概率论与数理统计-基本概念-第四版-浙江大学.docx

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9.6第一章概率论的基本概念

一、随机现象与随机试验

（一）随机现象

1、确定性现象：

在一定条件下必然发生或必然不发生的现象。

比如：

太阳东边升，苹果往下掉，12点下课铃响。

2、随机现象:

：

在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象，具有不确定性（或称为偶然性或随机性）。

在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。

抛一枚硬币，抛一枚骰子，弹着点，股票涨跌，电话交换台一分钟内接到的呼叫次数，人的寿命。

（二）随机试验

我们称具有下面几个特点的试验为随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行。

（2）试验所有的可能结果在试验前是明确的，而每次试验必有其中一个结果出现，并且也仅有一个结果出现。

（3）每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

抛一枚硬币，观察正面，反面出现的情况。

将一枚硬币抛掷三次，观察正面H，反面T出现的情况。

抛一颗骰子，观察出现的点数。

记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。

在一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。

二、样本空间

1、随机事件：

在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果称随机事件,用A,B,C

2、基本事件：

我们把试验后所观察到的每一次出现最简单的直接结果。

用ω1，ω2

3、样本空间

随机试验E的全部基本事件所组成的集合称为E的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素，即E的每个结果（基本事件），称为样本点，常用ω（或e）表示，必要时也可以用ω1，ω2等表示不同的样本点。

例1-3

1：

{H，T}

2：

{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}

3：

{1，2，3，4，5，6}

4：

{0，1，2，3,…,}

5：

{t|t≥0}

三、随机事件

1、随机事件：

随机试验E的样本空间的子集称为E的随机事件，简称事件。

随机事件用大写的A，B，C表示。

每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

2、随机事件分为下面几类：

①基本事件：

第一类是由一个样本点所组成的单点集。

②复合事件是由二个或二个以上样本点所组成的集合。

③必然事件：

随机试验中必然出现的结果叫必然事件。

记为Ω；

④不可能事件：

随机试验中决不会出现的结果，记为Φ。

四、随机事件间的关系与事件的运算

设是给定的一个随机试验的样本空间，事件A,B,C,Ak（k=1,2,…）都是的子集。

1、包含关系

若AB，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B的发生。

其具体含义是组成事件A的样本点都是组成B的样本点。

2、相等关系

若AB且BA，即A=B，则称事件A与事件B相等。

其直观意义是事件A与B的样本点完全相同。

3、和事件

{事件A与事件B至少有一个发生}的事件称为事件A与事件B的和事件。

记为AB，事件AB是属于A或属于B的样本点组成的集合，

①称事件k为n个事件A1，A2，…，An的和事件；

②称事件k为可列个事件A1，A2，…,Ak,…的和事件。

4、积事件

{事件A与事件B同时发生}的事件称为事件A与事件B的积事件。

记为AB，也记为AB。

事件AB是即属于A又属于B的样本点组成的集合。

①称事件k为n个事件A1，A2，…，An的积事件；

②称事件k为可列个事件A1，A2，…,Ak,…的积事件。

5、差事件

{事件A发生与事件B不发生}的事件称为事件A与事件B的差事件。

记为A-B（或A\B）.。

事件A-B是由A的样本点除去B含样本点组成的子集。

A-B=A-AB。

6、互不相容（或互斥）事件

若事件A与事件B不能同时发生，即AB=Ф，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。

注意：

①A与B互不相容即事件A与B不能同时发生。

②基本事件是互不相容的事件。

③若A与B是互不相容的，则和事件AB可表示为A+B。

7、对立（或逆）事件

在一个随机试验中，若只考虑某事件A是否发生，则相应的样本空间Ω被划分为A与Ω-A两个子集，这时则称事件Ω-A与事件A互为逆事件，又称事件A与事件Ω-A互为对立事件。

这指的是对每次试验而言事件A，Ω-A中必有一个发生，且仅有一个发生。

A的对立事件记为。

=Ω-A。

A=A=Ω

8、样本空间的划分（或完备事件组）

为了研究某些较复杂的事件，常常需要把试验E的样本空间Ω按样本点的某些属性，划分成若干个事件，一般地，设Ω被划分成n个事件A1,A2,A3,…,An,它们满足：

①AiAj=（i≠j,i,j=1,2,…,n）

②A1A2…An=Ω,

则称这n个事件A1,A2,A3,…,An构成样本空间Ω的一个划分（或构成一个完备事件组）。

在进行事件运算时，经常用到下述定律，设A，B，C为事件，则有：

（1）交换律：

AB=BA；AB=BA。

（2）结合律：

A（BC）=（AB）C；A（BC）=（ABC

（3）分配律：

A（BC）=（AB）（AC）；A（BC）=（AB）（AC）。

（4）德摩根律：

=；=；。

例1—3

例4、向指定的目标射三枪。

以A1，A2，A3分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”。

试用A1，A2，A3表示以下各事件。

（1）只击中第一枪。

（2）只击中一枪。

（3）三枪都未击中。

（4）至少击中一枪。

解：

解此类题的关键是要正确理解各事件的含义。

（1）“只击中第一枪”隐含第二、三枪均不中

所以此事件表示为。

（2）只击中一枪表示为：

++

（3）三枪都未击中表示为：

（4）至少击中一枪有两种表示：

一为A1A2A3

或用互不相容事件表示为：

++（只击中一枪）

+1A2A3+A12A3+A1A23（只击中两枪）

+

例5、考察居民对3种报纸A，B，C的订购情况。

设事件A，B，C分别表示订购报纸A，B，C，试用A，B，C表示以下各事件：

（1）只订购A；

（2）只订购A及B；

（3）只订购A或B；

（4）只订购一种报纸；

（5）正好订两种报纸；

（6）至少订购一种报纸；

（7）不订任何报纸。

解：

（1）只订购A：

说明不订B，也不订C，所以此事件表示为A

（2）只订购A及B：

说明同时订购A及B，但不订C，所以此事件表示为AB

（3）只订购A或B：

只订购A表示为A，只订购B表示为B，只订购A或B表示为两事件的和事件AB，或A+B。

（4）只订购一种报纸可表示为ABC或A+B+C。

（5）正好订两种报纸和只订购两种报纸相似，可表示为ABACBC或AB+AC+BC。

（6）至少订购一种报纸可表示ABC；也可表示A+B+C+AB+AC+BC+ABC。

（7）不订任何报纸可表示为；也可根据事件之间的关系，表示为，为（6）的对立事件。

例6、化简下列各式：

（2）（3）

注意：

进行事件运算时，运算的先后顺序是先求逆运算，再求积运算，最后再进行和或差的运算；若有括号，则括号内运算优先。

9.8

第二节随机事件的概率

概率是对随机事件发生可能大小的客观量度．事件A的概率记为。

一、概率的统计定义

（一）、频率

1、定义：

在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数。

比值称为事件A发生的频率,记为

即=

2、频率具有下述基本性质：

（1）非负性01；

（2）规范性=1

（3）可加性若，，…，是两两互不相容的事件，则有=++…+

直观的想法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性的大小。

3、频率的稳定性—统计规律

当n逐渐增大时，频率逐渐稳定于某个常数p,于每一个事件A都有这样一个客观存在的常数与对应。

这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性，

（二）、概率的统计定义

1、定义设随机试验E，若试验的重复次数n充分大时，事件A发生的频率总在区间[0,1]上的一个确定的常数p附近作微小摆动，并逐渐稳定于p,则称常数p为事件A发生的概率，记为，即=p

2、概率的性质

（1）非负性0≤≤1

（2）规范性

（3）可列可加性

设，A2，…是两两互不相容的事件，即对于ij,=Φ,i,j=1,2,…,则有=++…，即=

上式称为概率的可列可加性

二、概率的古典定义

1、古典型随机试验

若试验具有下列两个的特点：

（1）有限性试验的样本空间Ω的元素是有限集，即Ω=｛｝；

（2）等可能性试验中每个样本点（基本事件）发生的可能性相同,即

这种试验称为古典随机试验（即古典概率）。

又称为等可能概率试验。

它曾是概率论初期主要的研究对象，所以也称为古典概型。

2、概率的古典定义

设古典概型试验E的样本空间Ω=｛｝，事件A=｛｝，则事件A发生的概率定义为=====p

3、古典概率的性质

（1）非负性0≤≤1

（2）规范性

（3）有限可加性

设，A2，…是两两互不相容的事件，即对于ij,=Φ,i,j=1,2,…,则有=++…，即=

9.20第三节条件概率

一、条件概率

条件概率讨论的是在一个事件已经发生的条件下另一个事件发生的概率问题。

1引例:

例1

2、定义设A、B两个事件，且>0，称

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

条件概率符合概率定义中三个条件，即

（1）对于每个事件B，有

（2）

（3）设是两两互不相容的事件，则有

注意前面对概率所证明的一些重要结论都适用于条件概率。

二、乘法公式

由条件概率的定义可得下述公式

乘法公式设>0，则有

上式可推广到多个事件的积事件的情况，例如设A，B，C为三事件，且>0，（>0）则有

一般，若A1，A2，…，An是任意n个事件，n≥2，且>0，则有

例2-5

三、全概率公式和贝叶斯公式

1、定理1设Ω为试验E的样本空间，A任一事件，为样本空间Ω的一个划分，且>0（i=1，2，…，n）则上式称为全概率公式。

在很多实际问题中不易直接求出，但容易找到样本空间Ω的一个划分，且及或为已知，或容易求得，然后根据上式求出。

2、定理2设Ω为试验E的样本空间，B为E的任一事件，为样本空间Ω的一个划分，且>0，>0（i=1，2，…，n）则

，i=1，2，…，n。

上式称为贝叶斯（Bayes）公式

例5-8

第四节随机事件的独立性

一般地，若>0，对条件概率而言，A的发生对B发生的概率是有影响的。

但特殊情况下，A的发生对B发生的概率没有影响。

这就是以后经常要用的所谓事件的独立性。

例1

一、事件的相互独立性

1、两个事件相互独立的定义

A的发生与否与B的发生与否无关

。

定理若A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立。

下面将独立性的概念推广到三个事件的情况。

2、三事件相互独立的定义

A、定义设A，B，C是三个事件，若有