－1|）＞f（－

），则a的取值范围是________．

解析：

∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，

∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，f（－

）＝f（

），

∴f（2|a－1|）＞f（

），∴2|a－1|＜

＝2

，

∴|a－1|＜

，即－

＜a－1＜

，即

＜a＜

.

答案：