届人教A版文科数学直线与圆锥曲线的位置关系 单元测试.docx

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届人教A版文科数学直线与圆锥曲线的位置关系单元测试

1.（10分）（2018·北京西城模拟）已知椭圆C：

+=1（a>b>0）的离心率e=，短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？

请证明你的结论.

【解析】

（1）由短轴长为2，得b=，b2=2.

由e===，得a2=4，

所以椭圆C的标准方程为+=1.

（2）以MN为直径的圆过定点（±，0），证明如下：

设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），+=1，即+2=4，

因为A（-2，0），所以直线PA的方程为y=（x+2），所以M，直线QA的方程为y=（x+2），所以N，以MN为直径的圆为（x-0）（x-0）+=0，

即x2+y2-y+=0，

因为-4=-2，所以x2+y2+2y-2=0，

令y=0，则x2-2=0，解得x=±.

所以以MN为直径的圆过定点（±，0）.

2.（10分）（2018·盘锦模拟）如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：

+=1（a>b>0）上的一点，斜率为的直线交椭圆C于B，D两点，且A，B，D三点互不重合.

（1）求椭圆C的方程.

（2）求证：

直线AB，AD的斜率之和为定值.

【解析】

（1）由题意，可得e==，将A（1，）代入椭圆C的方程，得+=1，又a2=b2+c2，解得a=2，b=c=，所以椭圆C的方程为+=1.

（2）设直线BD的方程为y=x+m，因为A，B，D三点不重合，所以m≠0，设D（x1，y1），B（x2，y2）.

由得4x2+2mx+m2-4=0，

由Δ=-8m2+64>0，得-2

所以x1+x2=-m，x1x2=.

设直线AB，AD的斜率分别为kAB，kAD，

kAD+kAB=+=2+m·=

2+m·=2-2=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值.

3.（2016·全国卷Ⅱ文科·T21）已知A是椭圆E:

=1的左顶点,斜率为k（k>0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

（1）当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.

（2）当2|AM|=|AN|时,证明:

【解题指南】

（1）设出点Μ（x1,y1）的坐标,由已知条件可得点Μ的坐标,进而可得△ΑΜΝ的面积.

（2）利用弦长公式表示出2|AM|=|AN|,得到关于k的方程,利用函数的单调性确定k的取值范围.

【解析】

（1）设Μ（x1,y1）,则由题意知y1>0,

由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,

又A（-2,0）,因此直线AM的方程为y=x+2,

将x=y-2代入=1,得7y2-12y=0.

解得y=0或y=,所以y1=.

因此△AMN的面积为2×××=.

（2）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k>0）,代入=1,

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0,

由x1·（-2）=,得x1=-,

故|AM|=|x1+2|=,

由题意设直线AN的方程为y=-（x+2）,

故同理可得|AN|=,

由2|AM|=|AN|,得,

即4k3-6k2+3k-8=0,

设f（t）=4t3-6t2+3t-8,则k是f（t）的零点,

f'（t）=12t2-12t+3=3（2t-1）2≥0,

所以f（t）在（0,+∞）上单调递增,

又f（）=15-26<0,f

（2）=6>0,

因此f（t）在（0,+∞）上有唯一的零点,且零点k在（,2）内,故

4.（2016·山东高考理科·T21）平面直角坐标系xOy中,椭圆C:

=1的离心率是,抛物线E:

x2=2y的焦点F是C的一个顶点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证:

点M在定直线上;

②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

【解题指南】

（1）由抛物线E:

x2=2y的焦点F是C的一个顶点,易知b=,再由离心率可求a.

（2）设出P点坐标,表示出直线l的方程,与椭圆方程联立,可求D点坐标,表示出直线OD的方程,进而可求M点纵坐标,①得以解决;结合三角形相似和基本不等式可解决②.

【解析】

（1）由题意F点的坐标为,所以b=,又e=,

所以,易得a2=4b2=1,于是椭圆C的方程为x2+4y2=1.

（2）①设P（2t,2t2）,则直线l的斜率kl=2t,直线l的方程为:

y-2t2=2t（x-2t）,

即y=2tx-2t2,将其与x2+4y2=1联立得,x2-32t3x+16t4-1=0,

则x1+x2=,y1+y2=2t（x1+x2）-4t2=.

所以D,所以kOD=-,可得直线OD的方程为:

y=-,

由题意,xM=2t,所以yM=,所以点M在定直线y=-上.

②由图可知,|OG|=2t2,|FG|=2t2+,

所以S1=,S△DOG=.

显然,△DPM与△DGO相似,所以

S2=.

所以.

当且仅当8t2+2=16t2+1,即t=时,取等号.所以的最大值为,取得最大值时点P的坐标为.

5.（2016·山东高考文科·T21）

已知椭圆C:

=1（a>b>0）的长轴长为4,焦距为2.

（1）求椭圆C的方程.

（2）过动点M（0,m）（m>0）的直线交x轴于点N,交C于点A,P（P在第一象限）,且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.

①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明为定值.

②求直线AB的斜率的最小值.

【解题指南】

（1）由长轴长为4,焦距为2,可得a=2,c=,方程易得.

（2）设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k',它们之比易得;借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.

【解析】

（1）由题意a=2,c=,所以b2=2,所以椭圆方程为=1.

（2）①由题意,设P,则Q（p,-2m）,

所以=-3为定值.

②直线PA的斜率k=,其中00.

将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得,x2+4Kmx+2m2-4=0.

设A,B,直线PA:

y=kx+m,直线QB:

y=-3kx+m,

分别令K=k,K=-3k可得:

x1p=,x2p=,

所以,kAB=

（当且仅当k=时取等号）.

所以,直线AB的斜率的最小值为.

6.（2016·天津高考理科·T19）（本小题满分14分）

设椭圆=1（a>）的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程.

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

【解题指南】

（1）利用得出a的值,进而得到椭圆的方程.

（2）设出直线l的点斜式方程,与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系用直线l的斜率k表示出点B的坐标,利用垂直关系设出HM的方程,求出H点的坐标,利用HF⊥FB表示出M点的坐标,由∠MOA≤∠MAO知M点的横坐标大于等于1,解不等式即可.

【解析】

（1）由题意,如图所示:

已知,

所以

解得a=2,

所以椭圆方程为:

=1.

（2）由已知,设l斜率为k（k≠0）,方程为y=k（x-2）.

设B（xB,yB）,M（x0,k（x0-2））,x0≥1（∠MOA≤∠MAO）,H（0,yH）,与椭圆的方程联立可得

整理得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0,Δ>0成立

由根与系数的关系得2·xB=,所以xB=,yB=k（xB-2）=,

lHM:

y-k（x0-2）=-（x-x0）,

令x=0,得yH=x0-2k,

因为HF⊥FB,所以=（-1,yH）·（xB-1,yB）=0,

即1-xB+yHyB=1-=0,

所以x0=≥1,所以8k2≥3,

所以k≥或k≤-.

所以直线l的斜率的取值范围为（-∞,]U[,+∞）

6.（2016·天津高考文科·T19）（本小题满分14分）

设椭圆=1（a>）的右焦点为F,右顶点为A,已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程.

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（点B不在x轴上）,垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.

【解题指南】

（1）利用得出a的值,进而得到椭圆的方程.

（2）∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,所以M在OA的中垂线上,所以xM=1,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求B点坐标,利用两直线方程组求H,最后根据BF⊥HF,列等量关系解出直线斜率.

【解析】

（1）由题意,如图所示

已知,

所以,

解得a=2,

所以椭圆方程为:

=1.

（2）设直线l的斜率为k（k≠0）,则直线l的方程为y=k（x-2）,

设B（xB,yB）,由方程组消去y,

整理得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=,

由题意得xB=,从而yB=,

由

（1）知F（1,0）,设H（0,yH）,有=（-1,yH）,=,

由HF⊥FB,得=0,所以=0,

解得yH=,因此直线MH的方程为y=-,

设M（xM,yM）,由方程组消去y,得xM=,

在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔MA=MO,

即（xM-2）2+=+,化简得xM=1,即=1,

解得k=-或,

所以直线l的斜率为-或.

7.（2016·北京高考文科·T19）已知椭圆C:

过A（2,0）,B（0,1）两点.

（1）求椭圆C的方程及离心率.

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:

四边形ABNM的面积为定值.

【解题指南】

（1）把A,B两点代入可求得a,b.

（2）设P（x0,y0）,表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.

【解析】

（1）把A（2,0）,B（0,1）分别代入椭圆方程得a=2,b=1.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

因为c==,

所以离心率e==.

（2）设P（x0,y0）,其中x0<0,y0<0.

则直线AP方程为y=（x-2）,直线BP方程为y=x+1.

所以M,N.

所以|AN|=2+,|BM|=+1.

所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|

=

=

=.

因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得

S===2.

因此,四边形ABNM的面积为定值2.